曲線上存在互相垂直的兩條切線問題探究（教師版）

曲線上存在互相垂直的兩條切線問題探究曲線上存在兩條互相垂直的切線問題，這類問題外地考的會比較多一些，上?？吹降念愋皖}會少一些。一般可以分為兩類：①斜率存在的情況下，則②導(dǎo)函數(shù)的上確界為正，下確界為負(fù)，且滿足乘積小于等于1的情況。一、上?？碱}：①（2025年建平高三3月月考試卷21題）已知函數(shù)y=fx,若點(diǎn)P是函數(shù)y=fx的圖像的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn):則點(diǎn)P是函數(shù)y=fx的“特征點(diǎn)”,記y=(1)若fx=sinx,x(2)若fx=x2,求證:函數(shù)(3)若fx=x3?ax2,記函數(shù)y=fx的所有點(diǎn)組成的集合為【解析】(1)假設(shè)fx=sinx,x∈0,設(shè)為x=x1和因為f′所以f′由于cosx的值域為?所以cosx1cosx2=?1只能在或者cosx1=?1和又因為x∈所以x1=0x2當(dāng)x1=0時,f所以切線方程為y?0=1×當(dāng)x2=π時,所以切線方程為y?由y=xy=?x所以“特征點(diǎn)”為π2,π2.當(dāng)因此Mf(2)證明：設(shè)“特征點(diǎn)”Px0,y0是fx在x因為fx=x2所以fx在x=x1和x即y=聯(lián)立y=2x1x即P1又因為兩條切線相互垂直,所以f′所以x1所以fx的所有“特征點(diǎn)”在一條定直線y(3)因為Mf所以由題意可知不存在fx該點(diǎn)是“特征點(diǎn)”,先證明:對任意的實數(shù)a,若fx“特征點(diǎn)”,則該點(diǎn)本身一定是切點(diǎn),反證法:假設(shè)該點(diǎn)Qx1則存在切線y=f函數(shù)圖象交于點(diǎn)Q,所以y1化簡得x1因為x1≠x2同理可得x1所以x1=假設(shè)Ax2,y2,則由上可知x3=a?2f因為f′所以3x即3x設(shè)t=3x22?2axt由題意可知fx圖象上的點(diǎn)都不是“特征點(diǎn)”即不存在這樣的點(diǎn)B,所以方程4t2+a2t設(shè)gt=4t,所以當(dāng)t=?a28時,gt取最小值1?a416,要使得g(t)=0無解,只需1?②（2023年上海閔行二模21題）如果曲線y=fx存在相互垂直的兩條切線,稱函數(shù)y=fx是“正交函數(shù)”.已知fx=x2+ax+(1)當(dāng)f′1=0時,求實數(shù)(2)當(dāng)a=?8,x0=8時,是否存在直線l2滿足l1⊥(3)當(dāng)a≥?5時,如果函數(shù)y=fx是“正交函數(shù)”,求滿足要求的實數(shù)a的集合D；若對任意a∈D,曲線y=fx都不存在與l【解析】（1）由題設(shè),函數(shù)定義域為0,+∞,且f由f′1=4+（2）當(dāng)a=?8時,f′x=即l1的斜率k1=334,假設(shè)l2存在,則則f′x=k2有解,即2x+該方程化簡為33x2?130x+33=0,解得（3）令?x=f′x當(dāng)x∈0,1時當(dāng)x∈1,+∞時設(shè)曲線y=fx的另一條切線的斜率為①當(dāng)a≥?4時,f′x=2x②當(dāng)?5≤a<?4時,fx趨近于0或x趨向于正無窮大時,f′x所以f′x在0,1、故當(dāng)x∈0,x1或當(dāng)x∈x1,x2時即曲線y=fx因為a∈[?由②知,曲線y=f不妨設(shè)x0滿足f′x0f′又4+所以f′故2t0+1t0立,所以t0+1t0又f′x0=2x?因為12所以x0綜上可知,對任意滿足?5≤a<?4的所有函數(shù)不存在與l1垂直的切線l2全國考題：①(2024年北京朝陽區(qū)一模)已知函數(shù)fx=12sin2x.若曲線y=fx在點(diǎn)A【解析】f′x=cos2x即cos2x1?cos2x2=?1或cos2x1=?1所以x1?x2=?π2+k1?k2②(2021?新高考II)已知函數(shù)fx=|ex?1|,（x1<0,x2>0）,函數(shù)fx的圖象在點(diǎn)【解析】當(dāng)x<0時,fx=可得在點(diǎn)Ax1,1?切線AM的方程為y?令x=0,可得y=1?ex當(dāng)x>0時,fx=e可得在點(diǎn)Bx2,ex令x=0,可得y=ex2?由fx的圖象在A,B處的切線相互垂直,可得即為x1所以AMBN故答案為