貴州省貴州大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

貴州大學(xué)附屬中學(xué)高一下數(shù)學(xué)第一次月考考試試卷注意事項(xiàng)：1.本試題共150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、報(bào)名號(hào)填寫在答題卡上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則它的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件確定圓錐的底面半徑和高，在利用圓錐的體積公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以圓錐的底面半徑，高，所以圓錐的體積.故選：A.2.已知圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得圓臺(tái)的上、下底面的半徑，作出圓臺(tái)的軸截面，根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式計(jì)算出母線長(zhǎng)，再利用勾股定理求出圓臺(tái)的高即可．【詳解】做圓臺(tái)的軸截面，如圖：由題意得圓臺(tái)的上，下底面的半徑分別為2，6，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，高為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積，解得，所以.故選：C.3.已知一圓柱的底面半徑為2，體積為，若該圓柱的底面圓周都在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由圓柱體積公式求得圓柱高，從而求得球的半徑，然后由球表面積公式計(jì)算．【詳解】由題意圓柱的軸截面是球的大圓的內(nèi)接矩形，矩形的對(duì)角線是球的直徑，設(shè)圓柱高為，球半徑為，圓柱底面半徑為，由得，所以，，球表面積為，故選：A．4.如圖，在正方體中，直線與直線BD（）A.異面 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直【答案】A【解析】【分析】法一：根據(jù)異面直線的概念判斷即可.法二：利用反證法可證明直線與直線異面.【詳解】法一：由圖形可知，直線與直線不同在任何一個(gè)平面，這兩條直線為異面直線.法二：（反證法）假設(shè)直線與直線不異面，則直線與直線共面，設(shè)直線與直線確定的平面，又不共線，所以確定平面，所以平面與平面重合，從而可得平面，與平面矛盾，所以直線與直線異面.故選：A.5已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定的取值范圍，由指數(shù)函數(shù)的圖像及單調(diào)性確定的取值范圍即可比較大小.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的圖像在軸上方且在定義域上單調(diào)遞減，所以，所以，所以：故選：B6.已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量關(guān)系得出向量夾角，再結(jié)合向量的投影向量公式計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)?，所以O(shè)是的中點(diǎn)，所以,可得所以，所以.故選：D.7.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，整理可得：，由余弦定理可得，結(jié)合范圍即可解得的值．詳解：∵由正弦定理可得：∴，整理可得：，

∴由余弦定理可得：，

∴由，可得：故選B.．點(diǎn)睛：本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．8.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法和基本不等式求得的最小值【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，的方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，則，因?yàn)?，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列各式的值為的是（）A. B.C D.【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D；【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以原式，A不符合；對(duì)于B：原式，B符合；對(duì)于C：原式，C符合；對(duì)于D：原式，D符合.故選：BCD.10.如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面ABCD中，，，則（）A.該圓臺(tái)的高為B.該圓臺(tái)軸截面面積為C.該圓臺(tái)的體積為D.一只小蟲從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為5【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)梯形性質(zhì)利用勾股定理計(jì)算可判斷A；利用梯形面積公式計(jì)算可判斷B；代入圓臺(tái)體積公式可判斷C；利用圓臺(tái)側(cè)面展開圖以及勾股定理計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A，在梯形中，即代表圓臺(tái)的高，利用勾股定理計(jì)算可得，所以A正確；對(duì)于B，軸截面梯形的面積為，因此B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知下底面圓的面積為，上底面圓的面積為；所以該圓臺(tái)的體積為，可得C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圓臺(tái)側(cè)面沿直線處剪開，其側(cè)面展開圖如下圖所示：易知圓弧的長(zhǎng)度分別為，設(shè)扇形圓心為，圓心角為，；由弧長(zhǎng)公式可知，解得；所以可得，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)小蟲從點(diǎn)沿著爬行到的中點(diǎn)，所經(jīng)過路程最短，易知，且，由勾股定理可知，可知D正確.故選：AD11.已知中，角所對(duì)的邊分別是且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.是銳角三角形 B. C.的面積為 D.AB的中線長(zhǎng)為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角可知角為鈍角，可得A錯(cuò)誤；由余弦定理以及三角形面積公式計(jì)算可得BC正確，結(jié)合余弦定理判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由題意可知邊最大，所以角為的最大內(nèi)角，易知，因此角為鈍角，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知，又，可得，即B正確；對(duì)于C，由，可得的面積為，即C正確；對(duì)于D，設(shè)AB的中線為，易知，可得，即D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.函數(shù)的值域?yàn)開_________．【答案】【解析】【分析】由及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得到的取值范圍，進(jìn)而得到的取值范圍，從而得到的取值范圍，即可求得函數(shù)的值域.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，即的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?13已知，，且與不共線.若與互相垂直，則_________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直時(shí)的數(shù)量積為0即可得解.【詳解】由題意，即，可得：，解得：，故答案為：14.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則______________.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理將已知等式中的邊化為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)等式，最后求出角的值.【詳解】已知，由正弦定理可得：，得到.

因?yàn)?，所以，那?根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得.所以.

可得.因?yàn)?，所以，得?即，可得.又因?yàn)?，所?

故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)可得；（2）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得.【小問1詳解】，則，結(jié)合題意得，是偶函數(shù)，，時(shí)，.【小問2詳解】由（1）知當(dāng)，當(dāng)，的值域?yàn)?16.已知，，且與的夾角為120°，求：（1）；（2）若向量與平行，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平方的方法來求得正確答案.（2）根據(jù)向量平行列方程來求得.【小問1詳解】，所以.【小問2詳解】由于向量與平行，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，解得.17.已知的周長(zhǎng)為，且.（1）求邊的長(zhǎng)；（2）若的面積為，求角的度數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理將中的角化為邊，得，再結(jié)合的周長(zhǎng)即可得解；（2）由，得，再根據(jù)余弦定理即可求得的值，從而得解．【小問1詳解】解：由正弦定理知，，，的周長(zhǎng)為，，．【小問2詳解】解：的面積，，由（1）知，，，由余弦定理知，，．18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）最小值為,最大值為【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)周期公式求周期，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間列不等式，可得結(jié)果；（2）先確定取值范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【小問1詳解】所以函數(shù)的最小正周期為，由得即函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)橐虼水?dāng)時(shí)，取最小值，為，當(dāng)時(shí)，取最大值，為.19.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題，該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。?意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求角A；（2）設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡(jiǎn)可得，即可求得答案；（2）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再