2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè) 第08講 函數(shù)模型及其應(yīng)用（五大題型）（練習(xí)）（解析版）

第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u模擬基礎(chǔ)練 2題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型 2題型二：對(duì)勾函數(shù)模型 4題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型 6題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題 8題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題 10重難創(chuàng)新練 12真題實(shí)戰(zhàn)練 24題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型1．（2024·高三·四川巴中·期末）已知甲?乙兩個(gè)城市相距120千米，小王開(kāi)汽車(chē)以100千米/時(shí)勻速?gòu)募壮鞘旭偼页鞘?，到達(dá)乙城市后停留1小時(shí)，再以80千米/時(shí)勻速返回甲城市．汽車(chē)從甲城市出發(fā)時(shí)，時(shí)間x（小時(shí)）記為0，在這輛汽車(chē)從甲城市出發(fā)至返回到甲城市的這段時(shí)間內(nèi)，該汽車(chē)離甲城市的距離y（千米）表示成時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上：故選：D．2．汽車(chē)在行駛中，由于慣性，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱(chēng)這段距離為“剎車(chē)距離”.剎車(chē)距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù).在一個(gè)限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是相碰了.事后現(xiàn)場(chǎng)勘查，測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)，乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò).已知甲車(chē)的剎車(chē)距離與車(chē)速之間的關(guān)系為，乙車(chē)的剎車(chē)距離與車(chē)速之間的關(guān)系為.請(qǐng)判斷甲、乙兩車(chē)哪輛車(chē)有超速現(xiàn)象（

）A．甲、乙兩車(chē)均超速 B．甲車(chē)超速但乙車(chē)未超速C．乙車(chē)超速但甲車(chē)未超速 D．甲、乙兩車(chē)均未超速【答案】C【解析】對(duì)于甲車(chē)，令，即解得（舍）或，所以甲未超速；對(duì)于甲車(chē)，令，即解得（舍）或，所以乙超速；故選:C.3．（2024·高三·浙江·開(kāi)學(xué)考試）某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個(gè)時(shí)段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià).高峰時(shí)間段用電價(jià)格表：高峰月用電量（單位：千瓦時(shí)）高峰電價(jià)（單位：元/千瓦時(shí)）50及以下的部分超過(guò)50至200的部分超過(guò)200的部分低谷時(shí)間段用電價(jià)格表：低谷月用電量（單位：千瓦時(shí)）低谷電價(jià)（單位：元/千瓦時(shí)）50及以下的部分超過(guò)50至200的部分超過(guò)200的部分若某家庭7月份的高峰時(shí)間段用電量為250千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為150千瓦時(shí)，則該家庭本月應(yīng)付電費(fèi)為（

）元A． B． C． D．【答案】D【解析】高峰時(shí)段電費(fèi)為元，低谷時(shí)段電費(fèi)為元，共計(jì)元.故選：D題型二：對(duì)勾函數(shù)模型4．如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72（圖中陰影部分），上下空白各寬2，左右空白各寬1，則四周空白部分面積的最小值是（

）.A．56 B．65C．120 D．88【答案】A【解析】設(shè)陰影部分的長(zhǎng)為xdm，則寬為dm，四周空白部分的面積是ydm2.由題意得：y=(x+4)-72=8+2≥8+2×2=56，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=12時(shí)等號(hào)成立.故選：A5．一家金店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金．一位顧客到店內(nèi)購(gòu)買(mǎi)黃金，店員先將的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些黃金放在天平右盤(pán)中，使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些黃金放在天平左盤(pán)中，使得天平平衡；最后將兩次稱(chēng)得的黃金交給顧客．記顧客實(shí)際購(gòu)得的黃金為xg，則與20的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無(wú)法確定【答案】B【解析】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為，且，左盤(pán)放的黃金為克，右盤(pán)放的黃金為克，，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，由于，所以.故選：B6．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）小明在春節(jié)期間，預(yù)約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫(huà)，其中有一幅畫(huà)吸引了眾多游客駐足觀(guān)賞，為保證觀(guān)賞時(shí)可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線(xiàn)控制在距墻多遠(yuǎn)處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）已知該畫(huà)掛在墻上，其上沿在觀(guān)賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀(guān)賞者眼睛平視的上方1米處.（

）A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45【答案】A【解析】如圖，設(shè)觀(guān)賞者的眼睛在點(diǎn)處，油畫(huà)的上沿在點(diǎn)處，下沿在點(diǎn)處，點(diǎn)在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上，且保持與點(diǎn)在同一水平線(xiàn)上，則即觀(guān)賞時(shí)的視角.依題意，不妨設(shè)，則，在中，由余弦定理，，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，由可得，則，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，故得，即最大視角為，此時(shí)觀(guān)賞者距離油畫(huà)的直線(xiàn)距離為.故選：A.7．某廠(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)容積為，深為的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池.若池底的造價(jià)為元每平方米，池壁的造價(jià)為元每平方米，則這個(gè)水池的最低造價(jià)為元.【答案】【解析】因?yàn)樗氐娜莘e為，深為，所以底面積為，設(shè)水池池底的一邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，則總造價(jià)（元）.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值為.所以水池的最低造價(jià)為元.故答案為：.8．某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中，為兩條公路，，為景點(diǎn)，，，現(xiàn)需要修建一條經(jīng)過(guò)景點(diǎn)的觀(guān)光路線(xiàn)，，分別為，上的點(diǎn)，則面積的最小值為.【答案】200【解析】設(shè)，，由，可得，即.由，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值.故面積的最小值為.故答案為：.題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型9．某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度（單位：）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．若該食品在0的保鮮時(shí)間設(shè)計(jì)192小時(shí)，在22的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33的保鮮時(shí)間是小時(shí)．【答案】24【解析】由題意得，即，所以該食品在的保鮮時(shí)間是：．故答案為：24.10．考古學(xué)家對(duì)四川廣漢“三星堆古墓”進(jìn)行考古發(fā)據(jù)，科學(xué)家通過(guò)古生物中某種放射性元素的存量來(lái)估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為4200年（即：每經(jīng)過(guò)4200年，該元素的存量為原來(lái)的一半），已知古生物中該元素的初始存量為a，經(jīng)檢測(cè)古生物中該元素現(xiàn)在的存量為，請(qǐng)推算古生物距今大約年（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3）.【答案】5600【解析】由半衰期的定義可知，每年古生物中該元素的存量是上一年該元素存量的，因此該元素的存量y與時(shí)間x（年）的關(guān)系式為，x≥0，由，得，則，解得≈5600，所以該古生物距今大約5600年.故答案為：560011．某醫(yī)院開(kāi)展某種病毒的檢測(cè)工作，第天時(shí)每個(gè)檢測(cè)對(duì)象從接受檢測(cè)到檢測(cè)報(bào)告生成平均耗時(shí)（單位：小時(shí)），（為常數(shù)）．已知第16天檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)為16小時(shí)，第64天和第67天檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)均為8小時(shí)，那么可得到第49天檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)為小時(shí)．（精確到1小時(shí)）【答案】9【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，為常數(shù).且第64天和第67天檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)均為8小時(shí)，所以有，所以，.又，所以.所以，.所以.故答案為：9.12．測(cè)量地震級(jí)別常用里氏級(jí)，它是地震強(qiáng)度（即地震釋放的能量）的常用對(duì)數(shù)值．如日本1923年地震是8.9級(jí)，舊金山1906年地震是8.3級(jí)，問(wèn)日本1923年地震強(qiáng)度是舊金山1906年地震強(qiáng)度的倍．【答案】4【解析】設(shè)地震強(qiáng)度為x，則地震級(jí)別為，設(shè)日本1923年地震強(qiáng)度為，舊金山1906年地震強(qiáng)度為，由題意可得，則，因?yàn)?，則，所以，即日本1923年地震強(qiáng)度是舊金山1906年地震強(qiáng)度的4倍.故答案為：4.題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題13．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）人類(lèi)已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代．目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從級(jí)別躍升到乃至級(jí)別．國(guó)際數(shù)據(jù)公司的研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為2010年增長(zhǎng)到．若從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與年份的關(guān)系為，其中均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.【答案】1.5/【解析】由題意，，所以，所以，所以2022年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量，所以2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.故答案為：1.514．科學(xué)家在研究物體的熱輻射能力時(shí)定義了一個(gè)理想模型叫“黑體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體．然后，黑體根據(jù)其本身特性再向周邊輻射電磁波，科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率與該黑體的絕對(duì)溫度的次方成正比，即，為玻爾茲曼常數(shù)．而我們?cè)谧鰧?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的過(guò)程中，往往不用基礎(chǔ)變量作為橫縱坐標(biāo)，以本實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例，為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，則能夠近似得到（曲線(xiàn)形狀），那么如果繼續(xù)研究該實(shí)驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)結(jié)果的曲線(xiàn)如圖所示，試寫(xiě)出其可能的橫縱坐標(biāo)的變量形式．【答案】射線(xiàn)為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo).【解析】（1）因?yàn)?，為玻爾茲曼常?shù)．為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，因?yàn)?，所以，所以曲線(xiàn)是一條射線(xiàn)；（2）由于曲線(xiàn)的形狀類(lèi)似，根據(jù)曲線(xiàn)可知可能的橫縱坐標(biāo)的變量形式：為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，故答案為：為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo).故答案為：（1）射線(xiàn)；（2）為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo).15．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力滿(mǎn)足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風(fēng)面積，是該飛行器相對(duì)于空氣的速度，是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率.當(dāng)不變，比原來(lái)提高時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若不變，則比原來(lái)提高不超過(guò)B．若不變，則比原來(lái)提高超過(guò)C．為使不變，則比原來(lái)降低不超過(guò)D．為使不變，則比原來(lái)降低超過(guò)【答案】C【解析】由題意，，所以，，A：當(dāng)，不變，比原來(lái)提高時(shí)，則，所以比原來(lái)提高超過(guò)，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，，所以比原來(lái)提高不超過(guò)，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)，不變，比原來(lái)提高時(shí)，，所以比原來(lái)降低不超過(guò)，故C正確；D：由選項(xiàng)C的分析知，比原來(lái)降低不超過(guò)，故D錯(cuò)誤.故選：C16．小微企業(yè)是推進(jìn)創(chuàng)業(yè)富民、恢復(fù)市場(chǎng)活力、引領(lǐng)科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來(lái)，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實(shí)際還款比例與小微企業(yè)的年收入（單位：萬(wàn)元）的關(guān)系為.已知小微企業(yè)的年收入為80萬(wàn)元時(shí)，其實(shí)際還款比例為，若銀行希望實(shí)際還款比例為，則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：，1）（

）A．46.49萬(wàn)元 B．53.56萬(wàn)元 C．64.43萬(wàn)元 D．71.12萬(wàn)元【答案】A【解析】由題意知，化簡(jiǎn)得，故，得.則當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，得，故當(dāng)實(shí)際還款比例為時(shí)，小微企業(yè)的年收入約為46.49萬(wàn)元.故選：A題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題17．（2024·江西·二模）茶文化起源于中國(guó)，中國(guó)飲茶據(jù)說(shuō)始于神農(nóng)時(shí)代．現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過(guò)．一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測(cè)得這杯茶的溫度分別為，，給出三個(gè)茶溫T（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)生活常識(shí)，從這三個(gè)函數(shù)模型中選擇一個(gè)，模擬茶溫T（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間t（單位：分鐘）的關(guān)系，并依此計(jì)算該杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時(shí)間為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．2.72分鐘 B．2.82分鐘C．2.92分鐘 D．3.02分鐘【答案】B【解析】依據(jù)生活常識(shí)，茶溫一般不會(huì)低于室內(nèi)溫度，因此選擇模型③，得到解得因此．故選：B18．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）視力檢測(cè)結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄五分記錄現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①，②，表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，表示五分記錄數(shù)據(jù)，請(qǐng)選擇最合適的模型解決如下問(wèn)題：小明同學(xué)檢測(cè)視力時(shí)，醫(yī)生告訴他的視力為，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附，，）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故合適的函數(shù)模型為，令，解得.故選：B.19．（2024·高三·云南·期中）在一段時(shí)間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期（增加一倍所需的時(shí)間）為21個(gè)月，則100只野兔增長(zhǎng)到100萬(wàn)只野兔需要（

）個(gè)月.（記，）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)個(gè)月后野兔總只數(shù)為，∴，則，則，所以.故選：B.20．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）飲酒駕車(chē)、醉酒駕車(chē)是嚴(yán)重危害《道路交通安全法》的違法行為，將受到法律處罰.檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)：“飲酒駕車(chē)：車(chē)輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于，小于的駕駛行為；醉酒駕車(chē)：車(chē)輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于的駕駛行為.”據(jù)統(tǒng)計(jì)，停止飲酒后，血液中的酒精含量平均每小時(shí)比上一小時(shí)降低.某人飲酒后測(cè)得血液中的酒精含量為，若經(jīng)過(guò)小時(shí)，該人血液中的酒精含量小于，則的最小值為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】經(jīng)過(guò)小時(shí)，該人血液中的酒精含量為，由題意得，，即，解得：，所以的最小值為8.故選：B.21．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測(cè)）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開(kāi)發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過(guò)程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：則下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用和樓層數(shù)的回歸方程類(lèi)型的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】觀(guān)察散點(diǎn)圖，可知是一個(gè)單調(diào)遞減的曲線(xiàn)圖，結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類(lèi)型可得回歸方程類(lèi)型是反比例類(lèi)型，故C正確.故選：C.1．（2024·北京·三模）2024年1月17日我國(guó)自行研制的天舟七號(hào)貨運(yùn)飛船在發(fā)射3小時(shí)后成功對(duì)接于空間站天和核心艙后向端口，創(chuàng)造了自動(dòng)交會(huì)對(duì)接的記錄.某學(xué)校的航天科技活動(dòng)小組為了探索運(yùn)動(dòng)物體追蹤技術(shù)，設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：目標(biāo)P在地面軌道上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；在地面上相距的A，B兩點(diǎn)各放置一個(gè)傳感器，分別實(shí)時(shí)記錄A，B兩點(diǎn)與物體P的距離.科技小組的同學(xué)根據(jù)傳感器的數(shù)據(jù)，繪制了“距離-時(shí)間”函數(shù)圖像，分別如曲線(xiàn)a，b所示.和分別是兩個(gè)函數(shù)的極小值點(diǎn).曲線(xiàn)a經(jīng)過(guò)和，曲線(xiàn)b經(jīng)過(guò).已知，并且從時(shí)刻到時(shí)刻P的運(yùn)動(dòng)軌跡與線(xiàn)段AB相交.分析曲線(xiàn)數(shù)據(jù)可知，P的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線(xiàn)AB所成夾角的正弦值以及P的速度大小分別為（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與y軸重合，其在時(shí)刻對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（坐標(biāo)原點(diǎn)），，P的速度為，因?yàn)?，可得，由題意可知：均與y軸垂直，且，作垂足為，則，因?yàn)?，即，解得；又因?yàn)椤蝭軸，可知P的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線(xiàn)AB所成夾角即為，所以P的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線(xiàn)AB所成夾角的正弦值為.故選：B.2．（2024·湖南益陽(yáng)·三模）二手汽車(chē)價(jià)位受多方因素影響，交易市場(chǎng)常用年限折舊法計(jì)算車(chē)價(jià)位，即按照同款新車(chē)裸車(chē)價(jià)格，第一年汽車(chē)貶值20%，從第二年開(kāi)始每年貶值10%．剛參加工作的小明打算買(mǎi)一輛約5年的二手車(chē)，價(jià)格不超過(guò)8萬(wàn)元．根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車(chē)裸車(chē)最高價(jià)位是萬(wàn)，則（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【解析】依題意，，解得，則，又，則.故選：C.3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）物理學(xué)家本·福特提出的定律：在進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，應(yīng)用此定律可以檢測(cè)某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯(cuò)誤．根據(jù)此定律，在十進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率大約是以9開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率的（

）倍（參考數(shù)據(jù)：A．5.5 B．6 C．6.5 D．7【答案】C【解析】由題意，以開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，可得，所以.故選：C.4．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系式為（，且），圖象如圖所示．則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）①浮萍每個(gè)月增長(zhǎng)的面積都相等；②浮萍蔓延4個(gè)月后，面積超過(guò)30平方米；③浮萍面積每個(gè)月的增長(zhǎng)率均為50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，，，則．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由已知可得，則.對(duì)于①，浮萍蔓延1月至2月份增長(zhǎng)的面積為（平方米），浮萍蔓延2月至3月份增長(zhǎng)的面積為（平方米），①錯(cuò)；對(duì)于②，浮萍蔓延4個(gè)月后的面積為（平方米），②對(duì)；對(duì)于③，浮萍蔓延第至個(gè)月的增長(zhǎng)率為，所以，浮萍蔓延每個(gè)月增長(zhǎng)率相同，都是，③錯(cuò)；對(duì)于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，，，則，，，所以，④錯(cuò).故選：B.5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）2023年10月31日，國(guó)務(wù)院新聞辦舉行“權(quán)威部門(mén)話(huà)開(kāi)局”系列主題新聞發(fā)布會(huì)的第28場(chǎng)發(fā)布會(huì).會(huì)上提出蒙古國(guó)?中國(guó)，包括東北亞的日本?韓國(guó)，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙?植樹(shù)造林符合本地區(qū)各國(guó)和人民當(dāng)前及長(zhǎng)遠(yuǎn)利益.根據(jù)對(duì)中國(guó)國(guó)家整理的中國(guó)沙塵暴資料的分析，發(fā)現(xiàn)持續(xù)時(shí)間大于的沙塵暴次數(shù)滿(mǎn)足，目前經(jīng)測(cè)驗(yàn)地情況氣象局發(fā)現(xiàn)，時(shí)，次數(shù)時(shí)，次數(shù)，據(jù)此計(jì)算時(shí)對(duì)應(yīng)的持續(xù)時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．389 B．358 C．423 D．431【答案】D【解析】?jī)墒较啾?，得，又兩邊取?duì)數(shù)可得，所以，令，即，取對(duì)數(shù)并化簡(jiǎn)可得，因?yàn)椋运?故選：D.6．（2024·貴州遵義·一模）近年來(lái)，中國(guó)成為外來(lái)物種入侵最嚴(yán)重的國(guó)家之一，物種入侵對(duì)中國(guó)生物多樣性、農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)等構(gòu)成巨大威脅．某地的一種外來(lái)動(dòng)物數(shù)量快速增長(zhǎng)，不加控制情況下總數(shù)量每經(jīng)過(guò)7個(gè)月就增長(zhǎng)1倍．假設(shè)不加控制，則該動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長(zhǎng)到1億只大約需要）（

）A．8年 B．10年 C．12年 D．20年【答案】C【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)個(gè)月動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長(zhǎng)到1億，所以，所以，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：，所以，所以，而，所以該動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長(zhǎng)到1億只大約需要12年.故選：C.7．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）2023年6月22日，由中國(guó)幫助印尼修建的雅萬(wàn)高鐵測(cè)試成功，高鐵實(shí)現(xiàn)時(shí)速自動(dòng)駕駛，不僅速度比普通列車(chē)快，而且車(chē)內(nèi)噪聲更?。绻寐晱?qiáng)（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系式為，其中為基準(zhǔn)聲強(qiáng)級(jí)，為常數(shù)，當(dāng)聲強(qiáng)時(shí)，聲強(qiáng)級(jí)．下表為不同列車(chē)聲源在距離處的聲強(qiáng)級(jí)：聲源與聲源的距離（單位：）聲強(qiáng)級(jí)范圍內(nèi)燃列車(chē)20電力列車(chē)20高速列車(chē)20設(shè)在離內(nèi)燃列車(chē)?電力列車(chē)?高速列車(chē)處測(cè)得的實(shí)際聲強(qiáng)分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于：因?yàn)槁晱?qiáng)時(shí)，聲強(qiáng)級(jí)，所以，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，即，故B正確；對(duì)于C：，所以，即，故C不正確；對(duì)于D，，所以，即，故D不正確．故選：B．8．（2024·陜西商洛·三模）近年來(lái)商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進(jìn)了先進(jìn)的污水、雨水過(guò)濾系統(tǒng)．已知過(guò)濾過(guò)程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系為（為最初的污染物數(shù)量）．如果前3小時(shí)消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（

）A．2.6小時(shí) B．6小時(shí) C．3小時(shí) D．4小時(shí)【答案】C【解析】由題意可得，可得，設(shè)，，解得，因此，污染物消除至最初的還需要3小時(shí)．故選：C.9．（多選題）（2024·遼寧·二模）半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開(kāi)始，晶體管數(shù)量隨時(shí)間變化的函數(shù)，若，則下面選項(xiàng)中，符合摩爾定律公式的是（

）A．若是以月為單位，則B．若是以年為單位，則C．若是以月為單位，則D．若是以年為單位，則【答案】BC【解析】選項(xiàng)A，，，A不符合；選項(xiàng)B，，，，，符合；選項(xiàng)C，，則，，，，，符合，選項(xiàng)D，，，，，不符合．故選：BC．10．（多選題）（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）科學(xué)研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的．如果物體的初始溫度為，空氣溫度保持不變，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿(mǎn)足：．若空氣溫度為，該物體溫度從（）下降到，大約所需的時(shí)間為，若該物體溫度從，下降到，大約所需的時(shí)間分別為，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】BC【解析】有題意可知，，當(dāng)，則，即，，則，其是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿(mǎn)足，，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.11．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）小菲在學(xué)校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線(xiàn)．為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時(shí)間（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系．則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．隨著時(shí)間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多C．天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%D．天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%【答案】AB【解析】由函數(shù)解析式和圖象可知隨著的增加而減少，故A正確．由圖象的減少快慢可知：第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多，B正確．當(dāng)時(shí)，，則，即天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故C錯(cuò)誤．，故D錯(cuò)誤．故選：AB12．（多選題）（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：（和均為大于0的常數(shù)），為反應(yīng)速率常數(shù)（與反應(yīng)速率成正比），為熱力學(xué)溫度（），在同一個(gè)化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中為大于0的定值.已知對(duì)于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為和時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)分別為和（此過(guò)程中，與的值保持不變），則（

）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】AD【解析】由，，，根據(jù)不等式性質(zhì)可得，所以，又，所以，故，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；易知，若，可得，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：AD.13．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為，電子眼的最大可視半徑為．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個(gè)長(zhǎng)度為0.2m的木棒（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過(guò)的時(shí)間為s．（注意：位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，重力加速度?。敬鸢浮俊窘馕觥坑梢阎茫景糇鲎杂陕潴w運(yùn)動(dòng)，設(shè)從開(kāi)始下落到木棒的下端開(kāi)始進(jìn)入電子眼的視線(xiàn)和木棒的上端開(kāi)始離開(kāi)電子眼的視線(xiàn)所需要的時(shí)間分別為，位移分別為，所以，則，所以電子眼A記錄到木棒通過(guò)的時(shí)間為．故答案為：14．（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車(chē)2023年運(yùn)營(yíng)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：甲乙丙接單量t（單）783182258338油費(fèi)s（元）107150110264110376平均每單里程k（公里）151515平均每公里油費(fèi)a（元）0.70.70.7出租車(chē)空駛率；依據(jù)以上數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車(chē)的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則（精確到0.01）【答案】【解析】依題意，因?yàn)槌鲎廛?chē)行駛的總里程為，出租車(chē)有載客時(shí)行駛的里程為，所以出租車(chē)空駛率，對(duì)于甲，，滿(mǎn)足題意；對(duì)于乙，，滿(mǎn)足題意；所以上述模型滿(mǎn)足要求，則丙的空駛率為，即.故答案為：.15．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）．根據(jù)圖所提供的信息，回答下列問(wèn)題：

（1）從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．【答案】/【解析】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得，將代入可得，解得.綜上所述，.（2）由題意可得，因?yàn)樗幬镝尫胚^(guò)程中室內(nèi)藥量一直在增加，即使藥量小于毫克，學(xué)生也不能進(jìn)入教室，所以只有當(dāng)藥物釋放完畢，室內(nèi)藥量減少到毫克以下時(shí)學(xué)生方可進(jìn)入教室，即，解得，由題意至少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．故答案為：（1）；（2）.16．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方初始兵力，t為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方t時(shí)刻的兵力;正實(shí)數(shù)a，b分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為T(mén)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若且，則；②若且，則；③若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；④若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【解析】對(duì)于①，若且，則，即，所以，由可得，即①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)根據(jù)①中的結(jié)論可知，所以藍(lán)方兵力先為0，即，化簡(jiǎn)可得，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為，所以②正確；對(duì)于③，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時(shí)間大于藍(lán)方即可，設(shè)紅方兵力為0時(shí)所用時(shí)間為，藍(lán)方兵力為0時(shí)所用時(shí)間為，即，可得同理可得即，解得又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；所以可得③錯(cuò)誤，④正確.故答案為：①②④.1．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（北京卷））某輛汽車(chē)每次加油都把油箱加滿(mǎn)，下表記錄了該車(chē)相鄰兩次加油時(shí)的情況．加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）年月日年月日注：“累計(jì)里程“指汽車(chē)從出廠(chǎng)開(kāi)始累計(jì)行駛的路程在這段時(shí)間內(nèi)，該車(chē)每千米平均耗油量為（）A．升 B．升 C．升 D．升【答案】B【解析】因?yàn)榈谝淮梧]箱加滿(mǎn)，所以第二次的加油量即為該段時(shí)間內(nèi)的耗油量，故耗油量升.而這段時(shí)間內(nèi)行駛的里程數(shù)千米.所以這段時(shí)間內(nèi)，該車(chē)每100千米平均耗油量為升，故選B.2．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（北京卷））加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱(chēng)為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t（單位：分鐘）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘【答案】B【解析】由圖形可知，三點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最大值，故此時(shí)的t=分鐘為最佳加工時(shí)間，故選B.3．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)