《基于數(shù)學(xué)史的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)案例》4200字

基于數(shù)學(xué)史的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)案例綜述1.1基于數(shù)學(xué)史的“弧度制”的教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材內(nèi)容分析“弧度制”是教材必修1的“三角函數(shù)”這一章的主要內(nèi)容之一.教材中通過舉例類比的方式說明弧度制,隨后探索得出弧度制的定義.本節(jié)內(nèi)容主要是讓學(xué)生知道引入弧度制的意義,學(xué)會(huì)角度與弧度的相互轉(zhuǎn)化，掌握弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式,并且能使用公式解決問題.二、學(xué)情分析學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了角度制,對(duì)角度有了清晰的了解,但是還未接觸過弧度,學(xué)習(xí)起來會(huì)顯得有點(diǎn)吃力.三、目標(biāo)分析知識(shí)與技能:(1)熟練使用角度與弧度的換算;(2)了解并掌握1弧度的定義;過程與方法:通過讓學(xué)生經(jīng)歷弧度制定義得出的同時(shí),把學(xué)生分成多個(gè)小組,然后進(jìn)行討論,以此來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生與人合作的思想,感受引入弧度制的意義所在.情感態(tài)度與價(jià)值觀:讓學(xué)生從頭到尾感受弧度制概念的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生的探索思維以及堅(jiān)持學(xué)習(xí)的習(xí)慣.四、教學(xué)重難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn):弧度的定義,1弧度的定義,弧度與角度換算.教學(xué)難點(diǎn):弧度的定義及其與角度的轉(zhuǎn)換.五、教學(xué)過程1、問題引入思考題:生活中通常使用厘米、米為單位測(cè)量人體的身高,那么應(yīng)該怎樣換算這兩種單位呢？人們購(gòu)買蔬菜時(shí)常使用的單位為斤、千克,這兩種單位要怎樣才能進(jìn)行換算？測(cè)量計(jì)算角的大小時(shí)通常用度做單位外,還能用哪種單位度量角？我們要怎樣對(duì)這兩種單位進(jìn)行換算呢？設(shè)計(jì)意圖:一開始就通過一系列問題導(dǎo)入弧度制.2、探究新知例題①:我們初中時(shí)就學(xué)習(xí)了角的測(cè)量,當(dāng)時(shí)是怎樣定義這個(gè)角的呢?例題②:大家都知道長(zhǎng)度與重量的度量來說,使用單位制不同能給我們的解題帶來便捷.那么我們對(duì)角進(jìn)行度量時(shí)是否能用多種單位制進(jìn)行計(jì)算呢?設(shè)計(jì)意圖:這部分通過問題,引導(dǎo)學(xué)生思考角的度量是否有不同的單位制.師生交流:老師展示出問題后,先讓學(xué)生獨(dú)立思考問題,遇到不懂的進(jìn)行小組討論,然后引導(dǎo)學(xué)生回想關(guān)于角度的知識(shí),告訴學(xué)生這對(duì)認(rèn)識(shí)弧度制來說是至關(guān)重要的,為充分地了解角度與弧度之間的關(guān)系打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).經(jīng)過討論后再次對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問,對(duì)回答情況良好的學(xué)生給予及時(shí)的評(píng)價(jià)并給予口頭贊賞,對(duì)那些表現(xiàn)不良好的學(xué)生給予提示并引導(dǎo)其深入地思考問題.最后教師在講臺(tái)上工整地書寫弧度制的定義:若圓上取得的弧的長(zhǎng)度與這個(gè)圓的半徑相等,那么我們把這個(gè)弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角大小叫做1弧度.像這樣度量角時(shí)所用的單位制我們叫做弧度制;在弧度制下,1弧度可以記為1.圖81弧度的角圖8的長(zhǎng)度等于其所在圓的半徑,那么所對(duì)的圓心角大小為1弧度,=1.圖81弧度的角討論得出結(jié)論:可以把的角看做把一個(gè)圓周角細(xì)分成360等份,那么所得的每一等份圓心角的大小就為.的值是固定,其大小與圓的半徑的大小是無關(guān)的.問題③:在坐標(biāo)系下畫半徑不相同的兩個(gè)圓甲、乙,并在每個(gè)圓上標(biāo)明與半徑等長(zhǎng)的弧長(zhǎng),在把圓心與弧兩端的點(diǎn)連接起來,得到兩個(gè)角,再把甲、乙兩圖放在同一個(gè)坐標(biāo)系下,觀察兩個(gè)角的關(guān)系是怎樣的？問題④:設(shè)圓的半徑為,弧長(zhǎng)為,所對(duì)的圓心角為,那么的弧度數(shù)大小為多少呢？請(qǐng)問弧度制、角度制都能用來度量角嗎？如果能,請(qǐng)表達(dá)出他們?cè)鯓舆M(jìn)行換算的？活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生思考角度制和弧度制之間的關(guān)系并歸納出來,期間抽問學(xué)生思考的情況,讓學(xué)生敘述二者的區(qū)別與聯(lián)系.然后教師給予補(bǔ)充與拓展,對(duì)回答情況良好的學(xué)生給予及時(shí)的肯定和適當(dāng)?shù)谋頁P(yáng),對(duì)那些表現(xiàn)不良好的學(xué)生給予提示并引導(dǎo)其深入地思考問題.引入弧度后,帶著學(xué)生拿角度與之比較,讓學(xué)生學(xué)會(huì):第一,弧度制與角度制都是可以用來度量角,只是角度制用“度”做單位,弧度制用“弧度”做單位;第二,1弧度等于與半徑等長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角,等于圓周角的;第三,無論是在弧度制下,還是在角度制下,每個(gè)角的大小都是一個(gè)定值,與半徑無關(guān).討論結(jié)果:③這個(gè)圖完全重合,這兩個(gè)角相等.;把角度轉(zhuǎn)化為弧度:,=≈0.01745,把弧度轉(zhuǎn)化為角度:,.二者間的換算公式為:.問題⑤:弧度制下,平面直角坐標(biāo)系中終邊相同的角用弧度怎么表示?大家再思考下,在弧度制下,扇形的面積與弧長(zhǎng)公式應(yīng)如何表示?問題⑥:把表格補(bǔ)充完整,尋找其中又什么規(guī)律?表1弧度與角度轉(zhuǎn)換-1表1弧度與角度轉(zhuǎn)換-1的長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)的方向的弧度數(shù)的度數(shù)逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向1-20活動(dòng):教師道出教材的這個(gè)“探究”的意圖是根據(jù)圖象填出一些特殊角在弧度制和角度制下的大小,然后做出總結(jié).教師充分地帶著學(xué)生互動(dòng)起來,討論、思考并總結(jié)出規(guī)律,抽問學(xué)生的思考、總結(jié)學(xué)生的情況,隨機(jī)抽查學(xué)生問題,對(duì)回答情況良好的學(xué)生給予及時(shí)的肯定和適當(dāng)?shù)谋頁P(yáng),對(duì)那些表現(xiàn)不良好的學(xué)生給予提示并引導(dǎo)其深入地思考問題.抽查學(xué)生后,教師對(duì)自己做出總結(jié)反思.由表1得,一個(gè)圓的半徑為,圓心角為,所對(duì)的弧長(zhǎng)為,那么在弧度下的值為,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)并掌握角度制、弧度制間是能進(jìn)行換算.教師對(duì)角的概念進(jìn)行延伸后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集間可以建立起一對(duì)一的關(guān)系.在用角表示其他角時(shí),可以用弧度制,也可以用角度制,主要是依據(jù)角的單位來決定另一個(gè)角的單位,此時(shí)兩個(gè)角所用的單位制是一定要統(tǒng)一的,不能出現(xiàn)或者類似的寫法.在弧度制下,與角終邊相同的角或角本身,都可以寫成這樣.圖9為角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一對(duì)一的關(guān)系.圖9一一對(duì)應(yīng)關(guān)系討論結(jié)果:⑤與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以寫成的形式.弧度制下,與扇形有關(guān)的公式有,,.圖9一一對(duì)應(yīng)關(guān)系表2弧度與角度轉(zhuǎn)換-2表2弧度與角度轉(zhuǎn)換-2的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向1順時(shí)針方向-2順時(shí)針方向0未旋轉(zhuǎn)0逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向3、概念深化:問題6:、、之間有怎樣的關(guān)系;弧度該怎樣與角度進(jìn)行換算?問題7:在弧度制下,,周角為多少？在角度制下,周角的值又是多少？4、練習(xí)鞏固:(1)把下列角度化成弧度:①②③(2)把下列弧度化成角度:①②③分析:因?yàn)?所以.,將轉(zhuǎn)換為弧度,得,于是,將代人上式,即得.5、課堂小結(jié)由學(xué)生探索老師歸納得出弧度制的定義,掌握角度與弧度之間的關(guān)系換算,、理解并牢記,基于此,就能使角度與弧度的換算變得簡(jiǎn)潔;要求學(xué)生記住需要特別要注意的三個(gè)問題;熟記特殊角的弧度數(shù)并能加以使用.六、作業(yè)布置教科書P179習(xí)題3、4、6題．1.2基于數(shù)學(xué)史的“任意三角函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材內(nèi)容分析教材先根據(jù)一段話引出“單位圓定義法”,然后設(shè)置探究讓學(xué)生思考,接著由老師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出任意角三角函數(shù)的概念與定義.但在實(shí)際的教學(xué)過程中,學(xué)生應(yīng)該注意的問題有:“任意角的三角函數(shù)”與“銳角三角函數(shù)”相比有什么優(yōu)點(diǎn)?在我們的現(xiàn)實(shí)生活中怎么使用三角函數(shù)來表示周期性變化的現(xiàn)象呢?“單位圓定義法”與“終邊定義法”有哪些不同點(diǎn)呢,它們之間又有什么關(guān)聯(lián)呢?二、學(xué)情分析學(xué)生學(xué)習(xí)了必修1,對(duì)“函數(shù)”的概念有了大致了解,已經(jīng)掌握了定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域的意義和求法;也學(xué)習(xí)過其他的函數(shù),由此知道對(duì)怎樣學(xué)習(xí)一個(gè)新函數(shù)有了一些方法以及學(xué)習(xí)步驟,并且已經(jīng)具備學(xué)習(xí)新函數(shù)的能力以及相關(guān)的知識(shí)儲(chǔ)備.三、目標(biāo)分析知識(shí)與技能:(1)對(duì)任意角三角函數(shù)有一定的了解,掌握其定義,并體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.(2)會(huì)根據(jù)定義判斷三角函數(shù)的符號(hào)并求出角所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.過程與方法:(1)通過讓學(xué)生體驗(yàn)任意角三角函數(shù)定義的得出,讓學(xué)生借助所學(xué)知識(shí)去發(fā)現(xiàn)、提出并解決新問題,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和整理分析能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀:通過三角函數(shù)的幾何表示,使學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想能力得以進(jìn)一步的提升.四、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):作出三角函數(shù)線并加以運(yùn)用,函數(shù)值的表示.教學(xué)難點(diǎn):建構(gòu)刻畫周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型.五、教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)引入:問題1:圖10的直角中,是一個(gè)直角,根據(jù)初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)的定義,的正弦是什么?余弦是什么?正切是什么？圖10銳角三角函數(shù)圖10銳角三角函數(shù)設(shè)計(jì)意圖:加深學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解．師生活動(dòng):師生共同回憶并加以表述．2．新知探究問題2:大家想想我們能給出任意角的三角函數(shù)的定義嗎？它和我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的銳角三角函數(shù)有什么不同?設(shè)計(jì)意圖:帶著學(xué)生探討銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系．師生活動(dòng):在教學(xué)活動(dòng)中,教師觀察學(xué)生的實(shí)際情況,提出問題誘導(dǎo)學(xué)生探索新知:（1）任意角的三角函數(shù)能否通過直角三角形來加以定義呢？以此激發(fā)學(xué)生的動(dòng)手能力和積極思考．（2）我們是在哪里探討任意角三角函數(shù)的概念的呢？引導(dǎo)學(xué)生使用坐標(biāo)系解決問題,組織學(xué)生進(jìn)行小組討論,加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力與語言表達(dá)能力.（3）圖11任意角在直角坐標(biāo)系下的三角函數(shù)定義是怎樣的呢？圖11坐標(biāo)系下的三角函圖11坐標(biāo)系下的三角函（4）大家思考一下,以為終邊的角是否全為銳角嗎？如果不是,我們?cè)撛鯓佣x嗎？如圖12,如果角的終邊在第二,三,四象限又該如何定義呢？圖12任意角三角函數(shù)

圖12任意角三角函數(shù)問題3:我們可以使用哪種方法使得該定義式變得尤為簡(jiǎn)潔呢？設(shè)計(jì)意圖:引出數(shù)學(xué)中重要知識(shí)點(diǎn)單位圓．師生活動(dòng):教師提問,學(xué)生先討論再回答．問題4:到此,任意角三角函數(shù)的定義,大家都了解了嗎？設(shè)計(jì)意圖:檢查學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)的掌握程度．師生活動(dòng):由學(xué)生思考、說出任意角三角函數(shù)的定義,教師做出總結(jié)．例1:求的正弦、余弦和正切,變式:將變?yōu)?設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生解決簡(jiǎn)單的問題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的自信心.問題5:正弦函數(shù)在弧度制下的定義域是多少?余弦函數(shù)、正切函數(shù)的又是多少呢？設(shè)計(jì)意圖:通過求函數(shù)的定義域,幫助學(xué)生理解并掌握三角函數(shù)的相關(guān)概念．師生活動(dòng):先讓學(xué)生獨(dú)立作答,再讓學(xué)生相互交流,最后教師核對(duì)講解．問題6:正弦函數(shù)的值在每個(gè)象限的符號(hào)都是不變的還是會(huì)變化？余弦函數(shù)、正切函數(shù)的呢？設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生自主探索出三種函數(shù)值的符號(hào)隨象限的變化會(huì)出現(xiàn)什么規(guī)律,使學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力得以提升．師生活動(dòng):學(xué)生先獨(dú)立思考,老師再點(diǎn)名提問,最后老師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律．問題7:一個(gè)角如果它的終邊繞原點(diǎn)多旋轉(zhuǎn)一周或者更多,會(huì)影響它的大小嗎？是否會(huì)改變它的三角函數(shù)值呢？設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生了解函數(shù)的周期變化,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．師生活動(dòng):學(xué)生小組討論共同探索,教師給出結(jié)論．例3:確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)并求函數(shù)值.（1）（2）（3）.設(shè)計(jì)意圖:通過應(yīng)用已學(xué)公式解決一些簡(jiǎn)單的問題,讓學(xué)生加深理解并記住公式,進(jìn)而培養(yǎng)