廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆高三三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，且，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選:D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，則，所以.故選：A3.在等差數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，故選:A.4.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則，則故選：C.5.在展開式中，的系數(shù)為（）A.15 B.90 C.270 D.405【答案】B【解析】在展開式中，的項(xiàng)為，所以所求的系數(shù)為90.故選：B6.有男?女教師各1人，男?女學(xué)生各2人，從中選派3人參加一項(xiàng)活動(dòng)，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教師，則不同的選派方案有（）A.10種 B.12種 C.15種 D.20種【答案】C【解析】從6人中任選3人，有種選法，其中，若全選男生或全選學(xué)生，有種選法，所以符合題意的選法為種.故選：C7.已知雙曲線.若直線與沒有公共點(diǎn)，則的離心率的范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線的一條漸近線為，因?yàn)橹本€與雙曲線無公共點(diǎn)，故有，即，，所以，所以.所以的范圍為.故選：C8.已知，，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，即，則，由，得，即，則，，則，因此，所以，即.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.有一組數(shù)、、、，這組數(shù)的第百分位數(shù)是B.在的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若不小于對(duì)應(yīng)的臨界值，可以推斷兩變量不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過C.隨機(jī)變量，若，，則D.以擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)代換后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則，【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，在的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若不小于對(duì)應(yīng)的臨界值，可以推斷兩變量不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，隨機(jī)變量，若，，解得，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，以擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)代換后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，即，可得，故，，D對(duì).故選：BD.10.已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.橢圓的長軸長是2B.的最大值是C.的面積的最大值為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)D.直線與橢圓相切時(shí)，【答案】BCD【解析】對(duì)于A：由，得，所以橢圓的長軸為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，得，則，，由，得，所以，又二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以該函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值，因?yàn)?，所以的最大值為，故B正確；對(duì)于C：由題意得，，所以，即的面積的最大值為，故C正確；對(duì)于D：由，消去y，得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，故D正確.故選：BCD.11.我們把稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為.若直線與雙曲余弦函數(shù)曲線和雙曲正弦函數(shù)曲線分別相交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則（）A.是奇函數(shù)B.C.在隨的增大而減小，在隨的增大而增大D.的面積隨的增大而減小【答案】ACD【解析】A：因?yàn)榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則是奇函數(shù)，故A正確；B：，，故，故B錯(cuò)誤；C：設(shè)，，則，，，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；則，則令，則，得；得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C正確；D：的面積為，故面積隨的增大而減小，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.圓被軸截得的弦長為________．【答案】4【解析】由題設(shè)可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，故所求弦長為，故答案為：413.已知為一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)，是母線，，該圓錐的底面半徑為.、分別在圓錐的底面上，則異面直線與所成角的最小值為______.【答案】【解析】如下圖所示：因?yàn)椤⒎謩e在圓錐的底面上，且為該圓錐的一條母線，所以，異面直線與所成角的最小值為直線與底面所成的角，由圓錐的幾何性質(zhì)可知，與底面垂直，且為底面內(nèi)的一條直線，則，所以，異面直線與所成角的最小值為，且，故.故答案為：.14.在中，，，，為內(nèi)一點(diǎn)，且.若，則的最大值為______.【答案】【解析】如圖，因，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè),則，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，有最大值為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，的面積為.已知.（1）求；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.解：（1）由，由余弦定理，，代入即得：，化簡得：因?yàn)?，所?（2），由，解得，又，所以或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為和.16.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處有極值，求的值；（2）對(duì)任意，在上單調(diào)遞增，求的最大值.解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，所以，，得，.從而，，即.解得或，若，則，此時(shí)，顯然單調(diào)遞增，不存在極值，矛盾.所以只可能，.當(dāng)，時(shí)，.從而對(duì)有，這說明此時(shí)確實(shí)在處取到極小值.故所求的為.（2）①若，則當(dāng)時(shí)，對(duì)有.所以在上單調(diào)遞減.而，所以不可能在上遞增，不滿足條件；②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，且等號(hào)僅在一點(diǎn)成立.所以單調(diào)遞增，故一定在上單調(diào)遞增，滿足條件.綜上，的最大值為.17.如圖，已知四棱錐中，頂點(diǎn)在底面上的射影落在線段上（不含端點(diǎn)），，，，.（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，直線與平面所成角為，求的值.（1）證明：由于平面平面故因?yàn)?，所以底面為直角梯形，故，過，且與相交于，則，又，故,所以,由于平面，，所以平面，（2）解：由題意可知，過作的垂線，垂足為,連接,由于平面平面故，平面，故平面，平面，故，故為二面角的平面角，所以從而.18.某學(xué)校有、兩家餐廳，某同學(xué)每天都會(huì)在這兩家餐廳中選擇一家餐廳用晚餐.已知該同學(xué)第一天隨機(jī)選擇一家餐廳用晚餐，若在前一天選擇去餐廳的條件下，后一天繼續(xù)選擇餐廳的概率為；而在前一天選擇去餐廳的條件下，后一天繼續(xù)選擇去餐廳的概率為，如此往復(fù).（1）求該同學(xué)第一天和第二天都選擇去餐廳用晚餐的概率；（2）求該同學(xué)第二天選擇去餐廳用晚餐的概率；（3）記該同學(xué)第天選擇去餐廳用晚餐的概率為，求的通項(xiàng)公式.解：（1）記事件該同學(xué)第天去餐廳，則，，，由概率乘法公式可得.（2）由對(duì)立事件的概率公式可得，由全概率公式可得.（3）記事件該同學(xué)第天去餐廳，則，由題意可知，，，由全概率公式可得，即，則，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，，故.19.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過上點(diǎn)的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）比較與的大小，并說明理由；（3）過點(diǎn)直線與交于兩點(diǎn)，，，的延長線分別交于兩點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值.解：（1）已知點(diǎn)在拋物線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程可得：，即，解得，所以拋物線的方程為；（2）拋物線，則，當(dāng)時(shí)，切線斜率，由點(diǎn)斜式可得過點(diǎn)的切線方程為，即；令，可得，所以；由，可得，所以，設(shè)直線