101二元一次方程組的概念【9個必考點(diǎn)】（必考點(diǎn)分類集訓(xùn)）（人教版2024）

10.1二元一次方程組的概念【9個必考點(diǎn)】【人教版2024】TOC\o"13"\h\u【知識點(diǎn)1二元一次方程的概念】 1【必考點(diǎn)1判斷二元一次方程的個數(shù)】 2【必考點(diǎn)2由二元一次方程的概念求字母的值】 3【知識點(diǎn)2二元一次方程的解】 4【必考點(diǎn)3二元一次方程的解代入求值】 4【必考點(diǎn)4二元一次方程的整數(shù)解】 5【知識點(diǎn)3二元一次方程組的概念】 7【必考點(diǎn)5判斷二元一次方程組的個數(shù)】 8【必考點(diǎn)6由二元一次方程組的概念求字母的值】 9【知識點(diǎn)4二元一次方程組的解】 11【必考點(diǎn)7二元一次方程組的解代入求值】 11【必考點(diǎn)8判斷二元一次方程組的解的情況】 12【必考點(diǎn)9二元一次方程組的整數(shù)解】 14【知識點(diǎn)1二元一次方程的概念】概念：方程中含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.【易錯點(diǎn)剖析】（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.【必考點(diǎn)1判斷二元一次方程的個數(shù)】【例1】方程2x?1y=0，3x+y＝0，2x+xy＝1，3x+y﹣2x＝0，x2A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．【解答】解：2x?13x+y＝0是二元一次方程；2x+xy＝1不是二元一次方程；3x+y﹣2x＝0是二元一次方程；x2﹣x+1＝0不是二元一次方程．故選：D．【變式1】下列方程：①x+y＝1；②2x?2y=1；③x2+2x＝﹣1；④5xy＝1；A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④【分析】含有兩個未知數(shù)，且兩個未知數(shù)的次數(shù)都為1的整式方程叫二元一次方程，據(jù)此逐一判斷即可求解．【解答】解：方程是二元一次方程的是①x+y＝1；⑤x?1故選：A．【變式2】下列方程中，二元一次方程的個數(shù)有（）①2x?y3=1；②x2+3y=3；③x2﹣y2＝4；④x4A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二元一次方程的定義（含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程）進(jìn)行分析判斷．【解答】解：①2x?y3=1、②x2+3y③x2﹣y2＝4屬于二元二次方程；⑤2x2＝3屬于一元二次方程．綜上所述，二元一次方程的個數(shù)有2個．故選：B．【變式3】下列方程中，二元一次方程的個數(shù)為（）①xy＝1；②2x＝3y；③x?1y=2；④x2+y＝3；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】運(yùn)用二元一次方程的定義進(jìn)行辨別、求解．【解答】解：∵2x＝3y，x4xy＝1，x?1y=2，x2∴所有方程中，只有方程①和方程⑤共2個二元一次方程，故選：B．【必考點(diǎn)2由二元一次方程的概念求字母的值】【例1】已知方程（m+1）x+2y|m|＝0是關(guān)于x的二元一次方程，則m的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或1【分析】根據(jù)只含有2個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1的整式方程，叫做二元一次方程，據(jù)此進(jìn)行求解即可．【解答】解：由題意得：|m|＝1且m+1≠0，∴m＝1，故選：B．【變式1】若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m，n的值為（）A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1【分析】根據(jù)二元一次方程的定義解答即可．【解答】解：根據(jù)題意得m+1＝1，2n﹣3＝1，解得m＝0，n＝2，故選：A．【變式2】若kx|k﹣1|+（k+1）y＝k是關(guān)于x，y的二元一次方程，則k＝．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，方程有兩個未知數(shù)，那么未知數(shù)的系數(shù)不能為0，求出k的取值范圍．【解答】解：由題意知：|k﹣1|＝1，k+1≠0，k≠0，解得k＝2，故答案為：2．【變式3】若(a?3)xb+ya2?8=0是關(guān)于x、y的二元一次方程，則【分析】根據(jù)二元一次方程的定義求出a、b的值，再代入求出a+b的值即可．【解答】解：由題意得，a﹣3≠0，b＝1，a2﹣8＝1，解得a＝﹣3，∴a+b＝﹣3+1＝﹣2，故答案為：﹣2．【知識點(diǎn)2二元一次方程的解】定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.【易錯點(diǎn)剖析】二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.【必考點(diǎn)3二元一次方程的解代入求值】【例1】已知x=?2ky=1是二元一次方程5x﹣4y＝6的解，則kA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】將方程的解代入方程，進(jìn)行求解即可．【解答】解：把解代入5x﹣4y＝6，得：5?（﹣2k）﹣4×1＝6，解得：k＝﹣1；故選：B．【變式1】已知關(guān)于x，y的二元一次方程●x﹣2y＝4中x的系數(shù)讓墨跡蓋住了，但是知道它一組解是x=2y=?1A．1 B．3 C．0 D．﹣8【分析】根據(jù)方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，將x=2y=?1【解答】解：把x=2y=?1代入●x﹣2y∴●＝1；故選：A．【變式2】已知x=2y=3是關(guān)于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，則代數(shù)式4m+6nA．14 B．11 C．7 D．4【分析】把x=2y=3代入mx+ny＝7，求出2m+3n的值，再把所求代數(shù)式化成含有2m+3n【解答】解：把x=2y=3代入mx+ny＝7得：2m+3n∴4m+6n﹣3＝2（2m+3n）﹣3＝2×7﹣3＝14﹣3＝11，故選：B．【變式3】已知x=1y=2是關(guān)于x，y的方程mx﹣ny＝5的一個解，則7﹣m+2nA．﹣12 B．﹣2 C．2 D．12【分析】將x=1y=2代入原方程，得到m﹣2n【解答】解：根據(jù)題意，將x=1y=2代入原方程，得m﹣2n∴7﹣m+2n＝7﹣（m﹣2n）＝7﹣5＝2，故選：C．【必考點(diǎn)4二元一次方程的整數(shù)解】【例1】二元一次方程3x+2y＝12的非負(fù)整數(shù)解（即x、y都是非負(fù)整數(shù)）有（）對A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先，將二元一次方程適當(dāng)?shù)淖冃?，可以得到y(tǒng)=12?3x2=6?32x；由所求的解都是非負(fù)整數(shù)，可知3x一定是2的倍數(shù)，進(jìn)而確定【解答】解：方程3x+2y＝12可變形為y=12?3x因?yàn)閤、y都是非負(fù)整數(shù)，所以0≤x≤4．因?yàn)閤、y都是整數(shù)，所以3x一定是2的倍數(shù)，所以x的值只能是0，2，4，對應(yīng)的y值依次為6，3，0．即方程3x+2y＝12的非負(fù)數(shù)整數(shù)解為x=0y=6，x=2y=3，故選：C．【變式1】二元一次方程3x+2y＝10的非負(fù)整數(shù)解的情況是（）A．無解 B．有且只有一組解 C．有兩組解 D．有無數(shù)組解【分析】求出x，y同時不為負(fù)數(shù)的情況，再結(jié)合非負(fù)整數(shù)解即可得出結(jié)果．【解答】解：∵x=10?2y當(dāng)x≥0時，10?2y3∴y≤5，∴當(dāng)y＝5時，x=10?2×5當(dāng)y＝4時，x=10?2×4當(dāng)y＝3時，x=10?2×3當(dāng)y＝2時，x=10?2×2當(dāng)y＝1時，x=10?2×1當(dāng)y＝0時，x=10?2×0∴二元一次方程3x+2y＝10的非負(fù)整數(shù)解為x=0y=5，或x=2故選：C．【變式2】二元一次方程3x+y＝15的正整數(shù)解共有（）組．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由3x+y＝15，可得出x＝5?y3，結(jié)合x，y均為正整數(shù)，即可求出二元一次方程3x+【解答】解：∵3x+y＝15，∴x＝5?y又∵x，y均為正整數(shù)，∴x=4y=3或x=3y=6或x=2y=9∴二元一次方程3x+y＝15的正整數(shù)解共有4組．故選：B．【變式3】如果x=2y=1是方程2ax+by＝13的解，a，b是正整數(shù)，則a+bA．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)方程的解的定義，將x=2y=1代入方程2ax+by＝13，可得4a+b＝13．因a，b是正整數(shù)，故可知a及b的值，從而求出a+b【解答】解：由題意得：4a+b＝13．又∵a、b是正整數(shù)，∴a＝1，b＝9或a＝2，b＝5或a＝3，b＝1．當(dāng)a＝1，b＝9時，a+b＝10．當(dāng)a＝2，b＝5時，a+b＝7．當(dāng)a＝3，b＝1時，a+b＝4．∴a+b的最小值為4．故選：B．【知識點(diǎn)3二元一次方程組的概念】概念：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組.【易錯點(diǎn)剖析】（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當(dāng)于“且”的意思．【必考點(diǎn)5判斷二元一次方程組的個數(shù)】【例1】下列方程組中屬于二元一次方程組的是（）①x?3y=52x=y?1，②xy+1=0x=y，③x+y=6y+1=z+4，A．①② B．③④ C．①③ D．①④【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．【解答】解：①x?3y=52x=y?1②xy+1=0x=y③x+y=6y+1=z+4④x=62y+x=3故選：D．【變式1】在方程組xy=1x+2y=3，x=1y=1，1x+1A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．【解答】解：x=1y=1、x=2故選：A．【變式2】在方程組2x?y=1y=3z+1，x=23y?x=1，x+y=03x?y=5，xy=1A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】組成二元一次方程組的兩個方程應(yīng)共含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．【解答】解：2x?y=1y=3z+1x=23y?x=1x+y=03x?y=5xy=1x+2y=3xy1x故選：A．【變式3】方程組2x?y=1y=3z+1，x+2y=13y?x=4，xy=2x+2y=3，1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用二元一次方程組的定義判斷即可．【解答】解：方程組2x?y=1y=3z+1，x+2y=13y?x=4，xy=2x+2y=3，1x+1y故選：B．【必考點(diǎn)6由二元一次方程組的概念求字母的值】【例1】若方程組4x?2y=7y+az+3x=0是二元一次方程組，則a的值為【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．【解答】解：兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組，則a＝0，故答案為：0．【變式1】若3xa?1+8y=2，4x+bz=y，是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則ab＝【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義得出a﹣1＝1，b＝0或a﹣1＝0，b＝0，求出a，b，再代入求出答案即可．【解答】解：∵3xa?1+8y=2，4x+bz=y，是關(guān)于∴①a﹣1＝1，b＝0，∴a＝2，∴ab＝2×0＝0；②a﹣1＝0，b＝0，即a＝1，∴ab＝1×0＝0；故答案為：0．【變式2】方程組y?(a?1)x=5y|a|+(b?5)xy=3是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則ab的值是【分析】利用二元一次方程組的定義確定出a與b的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：由題意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，解得：a＝﹣1，b＝5，則原式＝（﹣1）5＝﹣1．故答案為：﹣1．【變式3】若方程組x?(c+3)xy=3xa?2?yb+3=4是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則代數(shù)式a+b+【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義：（1）含有兩個未知數(shù)；（2）含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1．【解答】解：由二元一次方程組的概念，得c+3＝0，a﹣2＝1，b+3＝1解得c＝﹣3，a＝3，b＝﹣2所以a+b+c＝﹣2．或c+3＝0，a﹣2＝0，b+3＝1，解得c＝﹣3，a＝2，b＝﹣2，所以a+b+c＝﹣3．故答案為：﹣2或﹣3．【知識點(diǎn)4二元一次方程組的解】概念：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【易錯點(diǎn)剖析】（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個.【必考點(diǎn)7二元一次方程組的解代入求值】【例1】已知x=2y=1是方程組ax?3y=1x+by=5的解，則a和A．a(chǎn)＝2，b＝3 B．a(chǎn)＝2，b＝2 C．a(chǎn)＝﹣2，b＝3 D．a(chǎn)＝3，b＝﹣2【分析】將x=2y=1代入ax?3y=1x+by=5，得到關(guān)于a，【解答】解：把x=2y=1代入到ax?3y=1得2a?3=12+b=5解得a=2b=3故選：A．【變式1】已知關(guān)于x、y的方程組mx+2y=n4x?ny=2m?1的解是x=1y=?1，那么m，A．m=1n=?1 B．m=2n=1 C．m=3n=2【分析】把方程組的解代入方程組，即可求出m，n的值．【解答】解：把x=1y=?1代入方程組mx+2y=n得m?2=n4+n=2m?1解得m=3n=1故選：D．【變式2】若關(guān)于x、y的方程組x+my=02x+3y=8的解為x=1y=■，其中y的值被蓋住了，不過仍能求出m，則A．?12 B．12 C．?【分析】把x＝1代入方程組第二個方程求出y的值，再將x，y的值代入x+my＝0中，進(jìn)而求出m的值即可．【解答】解：∵關(guān)于x、y的方程組x+my=02x+3y=8的解為x=1∴把x＝1代入方程2x+3y＝8得：2+3y＝8，∴y＝2，把x＝1，y＝2代入方程x+my＝0得：1+2m＝0，∴m=?1故選：A．【變式3】亮亮求得方程組x+y=●3x?y=6的解為x=2A．●＝2，☆＝0 B．●＝2，☆＝3 C．●＝0，☆＝2 D．●＝2，☆＝2【分析】根據(jù)方程組的解滿足方程組，將x＝2代入②時，求出y，再代入①式即可得到答案．【解答】解：∵方程組x+y=●3x?y=6的解為x=2∴3×2﹣☆＝6，解得：☆＝0，將y＝0，x＝2代入①式得，●＝0+2＝2，故選：A．【必考點(diǎn)8判斷二元一次方程組的解的情況】【例1】方程組3x?4y=56x?8y=12A．一組解 B．兩組解 C．無數(shù)組解 D．無解【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)通過判斷兩直線的位置關(guān)系得到方程組解得情況．【解答】解：直線3x﹣4y＝5與直線6x﹣8y＝12平行，所以原方程組無解，故選：D．【變式1】已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+3y=22x?y=1無解，則aA．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6【分析】運(yùn)用加減消元法分別求解x，y的值，再根據(jù)方程組無解即可求解參數(shù)的值．【解答】解：ax+3y=2①2x?y=1②①+②×3得，x=5把x的值代入②得，y=4?a∵原二元一次方程組無解，∴a+6＝0，∴a＝﹣6，故選：D．【變式2】二元一次方程組x?y=1x+2y=3A．無解 B．有無數(shù)組解 C．有兩組解 D．只有一組解【分析】利用解二元一次方程組的一般步驟，解方程組，根據(jù)所求答案，進(jìn)行解答即可．【解答】解：x?y=1①x+2y=3②②﹣①得：y=2把y=23代入①得：∴方程組的解為：x=5∴二元一次方程組x?y=1x+2y=3故選：D．【變式3】下列方程組中，有無數(shù)組解的是（）A．2x?y=?2x?2y=?1B．y=3x+5y=3x?2C．x?4y?7=02x?8y?14=0D．y=x?3【分析】兩個方程化簡后是同一個方程可滿足條件．【解答】解：對于C答案的第二個方程，兩邊同除以2得x﹣4y﹣7＝0，與第一個方程相同，故有無數(shù)組解，A、B、D選項(xiàng)的兩個方程都不相同，故不符合題意．故選：C．【必考點(diǎn)9二元一次方程組的整數(shù)解】【例1】若關(guān)于x，y的方程組mx?2y=2x+2y=4有正整數(shù)解，則正整數(shù)mA．1，2，5 B．1，5 C．5 D．2【分析】首先利用加減消元法得（m+1）x＝6，進(jìn)而得x＝6/（m+1），然后根據(jù)該方程組的解為正整數(shù)，且m為正整數(shù)，得m+1＝1，2，3，6，據(jù)此解出m的值即可得出答案．【解答】解：對于mx?2y=2①x+2y=4②①+②得：（m+1）x＝6，∴x=6∵方程組的解為正整數(shù)，且m為正整數(shù)，∴m+1＝1，2，3，6，由m+1＝1，解得：m＝0，不合題意，舍去；由m+1＝2，解得：m＝1，由m+1＝3，解得：m＝2，由m+1＝6，解得：m＝5，當(dāng)m＝1時，x=6m+1=3，此時y=當(dāng)m＝2時，x=6m+1=2，此時當(dāng)m＝5時