廣東省建文教育集團兩學部2024-2025學年高三上學期12月第一次模擬數(shù)學試題（含答案）

第第頁廣東省建文教育集團兩學部2024-2025學年高三上學期12月第一次模擬數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若復數(shù)z滿足zi=1+i，則z?zA．1 B．2 C．2 D．42．已知命題p:?x>0，x3=x2，A．p和q都是真命題 B．p和?q都是真命題C．?p和q都是真命題 D．?p和?q都是真命題3．記Sn為非零數(shù)列an的前n項和，若Sn+1=2SA．2 B．4 C．8 D．164．已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2的部分圖象如圖，A,B是相鄰的最低點和最高點，直線A．fx=2sin1C．fx=2sinπ 第4題圖 第5題圖5．眾數(shù)?平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關.根據(jù)某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：t），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為p，中位數(shù)為m，平均數(shù)為x，則（）A．m<p<x B．p<x<m C．m<6．將函數(shù)fx=sin2x?π6的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?A．0,π8 B．π8,π47．已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+1為奇函數(shù)，且y=f2x的圖象關于直線x=1對稱，若fA．?1 B．0 C．1 D．28．橢圓x2A．223 B．23 C．31二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9．在復平面內(nèi)，復數(shù)z1,z2對應的向量分別為A．z1?zC．若z1?z2=z110．已知圓錐的頂點為P,AB為底面圓O的直徑，∠APB=120°,PA=2，點C在圓O上，點G為AC的中點，PGA．該圓錐的側(cè)面積為3B．該圓錐的休積為πC．AC=D．該圓錐內(nèi)部半徑最大的球的表面積為1211．“∞”可以看作數(shù)學上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線．如圖所示的曲線C過坐標原點O，C上的點到兩定點F1?a,0，F(xiàn)2A．若F1F2=12B．若C上的點到兩定點F1、F2的距離之積為16，則點?4,0在C．若a=3，點3,y0在CD．當a=3時，C上第一象限內(nèi)的點P滿足△PF1F2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知log4a+2loga13．若存在a,b,c∈π,2π（a,b,c互不相等），滿足sinωa+sinωb14．已知函數(shù)fx=ex四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且b2（1）若2sinB=3sinC（2）若b+c=3,cosA=116．已知二階行列式abcd=ad?bc，三階行列式a1（1）計算12（2）設函數(shù)f(x)=x①若f(x)的極值點恰為等差數(shù)列an的前兩項，且an的公差大于0，求②若fx0=0,a∈(?2,?1)且a≠x017．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD,E為AD（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；（2）求平面PBE與平面PAB夾角的余弦值.18．已知函數(shù)fx（1）當a=0時，求函數(shù)fx的圖象在點1,f（2）討論函數(shù)fx（3）設gx=lnx?ex?19．設數(shù)列an的前n項和為Sn，且（1）求數(shù)列an（2）在a1和a2之間插入1個數(shù)x11，使a1,x11,a2成等差數(shù)列；在a2和a3之間插入2個數(shù)x21（i）若Tn=x（ii）對于（i）中的Tn，是否存在正整數(shù)m,n,p(n<p)，使得Tm=

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：方法1：因為zi=1+i，所以z=1+ii=1?i,z=1+i方法2：因為zi=1+i，所以zi=1+i，

即故答案為：C.【分析】利用兩種方法求解.

方法1：根據(jù)復數(shù)除法運算法則求出復數(shù)z，再利用共軛復數(shù)的定義結(jié)合復數(shù)乘法運算法則，從而可得復數(shù)z?z.

方法2：利用復數(shù)的模的性質(zhì)求出z的值，再由共軛復數(shù)的性質(zhì)z?z=|z2．【答案】B【解析】【解答】解：當x=1時，命題p:x3=當x=0時，命題q:x4>0故答案為：B.【分析】先判斷命題的真假，再判斷命題否定的真假即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：在非零數(shù)列an中，S1=a1≠0，

由Sn+1因此a5=S故答案為：C.【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義判斷出數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式得出Sn=4．【答案】C【解析】【解答】解：連接AB，函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π由圖象的對稱性，可知點C也在函數(shù)fx的圖象上，所以點C的坐標為?設BxB,2，由k=所以fx的最小正周期T滿足T解得T=4，即2πω=4，解得ω=π2，所以fx=2sinπ所以f13=2sin解得φ=π故答案為：C.【分析】連接AB，函數(shù)fx與x軸交于點C，從而得出點C的坐標，則點C也在函數(shù)fx的圖象上，再由兩點求斜率公式得出點B的坐標，從而可得函數(shù)fx的周期，再根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式求得ω的值，利用點B13,2是fx5．【答案】D【解析】【解答】解：觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)是屬于右邊“拖尾”，

所以平均數(shù)x大于中位數(shù)為m，由于第一個小矩形面積為4×0.060=0.24<0.50，前2個小矩形面積之和為4×0.060+0.080所以中位數(shù)位于5,9之間，

故可得0.240+m?5×0.080=0.5，解得由頻率分布直方圖可知眾數(shù)p=5+9故p<m<x故答案為：D.【分析】由頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的方法，從而比較出p，m，x6．【答案】C【解析】【解答】解：依題意可得gx若gx單調(diào)遞減，則π解得π6觀察選項可知，只需寫出在0,π易知當k=0時，單調(diào)遞減區(qū)間為π6,5π可得π4,3π故答案為：C.【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象變換得出函數(shù)gx的解析式，再利用換元法和正弦函數(shù)的單調(diào)性，從而得出正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而由集合的包含關系逐項判斷，從而找出函數(shù)g7．【答案】C【解析】【解答】解：由fx+1為奇函數(shù)，知fx的圖象關于點1,0對稱，則由f0=?1，得由y=f2x的圖象關于直線x=1對稱，則fx的圖象關于直線所以f4=f0綜上所述，f1由上可知fx+f2?x=0，所以f4+x=?f2+x所以i=150故答案為：C.【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的對稱性，從而求得f1=f3=0、f2=1、f48．【答案】B【解析】【解答】因為橢圓x2所以橢圓的焦點在y軸上，且m=3所以橢圓的離心率為9?53故答案為：B.

【分析】由條件確定焦點在y軸上，列方程求m=39．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：設z1=a+bi,z2=c+di對于A，當z1=1+i,z則z1對于B，因為z1a1所以z1對于C，當z1=1,z2=i滿足z1?z對于D，當z1=1+i,z又因為z1故答案為：ACD.【分析】利用舉例法和復數(shù)的運算法則以及復數(shù)求模公式，即可判斷選項A、選項C和選項D；再根據(jù)復數(shù)的運算法則和復數(shù)求模公式，從而判斷出選項B，進而找出說法不正確的選項.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由已知可得，∠DPO1=60°，PA=2，

易得等腰三角形PAB對于A，因為該圓錐的側(cè)面積為π×3對于B，因為該圓錐的體積為V=1對于C，如圖，取AC中點為G，連接GO,PG，

則∠PGO為PG與底面所成角為60°，故GO=3對于D，當球與圓錐內(nèi)切時，表面積最大，此時球心在圓錐的高上，設球心為O1，球的半徑為r，過O1向PB作垂線，垂足為D，則OD=r，

又因為∠DPO1=60°所以球的表面積為4π[故答案為：BCD.【分析】利用已知條件和等腰三角形的結(jié)構特征以及圓錐的側(cè)面積公式，則判斷出選項A；利用圓錐的側(cè)面積公式，則判斷出選項B；取AC中點為G，連接GO,PG，從而得出∠PGO為PG與底面所成角，再結(jié)合弦長公式得出AC的長，則判斷出選項C；利用∠DPO1=11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因為原點O在C上，則OF1?OF則a2=x?a若F1F2=12，則曲線若OF1?OF2=16，則a=4若a=3，點3,y0在C上，則整理得y02+18因為S△PF1F2所以點P是曲線C:x2+y2聯(lián)立曲線C和圓的方程，解得x=332，y=32，即P(故答案為：ACD.【分析】由題意得出OF1?OF2=a2，設x,y為C上任意一點，從而得到x2+y22=2a2x2?y2，再根據(jù)12．【答案】4【解析】【解答】解：由log4a+2log則log2a2?4log另解：由題意可知log4a+1利用基本不等式可得log4當且僅當12log2故答案為：4.【分析】利用兩種方法求解.

方法一：根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，從而可得log2a2?4log2a+4=0，從而解一元二次方程得出log13．【答案】9【解析】【解答】解：存在a,b,c∈π,2π（a,b,c互不相等），

滿足sin則sinωa不妨設π≤a<b<c≤2π，且是相鄰最值點，當sinωa=1,則a=π2+2kπ由k+54≤2k+當k=1時，94當k=2時，134當k≥3時，2k+1所以ω∈9當sinωa=?1,則a=?π2+2kπω由k+34≤2k?當k=2時，114當k≥3時，2k?1所以ω∈11綜上所述，ω∈9故答案為：94【分析】由題意可得sinωa=sinωb=sinωc=1，不妨設π≤a<b<c≤2π，再分14．【答案】e【解析】【解答】解：依題意，ex?lnx+1?m即ex+x≥lnmx函數(shù)gx=ex+x則x≥lnmx，即ex≥mx，

因此m≤設?x=exxx>0，于是m是函數(shù)?x在(0,+∞)上的最小值，求導得?'x函數(shù)?x在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，且所以m=e.故答案為：e.【分析】根據(jù)給定條件，利用同構變形構造函數(shù)，借助求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的最值，再結(jié)合不等式恒成立問題求解方法，從而得出實數(shù)m的值.15．【答案】（1）解：因為2sinB=3又因為b2+c所以△ABC的面積S=12bcsinA=62sinA=64（2）解：因為b+c=3,b2+所以bc=2，

由余弦定理得a=b因為b+c=3,bc=2，所以b=1,c=2或b=2,c=1，又因為sinB>sinC，所以b>c所以AC?【解析】【分析】（1）運用正弦定理邊角互化，再結(jié)合勾股定理得出b，c的值，再根據(jù)三角形的面積公式和三角形中角A的取值范圍，從而得出角A的值.（2）利用已知條件和勾股定理、余弦定理得出b，c的值，再結(jié)合正弦定理得出滿足要求的b，c的值，從而根據(jù)數(shù)量積的定義和余弦定理得出AC?（1）因為2sinB=3又b2+c所以△ABC的面積S=1則sinA=12，因為A∈(0,π)，所以A=（2）因為b+c=3,b2+所以bc=2.由余弦定理得a=b因為b+c=3,bc=2，所以b=1,c=2或b=2,c=1，又sinB>sinC，所以b>c所以AC?16．【答案】（1）解：原式==1?6?3×(2?9)+2×(4?3)=18．（2）解：①因為f(x)=x+x=x+x2x2當x<?13或x>1時，f'(x)>0；當所以f(x)在?∞,?13和所以f(x)的極大值點為?1因為f(x)的極值點恰為等差數(shù)列an的前兩項，且a所以a1=?13,a2=1，所以i=13證明：②因為f(1)=2,f(?1)=2,f(?2)=?16，所以f(x)在?13,+∞上無零點，

在?∞令?(x)=f則?當x∈?2,x0時，?'(x)>0,?(x)單調(diào)遞增；

所以?(a)<?x又因為?(a)=f'(a)令H(x)=f'x因為f'(x)=6x所以，當x∈?2,x0時，f'x當x∈x0,?1時，f'x所以H(a)>Hx又因為H(a)=f'x0a?【解析】【分析】（1）根據(jù)題設定義，即可得出12（2）根據(jù)題設定義，得到f(x)=2x3?2x2?2x+4.

①利用導數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的極值點，利用f(x)的極值點恰為等差數(shù)列an的前兩項，且an的公差大于0，從而得出數(shù)列的第一項和第二項的值，再根據(jù)等差數(shù)列的定義以及通項公式得出數(shù)列an的通項公式，進而得出a1=?13,a2=1，進而得出（1）原式==1?6?3×(2?9)+2×(4?3)=18．（2）f(x)=x+x2x（i）f'當x<?13或x>1時，f'(x)>0；當所以f(x)在?∞,?13和所以f(x)的極大值點為?1因為f(x)的極值點恰為等差數(shù)列an的前兩項，且a所以a1則公差d=1??13所以i=13（ii）因為f(1)=2,f(?1)=2,f(?2)=?16，所以f(x)在?13,+∞上無零點，在?∞令?(x)=f則?'當x∈?2,x0時，?'(x)>0,?(x)所以?(a)<?x而?(a)=f'(a)令H(x)=f'x因為f'(x)=6x所以當x∈?2,x0時，f當x∈x0,?1時，f所以H(a)>Hx而H(a)=f'x綜上，g(a)gx17．【答案】（1）證明：方法一；由PA=PD=2,CD=2，則PA2+PD2=DA又因為平面PAD⊥平面ABCD且交于AD,AB?平面ABCD，所以，AB⊥平面PDA，又因為DP?平面PDA，所以DP⊥AB，又因為AB∩DA=A,AB?平面PAB,DA?平面PAB，故DP⊥平面PAB，

又因為DP?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.方法二：因為ABCD為正方形，故CD⊥DA，又因為平面PAD⊥平面ABCD交于AD,CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PDA，

又因為PA?平面PAC，所以CD⊥PA,CD⊥PD，因為平面PAB和平面PCD交線平行于CD.故∠DPA是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，則PA=PD=2,CD=2，

所以故平面PAB⊥平面PCD.方法三：取BC中點為G，先證明：PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，∵PA=PD，點E為AD的中點.∴PE⊥AD，因為平面PAD⊥平面ABCD交于AD,PE?平面PAD，所以，PE⊥平面ABCD，

又因為EG?平面ABCD，所以，PE⊥EG，由已知DA⊥EG，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為PA=PD=2故C2,1,0CD=設平面PCD的一個法向量為n1則n1?CD=0n1?DP=0設平面PAB的一個法向量為n2則n2?BA=0n2?AP=0∴n1?所以，平面PAB⊥平面PCD.（2）解：取BC中點為G，

由（1）知，PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，從而建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D0,1,0,P0,0,1,B所以GB=0,?1,0顯然可知平面PAB的法向量為PD=設平面PBE的一個法向量為m=則m?EB=0m?EP=0，2a?b=0則cos<m所以平面PBE和平面PAB所成銳二面角的余弦值為105【解析】【分析】（1）利用三種方法證明.

方法一：先證明AB⊥平面PDA，從而得到DP⊥AB，再證明DP⊥面PAB，從而證出平面PAB⊥平面PCD.

方法二：根據(jù)二面角的平面角定義，從而判斷出∠DPA是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，由勾股定理可得∠DPA的值，從而證出平面PAB⊥平面PCD.

方法三：建立空間直角坐標系，利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關系和數(shù)量積的坐標表示，求出平面PCD和平面PAB的法向量，再根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關系，從而證出平面PAB⊥平面PCD.（2）取BC中點為G，由（1）知，PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，建立空間直角坐標系，得出點的坐標和向量的坐標，再利用兩向量垂直數(shù)量積求出平面PAB的法向量和平面PBE的一個法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式得出平面PBE和平面PAB所成銳二面角的余弦值.（1）方法一；由PA=PD=2,CD=2，有∴DP⊥AP，因為ABCD為正方形，故AB⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD交于AD,AB?平面ABCD，所以，AB⊥平面PDA，又DP?平面PDA，所以DP⊥AB，又AB∩DA=A,AB?平面PAB,DA?平面PAB，故DP⊥平面PAB，又DP?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.方法二；因為ABCD為正方形，故CD⊥DA，而平面PAD⊥平面ABCD交于AD,CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PDA，又PA?平面PAC，所以CD⊥PA,CD⊥PD，平面PAB和平面PCD交線平行于CD.故∠DPA是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角.PA=PD=2,CD=2.有故平面PAB⊥平面PCD.方法三：取BC中點為G，先證明：PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，∵PA=PD，點E為AD的中點.∴PE⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD交于AD,PE?平面PAD，所以，PE⊥平面ABCD，又EG?平面ABCD，所以，PE⊥EG，由已知DA⊥EG，建立如圖空間直角坐標系，因為PA=PD=2故C2,1,0CD=設平面PCD的一個法向量為n1則n1?CD=0n1?設平面PAB的一個法向量為n2則n2?BA=0n2?∴n1?所以，平面PAB⊥平面PCD.（2）取BC中點為G.由（1）知，PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，建立如圖所示空間直角坐標系，則D0,1,0,P0,0,1所以GB=0,?1,0,顯然可知平面PAB的法向量為PD=設平面PBE的一個法向量為m=則m?EB=0m?EP=0則cos<m所以平面PBE和平面PAB所成銳二面角的余弦值為10518．【答案】（1）解：因為fx當a=0時，fx當x=1時，f1所以，函數(shù)fx在x=1處的切線方程為y=ex?e?1（2）解：因為函數(shù)fx的定義域為R,①當a≤0時，ex?2a>0恒成立，令f'若f'x>0,x>0所以fx在?∞,0②當a>0時，f'令f'x=0（i）當ln2a<0，即若f'x>0,x<ln2a或所以fx在?∞,ln2a上遞增，在ln2a（ii）當ln2a=0時，即當a=12時，f'（iii）當ln2a>0時，即當a>12時，

若若f'則fx在?∞,0上單調(diào)遞增，在0,ln2a上單調(diào)遞減，綜上所述，當a≤0時，fx在?∞,0當0<a<12時，fx在?∞,ln2a上單調(diào)遞增，在ln2a,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增；當a=12時，fx在（3）解：由fx≥gx因為x>0，即a≤x設?x=x因為xex=令t=lnx+x,因為x>0，所以t∈R，下面先證et設φt=e令φ't=0，則t=0，

當φ當φ't<0所以φt在?∞,0所以φmint=φ0=0所以elnx+x即?x所以?minx=1故實數(shù)a取值范圍為?∞【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，由代入法得出切點坐標，再根據(jù)點斜式得出函數(shù)fx的圖象在點1,f（2）利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，再分類討論出函數(shù)fx（3）由fx≥gx參變分離得a≤xex?lnx?x?1+（1）fx當a=0時，fx當x=1時，f1函數(shù)fx在x=1處的切線方程為y=ex?e?1（2）函數(shù)fx的定義域為R,①當a≤0時