對坐標的曲線積分課件2

機動目錄上頁下頁返回結束對坐標的曲線積分一、對坐標的曲線積分的概念與性質1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在xoy

平面內從點A沿光滑曲線弧L

移動到點B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.機動目錄上頁下頁返回結束1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點在機動目錄上頁下頁返回結束3)“近似和”4)“取極限”(其中

為n

個小弧段的最大長度)機動目錄上頁下頁返回結束2.定義.設

L

為xoy

平面內從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個向量函數(shù)極限記作機動目錄上頁下頁返回結束若

為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標的曲線積分也可寫作類似地,機動目錄上頁下頁返回結束3.性質(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則機動目錄上頁下頁返回結束積分的一個特征.說明:1.第二類曲線積分與積分曲線方向有關,

這是第二

機動目錄上頁下頁返回結束類曲線積分的一個重要特征,也是區(qū)別與第一類曲線

2.若積分為閉路,這時對于每種情形,都要說明積分是沿什么方向.3.平面閉路只要方向不變,第二類曲線積分的值與起點無關.二、對坐標的曲線積分的計算定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:

下面先證其中機動目錄上頁下頁返回結束分別對應于曲線L的起點A和終點B,對應參數(shù)設分點根據(jù)定義由于對應參數(shù)因為L為光滑弧,同理可證機動目錄上頁下頁返回結束特別是,如果L

的方程為則對空間光滑曲線弧

:類似有定理目錄上頁下頁返回結束應與終點.注:1.計算公式中,積分上、下限的安排應與曲線積分

機動目錄上頁下頁返回結束所沿的曲線方向相一致,即下限對應于起點,上限對

2.若空間曲線Γ有一段是與YZ平面平行的直線段,則在中沿該段直線的積分必等于0.例1.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點的一段.機動目錄上頁下頁返回結束例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則機動目錄上頁下頁返回結束例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式機動目錄上頁下頁返回結束例4.設在力場作用下,質點由沿

移動到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場對質點所作的功.其中

為機動目錄上頁下頁返回結束例5.求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:取

的參數(shù)方程機動目錄上頁下頁返回結束三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設有向光滑弧L

以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機動目錄上頁下頁返回結束切向量的指向與L的方向一致類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為機動目錄上頁下頁返回結束二者夾角為

例6.設曲線段L

的長度為s,證明續(xù),證:設說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連機動目錄上頁下頁返回結束例7.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周機動目錄上頁下頁返回結束1.定義2.性質(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內容小結機動目錄上頁下頁返回結束3.計算?對有向光滑弧?

對有向光滑弧機動目錄上頁下頁返回結束4.兩類曲線積分的聯(lián)系?

對空間有向光滑弧

:機動目錄上頁下頁返回結束原點O

的距離成正比,思考與練習1.設一個質點在處受恒指向原點,沿橢圓此質點由點沿逆時針移動到提示:F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.機動目錄上頁下頁返回結束2.

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:機動目錄上頁下頁返回結束3.解:線移動到向坐標原點,其大小與作用點到xoy

面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一質點在力場F

作用下由點機動目錄上頁下頁返回結束2.

設曲線