2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè) 重難點(diǎn)突破08 利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題（四大題型）（解析版）

重難點(diǎn)突破08利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：整數(shù)解問題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離 2題型二：整數(shù)解問題之直接限制法 9題型三：整數(shù)解問題之虛設(shè)零點(diǎn) 14題型四：整數(shù)解問題之必要性探路 1803過關(guān)測(cè)試 24

利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題常見技巧有：1、分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離2、直接限制法3、虛設(shè)零點(diǎn)4、必要性探路題型一：整數(shù)解問題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離【典例1-1】（2024·高三·江西·期末）若集合中僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】原不等式等價(jià)于，設(shè)，，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又，時(shí)，，因此與的圖象如圖，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，或.由第一個(gè)不等式組，得，即，由第二個(gè)不等式組，得，該不等式組無解.綜上所述，.故選：A.【典例1-2】若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且存在唯一的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，得有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，且，又時(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：直線與的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即分別為，由題意知，又，，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)，所以，又直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知：，即.故選：C.【變式1-1】（2024·高三·福建泉州·期中）關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，即的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，即的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，即的解集中有無數(shù)個(gè)大于的整數(shù)，不符合題意.所以..若，即，設(shè)，，設(shè)，，在上遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，遞減，由于，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即的解集中有無數(shù)個(gè)大于的整數(shù)，不符合題意.所以，即，解得，所以的取值范圍是.故選：D【變式1-2】已知函數(shù)，若不等式的解集中有且僅有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，作出的函數(shù)圖象如圖所示：由僅有一個(gè)整數(shù)解，得只有一個(gè)整數(shù)解，設(shè)，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，在上恒成立，不符合題意，當(dāng)時(shí)，若只有1個(gè)整數(shù)解，則此整數(shù)解必為1，所以，即，解得．故選：D．【變式1-3】若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，且，可得，?gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，且，由題意可得，解得，所以的取值范圍是.故選：C.【變式1-4】（多選題）（2024·高三·廣東揭陽·期末）已知函數(shù)，且存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】令，得.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.如圖，分別作出函數(shù)與的圖象，其中直線恒過定點(diǎn).由圖可知，，，存在唯一的整數(shù)，使得，則需，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是，其中，，而，，故選：AC.【變式1-5】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】函數(shù)存在唯一的整數(shù)，使得，設(shè)與,即存在唯一的整數(shù)，使得在直線上方,，當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞減，,，若要存在唯一的整數(shù)，使得在直線上方，則或，代入得或，解得,故答案為：.題型二：整數(shù)解問題之直接限制法【典例2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若對(duì)于，，使得不等式恒成立，則整數(shù)x的最大值為．【答案】【解析】恒成立，等價(jià)于.令，，則，注意到時(shí)，，，時(shí)，.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.則，則.令，.當(dāng)，，故滿足條件；當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，故.令，.則，得在上單調(diào)遞增，時(shí)，，不合題意；綜上，整數(shù)x的最大值為.故答案為：.【典例2-2】（2024·河南南陽·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則整數(shù)的一個(gè)取值可以是．【答案】（答案不唯一，中的任意整數(shù)均可）【解析】由可知，，又在上有最小值，所以在上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，令，則在上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，所以，解得，又因?yàn)?，所?故答案為：（答案不唯一，中的任意整數(shù)均可）.【變式2-1】（2024·高三·重慶·期中）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有三個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)a的取值是（

）(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】不等式可整理為，當(dāng)時(shí)，成立，所以其它兩個(gè)整數(shù)解大于1，當(dāng)時(shí)，原不等式可整理為，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式的兩個(gè)整數(shù)解只能是2,3，所以不等式的三個(gè)整數(shù)解為1,2,3，則，解得，因?yàn)椋?，，所以整?shù).故選：B.【變式2-2】（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）過軸上一點(diǎn)作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個(gè)可能值為．【答案】，，，只需寫出一個(gè)答案即可【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線方程為．因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，所以，由題意關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)解，則，解得．因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的取值可能是，，.故答案為：，，，只需寫出一個(gè)答案即可【變式2-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象在處的切線過原點(diǎn)．(1)求的值；(2)設(shè)，若對(duì)總，使成立，求整數(shù)的最大值．【解析】（1）易知的定義域?yàn)?，又，的圖象在處的切線方程為，將代入，得；（2）．當(dāng)時(shí)，取得最小值，．由（1）知，．，得的定義域?yàn)椋畡t，易知單調(diào)遞增，又．即在上有唯一解，故．于是當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．在處取得極小值也是最小值．則，對(duì)總，使成立，只需，得．故整數(shù)的最大值為．【變式2-4】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在處取得唯一的極大值，即為最大值，所以，所以，而，所以.（2）令.則.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以關(guān)于的不等式不能恒成立；當(dāng)時(shí)，.令，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.所以整數(shù)的最小值為3.【變式2-5】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若為整數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）若時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.若，則二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸，當(dāng)，即時(shí)，1離對(duì)稱軸近，2離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，所以.當(dāng)，即時(shí)，1離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，2離對(duì)稱軸近，.若，對(duì)稱軸在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上，.（2）因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，?所以,當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù).又因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式不能恒成立.當(dāng)時(shí)，,令得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)?又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，,即關(guān)于的不等式恒成立，所以整數(shù)的最小值為2.題型三：整數(shù)解問題之虛設(shè)零點(diǎn)【典例3-1】已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)a的最大值．【解析】（1）若，則，，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則切線斜率，所以切線方程為，即．（2）由，得，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，設(shè)，，則在單調(diào)遞增，，，所以存在使得，即．時(shí)，，即；時(shí)，，即，則有在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以，因?yàn)?，所以，所以整?shù)a的最大值為4．【典例3-2】（2024·高三·陜西西安·期末）已知函數(shù)，對(duì)任意的，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，則整數(shù)的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由，即，得，設(shè)，則，顯然是上的增函數(shù).因?yàn)?，所以存在，使得，即；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，0，則；令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，則，又為整數(shù)，所以.故選：A【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，恒成立，則整數(shù)的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由題意得，在上恒成立，設(shè)，，所以，因?yàn)?，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)為，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.因?yàn)?，，所以，將代入可得，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，當(dāng)時(shí)，不成立，又，則整數(shù)的最大值為.故選：B.【變式3-2】（2024·浙江·三模）已知函數(shù)，，對(duì)任意，存在使得不等式成立，則滿足條件的的最大整數(shù)為.【答案】【解析】依題意對(duì)任意，且有，因?yàn)榇嬖谑沟貌坏仁匠闪?，所以存在使得，即，令，，則，令，，則在上單調(diào)遞增，且，，所以使得，即，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以，所以，依題意，又為整數(shù)，所以，所以的最大值為.故答案為：【變式3-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由題意，知對(duì)任意恒成立，可知對(duì)任意恒成立．設(shè)函數(shù)，只需．對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得．設(shè)函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．又，所以存在，使，即，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以．又，所以，所以整數(shù)的最大值為2．題型四：整數(shù)解問題之必要性探路【典例4-1】（2024·安徽合肥·三模）對(duì)于定義在上的函數(shù)，若存在，使得，則稱為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．設(shè)函數(shù)，已知為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，且對(duì)任意滿足條件的成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【解析】（1）依題意，方程在內(nèi)有根，且，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在，上都遞增，而，因此函數(shù)在、無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，，，則函數(shù)在，上都遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，遞減，在時(shí)，遞增，，而，有，，因此存在，使得，即函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，，無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，遞減，在時(shí)，遞增，，，令，求導(dǎo)得，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此存在，使得，即函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）依題意，，于是，即因?yàn)?，取，有，因此?，下證：對(duì)任意成立，令，，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，，即對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，，令，，函數(shù)在上遞增，，即，從而成立，當(dāng)時(shí)，只需證：成立，令，，只需證，，令，，顯然在上遞增，，，即存在，使，且當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，，整理得，因?yàn)楹瘮?shù)在遞減，所以，所以在恒成立，即在遞增，顯然，所以成立.【典例4-2】已知函數(shù)，對(duì)，不等式恒成立，則整數(shù)的最大值是.【答案】1【解析】通過觀察可得恒成立；整數(shù)滿足恒成立則一定滿足恒成立；注意到時(shí)，，取特殊值，得到，可驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，若取大于的整數(shù)，都有使得.下面驗(yàn)證滿足恒成立：令，，，，由零點(diǎn)存在定理得：存在使得.且當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；滿足.，當(dāng)且僅當(dāng)取等，,可得恒成立，即恒成立，恒成立.綜上，可知滿足題意的最大整數(shù)為.故答案為：1【變式4-1】（2024·浙江臺(tái)州·一模）設(shè)(1)求證：；(2)若恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)，）【解析】（1）要證：，（，），只要證：，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即與同號(hào)，故只要證：，即證：，令，（，），則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，故原不等式得證．（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，則，所以整數(shù)．當(dāng)時(shí)，由（1）可得，下證：，，只要證：．令，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，故，所以得證,綜上所述，整數(shù)的最大值為2．【變式4-2】已知，函數(shù)，．(1)若，求證：在上是增函數(shù)；(2)若存在，使得對(duì)于任意的成立，求最大的整數(shù)的值．【解析】（1），令，，令,解得在上單調(diào)遞減,單調(diào)遞增，，，命題得證.（2）存在,使得對(duì)于成立,等價(jià)于存在,使得對(duì)于成立，由于,原題意的必要條件是,對(duì)都成立設(shè),使得,即，在是減函數(shù),在是增函數(shù),其中,即，，顯然,由上圖知,，對(duì)都成立的最大整數(shù)是2，以下證明充分性,當(dāng)時(shí),存在,使得恒成立,,由上證明知存在大于0的正的最小值,故存在大于0的,使得恒成立，當(dāng)時(shí),設(shè),故對(duì)不恒成立，存在,使得對(duì)于任意的成立,最大的整數(shù)的值是2.【變式4-3】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整數(shù)a的最小值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令得.若，則；若，則.所以；（2）由，可得，當(dāng)時(shí)，，則，即.當(dāng)時(shí)，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以，所以成立.因此整數(shù)a的最小值為1.【變式4-4】，對(duì)，，求整數(shù)的最小值．【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不合題意，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為，即滿足題意，下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，由于，其對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，，綜上可得，整數(shù)的最小值為1．1．已知函數(shù)，若有且只有兩個(gè)整數(shù)使得，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，可得，其中，若時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，且，所以有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小整數(shù)為．【答案】1【解析】當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立，則，即恒成立，亦即恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以恒成立，即，令，，則，令，，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即，，故，據(jù)此可判斷滿足不等式成立，所以實(shí)數(shù)的最小整數(shù)為.故答案為：3．（2024·云南·三模）設(shè)函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)，設(shè)和因?yàn)榇嬖谖ㄒ徽麛?shù)，使得，所以存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，如圖所示，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也為最小值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又由直線恒經(jīng)過原點(diǎn)，斜率為（其中），所以且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)k的最大值為.【答案】1【解析】因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意恒成立，令，，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在有且僅有一個(gè)根，滿足，即，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，由對(duì)勾函數(shù)可知，即，因?yàn)?，即，，，所?故答案為：1.5．（2024·甘肅·三模）若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)的最大值為.【答案】1【解析】因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意恒成立，令，，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在有且僅有一個(gè)根，滿足，即，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，由對(duì)勾函數(shù)可知，即，因?yàn)?，所以，，所?故整數(shù)的最大值為1.故答案為：16．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，則m的取值范圍為．【答案】【解析】由題可知，，，由于的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，即，即，因?yàn)?，所以的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，畫出和的大致圖象，如圖所示：要使得，可知，設(shè)為和的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，可知該整數(shù)為1，即，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得，即，，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，得，所以的取值范圍為.故答案為：7．（2024·高三·上海寶山·期中）若不等式的解集中僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【解析】原不等式等價(jià)于，，設(shè)，所以，令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．又，時(shí)，，因此與的圖象如下，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足條件，當(dāng)時(shí)，只需滿足，解可得，．故答案為：．8．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求證：；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，求整數(shù)的最大值．【解析】（1）時(shí)，設(shè)，則，，即在上恒成立，在上單調(diào)增，

又，即；（2）時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以．下證符合．時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，．記，則只需證對(duì)恒成立．，令，則在遞減，又，所以存在，使得，則在遞增，在遞減；又，所以存在使得，且，所以在遞增，在遞減，又，所以對(duì)恒成立，因?yàn)椋苑希C上，整數(shù)的最大值為3．9．（2024·貴州·一模）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)恒成立，求整數(shù)a的最小值．【解析】（1）的定義域?yàn)?，（?。┊?dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，令，∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由，可得：，∵，∴原命題等價(jià)于對(duì)恒成立．令，∴，令，∴，∴在上單調(diào)遞增．又，故存在唯一的，使得．當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上單調(diào)遞減．∴，∴時(shí)，恒成立．∴，又，∴a的最小整數(shù)值為2．10．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上的最大值在區(qū)間內(nèi)，求整數(shù)m的值．【解析】（1），其定義域?yàn)?，，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由，得，所以．令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以存在，使得，即，即．故?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，（等號(hào)僅在時(shí)成立），所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（等號(hào)僅在時(shí)成立）．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，．所以，所以．11．（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且存在整數(shù)使得恒成立，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1），，若，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，若，則，所以函數(shù)在上遞增，若，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在和上遞增，若，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在和上遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在和上遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在和上遞增；（2）若，，，，令，則，令，則，所以函數(shù)在上遞增，即函數(shù)在上遞增，又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又，，，所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，且，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，令，，則，，所以函數(shù)在上遞減，所以，又，，所以，又存在整數(shù)使得恒成立，所以整數(shù)的最大值為0.12．設(shè)函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間(2)若，k為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求k的最大值【解析】（1）函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由于，所以，故當(dāng)，，等價(jià)于令，①則，由(1)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以在存在唯一零點(diǎn)，故在存在唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上的最小時(shí)為，又由，可得，所以，由于①等價(jià)于，故整數(shù)的最大值為2.13．已知，R．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求整數(shù)a的最小值．【解析】（1）由題意得的定義域?yàn)?，，①時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，②時(shí)，令得或（舍）當(dāng)，單調(diào)遞減當(dāng)，，單調(diào)遞增．（2）由題意得，整理得，因?yàn)?，所以原命題等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，則，令，易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，，故存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，也即為最大值，，故，又，故，又a為整數(shù)，故a的最小整數(shù)值為14．已知函數(shù).(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，在上恒成立，求整數(shù)k的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1），函數(shù)定義域?yàn)?，∵在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，，記，，解得，，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，a的取值范圍為（2）由可知，，∴，記，∵，令，，，解得，，解得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，∴，，，，∴，∴單調(diào)遞減，，，，∴單調(diào)遞增，，∵，，∴，∴整數(shù)k的最大值為6．15．（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若時(shí)，，求整數(shù)m的最大值.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），因，，在處的切線方程為：，由已知得，，所以；由得，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）；（2）時(shí)，不等式等價(jià)于，令，則，由（1）得在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以在上有唯一零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

，所以的最小值為，由得所以，由于，所以，因?yàn)?，所以m的最大值為2；綜上，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)