廣東省惠州中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

惠州中學(xué)2024--2025學(xué)年高一年級(jí)第二學(xué)期3月考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，不得折疊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為（）A.1 B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意找到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則由兩點(diǎn)間距離公式求得兩點(diǎn)之間的距離為，故選：B.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由可得出，可求出實(shí)數(shù)的值，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，若，則，即，解得或，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知向量滿足且在上的投影向量為則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由在上的投影向量為即可求解.【詳解】由在上的投影向量為，得，所以，故選：C.4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且b=ccosA，則△ABC的形狀為（）.A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】由余弦定理解三角形即可.【詳解】由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，由勾股定理的逆定理可知是以角為直角的直角三角形.故選：B.5.平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)P是邊CD的一個(gè)四等分點(diǎn)（靠近C點(diǎn)），則的值是（）A. B.2C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算將都用表示，利用數(shù)量積的運(yùn)算律即可得出答案.【詳解】由向量的線性運(yùn)算及題干條件可知，，，所以.故選：D.6.已知為的外接圓圓心，，則的最大值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓的性質(zhì)，得到，將轉(zhuǎn)換為，進(jìn)而求出最大值.【詳解】如圖所示：因?yàn)闉榈耐饨訄A圓心，，所以，且，所以，故當(dāng)共線反向時(shí)，取到最大值.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是推導(dǎo)出，再由數(shù)量積的運(yùn)算律得到.7.小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（

）A.20m B.30m C.20m D.30m【答案】D【解析】【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合在中，求得,再在中，由正弦定理，求得的長，最后在直角中，結(jié)合，即可求解.【分析】由，由題意知，所以，在中，可得,在中，由正弦定理得，所以，在直角中，故選：D.8.青花瓷（blueandwhiteporcelain），又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德鎮(zhèn)的湖田窯.圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，則，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】連接，如圖所示：則，根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)位于正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，有最小值為，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)位于正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，有最大值為2，此時(shí)，故，即的取值范圍是，故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用三角函數(shù)定義結(jié)合誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由三角函數(shù)定義可得，，，對(duì)于A選項(xiàng)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：BD.10.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，且，則（）A.的外接圓直徑為B.C.的面積為D.的周長為【答案】ABD【解析】【分析】由條件利用正弦定理求的外接圓直徑，判斷A，先證明，利用二倍角公式化簡(jiǎn)，再化角為邊判斷B，結(jié)合B的結(jié)論，由余弦定理可求，再利用三角形面積公式求面積，判斷C，求周長判斷D.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得外接圓直徑，故A正確；由易得，所以等價(jià)于，所以，由正弦定理得，故B正確；由余弦定理可得，代入，解得，的面積為，故C錯(cuò)誤，所以的周長為，D正確.故選：ABD.11.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．我們通過類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形．對(duì)于圖2．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.這三個(gè)全等的鈍角三角形可能是等腰三角形B.若，則C.若，則D.若是的中點(diǎn)，則的面積是面積的5倍【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：由，即可判斷A；對(duì)于B選項(xiàng)：在中，利用正弦定理求得，進(jìn)而可判斷B；對(duì)于C選項(xiàng)：在中，設(shè)，利用余弦定理即可求得，進(jìn)而可判斷C；對(duì)于D選項(xiàng)：利用三角形的面積公式，可得，進(jìn)而可判斷D．【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意，題圖2是由三個(gè)全等的針角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，故，所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，所以，而，所以，由正弦定理得，解得，又因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，不妨設(shè)，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若是的中點(diǎn)，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式進(jìn)行分析，由此即可順利得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.12.復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z的虛部為_______.【答案】【解析】分析】設(shè)化簡(jiǎn)式子求得值即可.【詳解】設(shè)，則，即得，故z的虛部為.故答案：13.已知點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.【答案】或.【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)有，設(shè)并應(yīng)用線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程求點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】令，由點(diǎn)在直線上，，則，所以，則，可得，或，則，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故答案為：或.14.在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn)．設(shè)，，記，則__________；若，的面積為，則當(dāng)__________時(shí)，取得最小值．【答案】①.##0.5②.2【解析】【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面積公式得到，結(jié)合和平面向量數(shù)量積公式，基本不等式得到的最小值，此時(shí)，由余弦定理得到.【詳解】由題意得，故，故；由三角形面積公式得，故，其中，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，故故答案為：，2四、解答題:本題共5小題，共77分.第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.15.已知向量（1）求;（2）若向量，試用表示；（3）若求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先寫出的坐標(biāo)，再計(jì)算模長即可；（2）按照向量的坐標(biāo)運(yùn)算解方程即可；（3）先求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合的坐標(biāo)按照向量共線解方程即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，所?【小問2詳解】由題可知與不共線，故設(shè)()，即，所以，解得，．因此.【小問3詳解】由題意得．因?yàn)椋?，解?16.記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，（1）求；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出角，進(jìn)而求出.（2）利用和角的正弦及正弦定理、三角形面積公式計(jì)算得解.【小問1詳解】在中，由及余弦定理，得，解得，而，則，由，得，又，所以.【小問2詳解】由（1），得，由正弦定理得，所以的面積為17.已知，，其中，，設(shè)函數(shù)，且，函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，根據(jù)，求得，再由函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，求得即可；（2）由，得到，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由求解.【小問1詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又函?shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為.所以，則，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，則，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值.18.在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與和角公式，結(jié)合三角形的幾何性質(zhì)，可得答案；（2）由三角函數(shù)的差角公式與輔助角公式，整理可得正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，即．因?yàn)?，所以，所以，即．因?yàn)椋裕拘?詳解】因?yàn)?，所以，所以，則．因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得，所以，所以，則，即的取值范圍是．19.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“友函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“友向量”.（1）記的“友函數(shù)”為，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)，其中，求的“友向量”模長的最大值；（3）已知點(diǎn)滿足，向量的“友函數(shù)”在處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根