湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合表示函數(shù)的定義域，則，集合表示函數(shù)的值域，則，故.故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，設(shè)，則，，由，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.“直線不相交”是“直線為異面直線”的充分不必要條件【答案】B【解析】對(duì)于A，若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，若，則或與相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線不相交，則直線平行或異面，故“直線不相交”是“直線為異面直線”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.設(shè)，則關(guān)于的不等式有解的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.或 C. D.【答案】D【解析】有解，即對(duì)于方程的，則；可知D選項(xiàng)為一個(gè)必要不充分條件.故選：D.5.在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別滿足，設(shè)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由，得，得，即得，則C選項(xiàng)正確.故選：C.6.在直三棱柱中，且，已知該三棱柱的體積為，且該三棱柱的外接球表面積為，若將此三棱柱掏空（保留表面，不計(jì)厚度）后放入一個(gè)球，則該球最大半徑為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)中點(diǎn)為中點(diǎn)為中點(diǎn)為，外接球球心在中點(diǎn)處，設(shè)，該三棱柱的體積為，該三棱柱的外接球表面積為，外接球半徑，即，，，，，底面內(nèi)切圓半徑，，因此該球最大半徑為.故選：B.7.矩形的周長(zhǎng)為，把沿向折疊，折過(guò)去后交于點(diǎn)，則的最大面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，其中，則，在直角中，由勾股定理得：，解得：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：B.8.定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，所以越靠近對(duì)稱軸函數(shù)值越小，由得，由于，所以，故，可得，即時(shí)恒成立，可得，由于在時(shí)單調(diào)遞增，，此時(shí)，時(shí)單調(diào)遞減，，此時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識(shí)答題比賽，對(duì)參賽的2000名考生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.考生參賽成績(jī)的平均分約為72.8分B.考生參賽成績(jī)的第75百分位數(shù)約為82.5分C.分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.2D.用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間應(yīng)抽取30人【答案】BC【解析】對(duì)A，平均成績(jī)?yōu)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)B，由頻率分布直方圖知第75百分位數(shù)位于內(nèi)，則第75百分位數(shù)為，故B正確；對(duì)C，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故C正確；對(duì)D，區(qū)間應(yīng)抽取人，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.在上的投影向量為C.若與的夾角為銳角，則D.若要使最小，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，又，且，所以，解得：，故A正確；對(duì)于B：由，則，所以在上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)與共線時(shí)，有，此時(shí)與方向相同，當(dāng)與的夾角為銳角，有，解得，所以且時(shí)，與的夾角為銳角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，時(shí)取最小值，故D正確.故選：ABD.11.如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿向上翻折，得三棱錐.設(shè)，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）A.翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使B.當(dāng)時(shí)，與平面所成角的正弦值為C.在翻折過(guò)程中，三棱錐體積的最大值為2D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于：當(dāng)平面平面時(shí)，，證明如下：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，等腰直角中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，有，，平面，則平面，平面，有平面平面，由A選項(xiàng)知平面，所以是直線與平面所成的角；由，有，，，，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，平面平面，即是三棱錐的高，，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所以，如圖將沿旋轉(zhuǎn)，得到，使其與在同一平面內(nèi)且在內(nèi)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的最小值為，在中，，則，所以在中，由余弦定理得，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角滿足，則______.【答案】【解析】∵，∴，∴，，，.13.已知函數(shù)，則關(guān)于的方程的不等實(shí)根的個(gè)數(shù)為______.【答案】2【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，即，即時(shí)，解得，符合題意；時(shí)，解得，舍；當(dāng)時(shí)，，即，時(shí)，解得，舍；時(shí)，，解得，符合題意；綜上，關(guān)于的方程的不等實(shí)根為和，共2個(gè).故答案為：2.14.在銳角中，角的對(duì)邊為，為的面積，且，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由，則，所以，即，即，解得或（舍去），可得，，因?yàn)槭卿J角三角形，則有，所以，，，則，有，由于，所以，可得的取值范圍為.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知關(guān)于的不等式.（1）若，求不等式的解集；（2）解關(guān)于的不等式.解：（1）由，當(dāng)時(shí)，可得解集為.（2）對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或.16.如圖，在梯形中，為線段中點(diǎn)，記（1）用表示向量；（2）求的值；（3）求與夾角的余弦值.解：（1）.（2）由于，可得，又有，所以.（3）由于，可得，又有，所以，由，可得，.17.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，且的面積為.（1）求證：面；（2）當(dāng)四棱錐的外接球體積最小時(shí)，求平面與平面所成二面角的余弦值.解：（1）證明：面面，，又面面，在面內(nèi)，，底面是正方形，，又面面.（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，設(shè)，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)），可得，故，過(guò)作交于，連接，由，則，故為平面與平面所成的二面角的平面角，由（1）知面，面，故，在中，可得，由等面積可得又，平面與平面所成二面角的余弦值為.18.已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰好有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在中，設(shè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其中，的角平分線交于，求線段的長(zhǎng)度.解：（1）由得，由函數(shù)在上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)得，∴，由，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），令，則，由題意得在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，.（3）由得，，因?yàn)椋瑒t由，解得：，由，得，.19.已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.（1）判斷是否為的“重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若為的“3重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若為的“2024重覆蓋函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，則，任取，令，可得，即或，可得，或，所以對(duì)于任意，能找到兩個(gè)，使得，所以是的“重覆蓋函數(shù)”，且.（2）可得的定義域?yàn)?，即?duì)任意，存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），，則，，即，即對(duì)任意有3個(gè)實(shí)根，當(dāng)