11空間向量及其運(yùn)算講義-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一空間向量及相關(guān)概念1.空間向量（1）定義：在空間，我們把既有大小又有方向的量叫做空間向量.（2）向量的模(長(zhǎng)度)：空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模.（3）表示方法：

①字母表示

用小寫的英文字母表示:，其模記為.②幾何表示與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示空間向量的模.若向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量可記作,其模記為或.③不共面的向量

不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量.如圖所示的正方體中，過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)O的三條棱上的三條有向線段表示的三個(gè)向量為,它們是不共面的向量.

2.零向量和單位向量（1）零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B重合時(shí)，.（2）單位向量：模為1的向量.示例：（1）[多選題]下列關(guān)于零向量的說(shuō)法中正確的是()A.零向量沒有大小，也沒有方向B.因?yàn)?所以0與是同一個(gè)量C.零向量的長(zhǎng)度為0D.零向量的方向是不確定的答案：CD（2）[多選題]下列關(guān)于單位向量的說(shuō)法中正確的是()A.單位向量的模為1B.單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同C.單位向量的方向是任意的D.在空間中，將所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)徑為1的球答案：ABD知識(shí)點(diǎn)二共線向量、相等向量和相反向量1.共線向量（1）如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.向量與平行,記作.（2）規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)于任意向量，都有.2.相等向量和相反向量（1）相等向量定義：方向相同且模相等的向量叫做相等向量.幾何意義：在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量.注意：1.相等向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們可以通過(guò)平移重合在一起，當(dāng)兩個(gè)相等向量起點(diǎn)重合時(shí)，終點(diǎn)一定重合.2.模相等是向量相等的必要條件，模相等且方向相同是向量相等的充要條件.3.相等向量滿足傳遞性,即若且,則.（2）相反向量與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，記為.示例：下列說(shuō)法正確的是()A.若,則B.若兩個(gè)向量是相等向量，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合C.若,則A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)D.若,,則答案：D知識(shí)點(diǎn)三空間向量的線性運(yùn)算1.加法運(yùn)算（1）三角形法則：,如圖①.（2）平行四邊形法則：,如圖②.（3）對(duì)于三個(gè)不共面的向量，以O(shè)為起點(diǎn),為鄰邊作平行六面體，則的和等于以O(shè)為起點(diǎn)的平行六面體體對(duì)角線所表示的向量，如圖③.2.減法運(yùn)算三角形法則：,如圖④.3.數(shù)乘運(yùn)算定義：實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.4運(yùn)算律交換律:;結(jié)合律:;分配律:.示例：如圖所示,O為△ABC所在平面外一點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，若與同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)的值為_________.答案：知識(shí)點(diǎn)四空間向量共線、共面的充要條件1.空間向量共線的充要條件（1）定理:對(duì)任意兩個(gè)空間向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得.（2）直線的方向向量:如圖所示,設(shè)O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線l的方向向量.直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定，即.2.共面向量（1）向量與直線平行:如圖所示,如果表示向量的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量平行于直線l.（2）向量與平面平行：如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量平行于平面α.（3）共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量.示例：已知空間向量，且,則一定共線的三點(diǎn)是()A.A,B,D

B.A,B,CC.B,C,D

D.A,C,D答案：A3.空間向量共面的充要條件（1）定理：如果兩個(gè)向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使.（2）推論：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有.四點(diǎn)P,A,B,C共面?對(duì)空間任意一點(diǎn)O，都有，且.示例：已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外的一點(diǎn)，空間中一點(diǎn)M滿足 判斷三個(gè)向量是否共面；判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).知識(shí)點(diǎn)五空間向量的夾角1.向量夾角的定義如圖，已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)O，作，則∠AOB叫做向量的夾角,記作.注：零向量與任意向量共線.2.向量夾角的范圍：兩個(gè)向量的夾角是唯一確定的，特別地，當(dāng)向量同向共線時(shí),,當(dāng)向量反向共線時(shí),,（3）向量垂直：如果，那么向量互相垂直，記作.知識(shí)點(diǎn)六空間向量的數(shù)量積1.數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量,則叫做向量的數(shù)量積,記作,即.規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0.示例：如圖所示,正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1,則________. 答案： 2.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則（1）.（2）.（3）當(dāng)同向時(shí),；當(dāng)反向時(shí),.（4）或.（5）.（6）向量的夾角公式：示例：下列說(shuō)法正確的是()若,則一定有B.若,則必是銳角C.向量同向共線,則必有D.若,則答案：C知識(shí)點(diǎn)七空間向量的投影（1）向量向向量投影:如①,在空間,向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量.（2）向量向直線l投影:如圖②,類似地,將向量向直線l投影，得到與直線l平行的向量.（3）向量向平面β投影:如圖③,分別由向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為得到向量,向量稱為向量在平面β上的投影向量.這時(shí)，向量,的夾角就是向量所在直線與平面β所成的角.知識(shí)點(diǎn)八空間向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律（1）交換律：.（2）（3）分配律：典例剖析題型一空間向量的相關(guān)概念的理解及應(yīng)用1.與空間向量概念有關(guān)的命題判斷例1.給出下列命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同;②若空間向量滿足,則;③在正方體中，必有;④若空間向量滿足則;⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是()A.1

B.2

C.3

D.4補(bǔ)充練習(xí):[多選題]下列各命題中的假命題為()A.向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等B.若向量與向量平行，則向量與向量的方向相同或相反C.兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同D.兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量2.在空間幾何體中找出相等向量或共線向量例2.如圖所示,幾何體為正六棱柱，在連接頂點(diǎn)的向量中.（1）與相等的向量有哪些?（2）與相等嗎?題型二空間向量的加減運(yùn)算例3.如圖所示,已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,E,F,G分別是BC,CD,DB的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)：（1）;（2）題型三空間向量的數(shù)乘運(yùn)算例4.如圖所示,在平行六面體中,,,,M是的中點(diǎn),點(diǎn)N是上的點(diǎn),且.用表示向量的結(jié)果是__________.補(bǔ)充練習(xí)：如圖,在四面體ABCD中，點(diǎn)M是棱BC上的點(diǎn)，且BM=2MC,點(diǎn)N是棱AD的中點(diǎn).若,其中x,y,z為實(shí)數(shù),則xyz的值是__________.題型四共線向量定理的應(yīng)用1.判斷向量共線或三點(diǎn)共線例5.已知空間不共線的向量,則下列三點(diǎn)一定共線的是()A.A,B,D

B.A,B,CC.A,C,D

D.B,C,D2.已知共線求參數(shù)例6.在四面體OABC中,點(diǎn)M,N分別為OA,BC的中點(diǎn),若,且G,M,N三點(diǎn)共線,則________.題型五共面向量定理的應(yīng)用例7.如圖所示,平行六面體中,E,F分別在和上,.（1）求證:四點(diǎn)共面.（2）若,求的值.題型六空間向量數(shù)量積的運(yùn)算例8.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，E,F,分別是BC,AD的中點(diǎn)，則的值為_________.補(bǔ)充練習(xí)：在四面體中，棱兩兩垂直，且，G為△ABC的重心，則等于__________.題型七利用空間向量的數(shù)量積求角1.求空間向量的夾角例9.如圖所示,在正四面體ABCD中,M,N分別為棱BC,AB的中點(diǎn),設(shè)，則___________.