數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列高三三輪沖刺高頻考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義（原卷版）

數(shù)列：等差數(shù)列與等比數(shù)列高頻考點(diǎn)分析高頻考點(diǎn)分析1.等差數(shù)列的定義：；；.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)：.3.等差數(shù)列前項(xiàng)和.4.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)（1）若，則.（2）若，則.（3）若、、為等差數(shù)列，則，為、的等差中項(xiàng).（4）若為等差數(shù)列，則、、…依舊是等差數(shù)列.（5）當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減.5.等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）且；（2）且為等差數(shù)列；（3）等差數(shù)列的前項(xiàng)和是一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值,當(dāng)時(shí)，有最大值；其中：=1\*GB3①若已知和，則當(dāng)且僅當(dāng)取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，有最值；=2\*GB3②若未知和，則需找出的正負(fù)交界值；（4）、、依舊是一個(gè)等差數(shù)列.6.含有絕對(duì)值的求和方法：（1）找到的臨界值；（2）若，；若，.7.等比數(shù)列的證明：(1)(2)(3).8.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.9.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.10.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)=1\*GB3①若，則.=2\*GB3②若，則.=3\*GB3③若、、為等比數(shù)列，則，為、的等比中項(xiàng).=4\*GB3④若為等比數(shù)列，則、、…依舊是等比數(shù)列.=5\*GB3⑤當(dāng)且時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)且時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減.11.等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)=1\*GB3①、、依舊是一個(gè)等比數(shù)列

真題真題速遞1．（2024·全國(guó)甲卷（文）·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全國(guó)甲卷（理）·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．154．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件5．（2023·全國(guó)甲卷（理）·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．406．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．16 B．32 C．54 D．1627．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．8．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.9．（2023·北京·高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．10．（2023·全國(guó)甲卷（文）·高考真題）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．11．（2023·全國(guó)乙卷（理）·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.12．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．13．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練一：等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的計(jì)算1．（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．2．（2425高二下·山東德州·階段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為33尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為108尺，則谷雨日影長(zhǎng)為（

）.A．14 B．15 C．16 D．173．（2025·山東濰坊·一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．12 B．14 C．42 D．844．（2425高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的公差是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2025·江蘇南京·一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，且.若，則正整數(shù)的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7

6．（2025·天津·一模）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則的值是（

）A． B． C．9 D．167．（2025·江蘇·一模）已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．5 B．9 C． D．8．（2425高二上·新疆昌吉·期末）在等比數(shù)列中，若，則（

）A．16 B．64 C．256 D．3409．（2425高三下·北京·階段練習(xí)）生命在于運(yùn)動(dòng)，某健身房為吸引會(huì)員來健身，推出打卡送積分活動(dòng)（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會(huì)比前一天多2積分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡需從1積分重新開始．某會(huì)員參與打卡活動(dòng)，若連續(xù)打卡5天，則共獲得積分為；若該會(huì)員從3月1日開始到3月20日，他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天可以是3月日．10．（2025·四川攀枝花·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則.11．（2025·廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的通項(xiàng)公式為.

12．（2425高二下·福建莆田·階段練習(xí)）同學(xué)為參加《古詩詞大賽》進(jìn)行古詩詞鞏固訓(xùn)練，她第天復(fù)習(xí)首古詩詞，從第天起，每一天復(fù)習(xí)的古詩詞數(shù)量比前一天多首，每首古詩詞只復(fù)習(xí)一天，則天后同學(xué)復(fù)習(xí)的古詩詞總數(shù)量為.13．（2025·河北保定·一模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.14．（2425高二下·廣東·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，則．15．（2025·北京門頭溝·一模）某城市為推動(dòng)新能源汽車普及，第1年在市區(qū)公共區(qū)域建設(shè)了2萬個(gè)新能源汽車充電樁，隨著新能源汽車保有量快速增長(zhǎng)，以及城市對(duì)綠色出行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的持續(xù)投入，每年新建設(shè)的充電樁數(shù)量比上一年增加20%，按照這樣的發(fā)展趨勢(shì)，那么該城市第3年在市區(qū)公共區(qū)域新建設(shè)了萬個(gè)充電樁；從第1年起，約年內(nèi)，可使該城市市區(qū)公共區(qū)域的充電樁總量達(dá)到30萬個(gè)（結(jié)果保留到個(gè)位）.（參考數(shù)據(jù)：，）16．（2025·福建泉州·一模）等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和等于．17．（2425高二下·河南·階段練習(xí)）已知為公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.18．（2425高二下·廣東湛江·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為(1)若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且是與的等差中項(xiàng)，求的通項(xiàng)公式及；(2)若.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練二：等差數(shù)列的性質(zhì)1．（2025·寧夏銀川·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A．0 B．10 C．15 D．302．（2425高二下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且恰為和的等差中項(xiàng)，則（

）A．4 B．5 C．16 D．173．（2025·北京·模擬預(yù)測(cè)）今年高三的“節(jié)”活動(dòng)引用了漫畫《龍珠》.在原著中卡林塔上的貓仙人種植了一種仙豆，可以幫助主角療傷和增長(zhǎng)戰(zhàn)斗力.仙豆共有7顆，從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力構(gòu)成一個(gè)遞增的等差數(shù)列.在下一場(chǎng)挑戰(zhàn)前，主角將7顆仙豆全部吃掉，增加21000的戰(zhàn)斗力，擊敗了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的戰(zhàn)斗力，那么最小的仙豆可以增加的戰(zhàn)斗力為（

）A．1800 B．2100 C．3600 D．39004．（2025·遼寧·一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．4 B．60 C．68 D．525．（2425高三下·廣東梅州·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則一定正確的是（

）A． B． C． D．6．（2425高二下·江西宜春·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，前項(xiàng)之和為，最后項(xiàng)之和為，前項(xiàng)之和是，則項(xiàng)數(shù)為（

）A． B． C． D．7．（2324高二下·安徽宿州·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列，則“單調(diào)遞增”是“”的（

）條件A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．（2122高二下·河北保定·期中）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．C．的最大值為 D．9．（2425高二下·浙江·開學(xué)考試·多選）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則為常數(shù)列 B．若，則為常數(shù)列C．若，則 D．若，則是遞增數(shù)列10．（2425高一上·重慶·期末·多選）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說法正確的是（

）A．是等差數(shù)列B．當(dāng)或時(shí)，取得最大值C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和是D．，，成等差數(shù)列，公差為11．（2425高二下·湖北孝感·期中）已知兩個(gè)等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別是和，其中，則.

12．（2425高二下·四川綿陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為，，若，則.13．（2425高二下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則．14．（2425高二上·湖北咸寧·期末）在前n項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，，，則.

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練三：等比數(shù)列的性質(zhì)1．（2025·福建廈門·三模）已知數(shù)列是首項(xiàng)和公比均大于0的無窮等比數(shù)列，設(shè)甲：為遞增數(shù)列；乙：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．（2025·北京順義·一模）設(shè)為等比數(shù)列，則“存在，使得”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2425高二上·甘肅金昌·期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．34．（2025·江西·二模）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．81 B．71 C．61 D．515．（2025·黑龍江·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公比，，則（

）A．49 B．56 C．63 D．1126．（2425高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列前20項(xiàng)和是21，前30項(xiàng)和是49，則前10項(xiàng)和是（

）A．6 B．7 C．8 D．9

7．（2425高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）記等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．24 B．28 C．48 D．848．（2425高二下·遼寧遼陽·階段練習(xí)·多選）公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．9．（2025·云南·一?！ざ噙x）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．C．