2025版高考數學大一輪復習第八章立體幾何初步第2講空間幾何體的表面積與體積分層演練文

PAGEPAGE1第2講空間幾何體的表面積與體積1．圓柱的底面積為S，側面綻開圖是一個正方形，那么圓柱的側面積是()A．4πS B.2πSC．πS D．eq\f(2\r(3),3)πS解析：選A.由πr2＝S得圓柱的底面半徑是eq\r(\f(S,π))，故側面綻開圖的邊長為2π·eq\r(\f(S,π))＝2eq\r(πS)，所以圓柱的側面積是4πS，故選A.2．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，側視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是()A．π B.eq\f(π,3)C.eq\r(3)π D．eq\f(\r(3)π,3)解析：選D.由三視圖可知，該幾何體是兩個同底的半圓錐，其中底的半徑為1，高為eq\r(22－12)＝eq\r(3)，因此體積＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.3．(2024·高考全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B.12C．14 D．16解析：選B.由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個面是梯形，這些梯形的面積之和為eq\f(（2＋4）×2,2)×2＝12，故選B.4．(2024·蘭州診斷考試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．(9＋eq\r(5))π B.(9＋2eq\r(5))πC．(10＋eq\r(5))π D．(10＋2eq\r(5))π解析：選A.由三視圖可知，該幾何體為一個圓柱挖去一個同底的圓錐，且圓錐的高是圓柱高的一半．故該幾何體的表面積S＝π×12＋4×2π＋eq\f(1,2)×2π×eq\r(5)＝(9＋eq\r(5))π.5．(2024·云南第一次統(tǒng)考)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()A．12 B.18C．24 D．30解析：選C.由三視圖知，該幾何體是直三棱柱削去一個同底的三棱錐，其中三棱柱的高為5，削去的三棱錐的高為3，三棱錐與三棱柱的底面均為兩直角邊分別為3和4的直角三角形，所以該幾何體的體積為eq\f(1,2)×3×4×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝24，故選C.6．將一個邊長分別為4π，8π的矩形卷成一個圓柱，則這個圓柱的表面積是________．解析：當以長度為4π的邊為底面圓時，底面圓的半徑為2，兩個底面的面積是8π；當以長度為8π的邊為底面圓時，底面圓的半徑為4，兩個底面圓的面積為32π.無論哪種方式，側面積都是矩形的面積32π2.故所求的表面積是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π7．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：該幾何體可視為正方體截去兩個三棱錐所得，所以其體積為8－eq\f(4,3)－eq\f(1,6)＝eq\f(13,2).答案：eq\f(13,2)8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，過A1，C1，B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1D1，這個幾何體的體積為eq\f(40,3)，則經過A1，C1，B，D四點的球的表面積為________．解析：設AA1＝x，則VABCD-A1C1D1＝VABCD-A1B1C1D1－VB-A1B1C1＝2×2×x－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×x＝eq\f(40,3)，則x＝4.因為A1，C1，B，D是長方體的四個頂點，所以經過A1，C1，B，D四點的球的球心為長方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線的中點，且長方體的體對角線為球的直徑，所以球的半徑R＝eq\f(\r(22＋22＋42),2)＝eq\r(6)，所以球的表面積為24π.答案：24π9.如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉一周所成幾何體的表面積及體積．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面積＝S圓臺側＋S圓臺下底＋S圓錐側＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺－V圓錐＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.10．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．解：(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四邊形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四邊形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f(9,7)(eq\f(7,9)也正確)．1．(2024·石家莊質量檢測(一))某幾何體的三視圖如圖所示(在網格線中，每個小正方形的邊長為1)，則該幾何體的體積為()A．2 B.3C．4 D．6解析：選A.由三視圖知，該幾何體為四棱錐，其底面面積S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，高為2，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×3×2＝2，故選A.2．(2024·沈陽質量檢測(一))已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝eq\r(2)，若球O的表面積為4π，則SA＝()A.eq\f(\r(2),2) B.1C.eq\r(2) D．eq\f(3,2)解析：選B.依據已知把S-ABC補成如圖所示的長方體．因為球O的表面積為4π，所以球O的半徑R＝1，2R＝eq\r(SA2＋1＋2)＝2，解得SA＝1，故選B.3．(2024·福州綜合質量檢測)已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在某球面上，PC為該球的直徑，△ABC是邊長為4的等邊三角形，三棱錐P-ABC的體積為eq\f(16,3)，則此三棱錐的外接球的表面積為()A.eq\f(16π,3) B.eq\f(40π,3)C.eq\f(64π,3) D．eq\f(80π,3)解析：選D.依題意，記三棱錐P-ABC的外接球的球心為O，半徑為R，點P到平面ABC的距離為h，則由VP-ABC＝eq\f(1,3)S△ABCh＝eq\f(1,3)×(eq\f(\r(3),4)×42)×h＝eq\f(16,3)得h＝eq\f(4,\r(3)).又PC為球O的直徑，因此球心O到平面ABC的距離等于eq\f(1,2)h＝eq\f(2,\r(3)).又正△ABC的外接圓半徑為r＝eq\f(AB,2sin60°)＝eq\f(4,\r(3))，因此R2＝r2＋(eq\f(2,\r(3)))2＝eq\f(20,3)，三棱錐P-ABC的外接球的表面積等于4πR2＝eq\f(80,3)π，選D.4．一個幾何體的三視圖如圖所示，且其側(左)視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為________．解析：由題意得，該幾何體為如圖所示的五棱錐P-ABCDE，所以體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1＋22))×eq\r(3)＝eq\f(5,3)eq\r(3).答案：eq\f(5,3)eq\r(3)5．已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H.(1)若圓錐內有一個高為x的內接圓柱，則x為何值時，圓柱的側面積最大？最大側面積是多少？(2)作一平面將圓錐分成一個小圓錐與一個圓臺，當兩幾何體的體積相等時，求小圓錐的高與圓臺的高的比值．解：(1)設圓柱的側面積為S，底面半徑為r.由eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，得r＝R－eq\f(R,H)·x.則圓柱的側面積S＝2πrx＝2πxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(R,H)·x))＝－eq\f(2πR,H)·x2＋2πRx，明顯，當x＝－eq\f(2πR,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2πR,H))))＝eq\f(H,2)時，圓柱的側面積最大，最大側面積為－eq\f(2πR,H)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(H,2)))eq\s\up12(2)＋2πR·eq\f(H,2)＝eq\f(1,2)πRH.(2)設小圓錐的底面半徑為a，高為b.由題意得小圓錐的體積V1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)πR2H＝eq\f(1,6)πR2H，由eq\f(a,R)＝eq\f(b,H)，且eq\f(1,3)πa2b＝eq\f(1,6)πR2H，得b＝eq\r(3,\f(1,2))H＝eq\f(\r(3,4),2)H.設圓臺高為c，則eq\f(b,c)＝eq\f(\f(\r(3,4),2)H,H－\f(\r(3,4),2)H)＝eq\f(\r(3,4),2－\r(3,4))，故小圓錐的高與圓臺的高的比值為eq\f(\r(3,4),2－\r(3,4)).6.(2024·高考全國卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面積為2eq\r(7)，求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)證明：在平面ABCD內，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)取AD的中點M，連接PM，CM.由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.設BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x