2025年春華師版數(shù)學(xué)九年級下冊教學(xué)課件 26.1 二次函數(shù)

26.1二次函數(shù)第26章二次函數(shù)1.

什么叫函數(shù)?

一般地，在一個(gè)變化的過程中，如果有兩個(gè)變量

x與

y，并且對于

x

的每一個(gè)確定的值，y

都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說

x

是自變量，y

是

x

的函數(shù).3.一元二次方程的一般形式是什么？

形如

y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).當(dāng)

b

=

0

時(shí)，一次函數(shù)

y

=

kx

就叫做正比例函數(shù).2.什么是一次函數(shù)？正比例函數(shù)？ax2

+

bx

+

c

=

0(

a

≠0).問題1

正方體六個(gè)面是全等的正方形，設(shè)正方體的棱長為

x，表面積為

y，則

y

關(guān)于

x的關(guān)系式為

.

y

=

6x2

此式表示了正方體表面積

y

與正方體棱長

x

之間的關(guān)系，對于

x

的每一個(gè)值，y

都有唯一的一個(gè)對應(yīng)值，即

y

是

x

的函數(shù).探究歸納二次函數(shù)的定義問題2

用總長為20m的圍欄材料，一面靠墻，圍成一個(gè)矩形花圃.怎樣圍才能使花圃的面積最大？

如圖，設(shè)圍成的矩形花圃為

ABCD，靠墻的一邊為

AD，垂直于墻面的兩邊分別為AB和

CD.設(shè)

AB長為

xm

(0＜x＜10)，先取

x的一些值，進(jìn)而可以求出

BC邊的長，從而可得矩形的面積

ym2.將計(jì)算結(jié)果寫在下表的空格中：ADBC

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AB的長x

確定后，矩形的面積

y也就隨之確定，即y是x的函數(shù)，試寫出這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式.（0＜x＜10）即

（0＜x＜10）AB長

x(m)

123456789BC長12面積y(m2)481816141086421832425048423218問題3

某商店將每件進(jìn)價(jià)為8元的某種商品按每件10元出售，一天可售出100件.該店想通過降低售價(jià)，增加銷售量的辦法來提高利潤.經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低0.1元，每天的銷售量可增加10件.將這種商品的售價(jià)降低多少時(shí)，其每天的銷售利潤最大?分析：銷售利潤

=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))×銷售量.根據(jù)題意，得想一想，為什么要限定？問題1-3中函數(shù)關(guān)系式有什么共同點(diǎn)?函數(shù)都是用自變量的二次式表示的

y

=

6x2

想一想（0＜x＜10）二次函數(shù)的定義：

形如

y

=

ax2

+

bx

+

c

(a，b，c

是常數(shù)，且

a

≠0)

的函數(shù)叫做二次函數(shù).溫馨提示：(1)等號左邊是變量

y，右邊是關(guān)于自變量

x

的整式；(2)a，b，c

為常數(shù)，且

a

≠0；(3)等式右邊的自變量最高次數(shù)為2，可以沒有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，但不能沒有二次項(xiàng).歸納總結(jié)例1

下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)？為什么？(x

是自變量)

①

y

=

ax2

+

bx

+

c；

②

y=

3

-

2x2；

③

y

=

x2；

④；⑤

y=x2+x3+25；⑥

y

=

(x+3)2

-

x2.不一定是，缺少

a

≠

0

的條件.不是，右邊是分式.不是，x

的最高次數(shù)是

3.典例精析y

=

6x

+

9

判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，先看原函數(shù)和整理化簡后的形式再作判斷.

另外，二次函數(shù)除了有一般形式

y

=

ax2

+

bx

+

c

(a

≠

0)

外，還有其特殊形式，如

y

=

ax2，y

=

ax2

+

bx，y

=

ax2

+

c

等.方法歸納解：（1）由題意知解得（2）由題意知解得

m

=

3.

第(2)問易忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為

0

這一限制條件，從而得出

m

=

±3

的錯(cuò)誤答案，需要引起重視.注意例2

(1)當(dāng)

m

取何值時(shí)，此函數(shù)是正比例函數(shù)？(2)當(dāng)

m

取何值時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)？二次函數(shù)定義的應(yīng)用1.已知

，k取何值時(shí)，y是

x的二次函數(shù)？解：當(dāng)|k|=2且

k-2≠0，即

k=-2時(shí)，y是

x的二次函數(shù).變式訓(xùn)練解：由題意得所以

m≠±3.解：由題意得

【解題小結(jié)】本題考查二次函數(shù)的概念，這類題需緊扣概念的特征進(jìn)行解題.例3

已知二次函數(shù)

(k為常數(shù)).（1）求

k的值；（2）當(dāng)

x

=

0.5

時(shí)，y

的值是多少？解：（1）由題意，得解得

k=2.將

x=0.5

代入函數(shù)關(guān)系式，得

（2）當(dāng)

k=2時(shí)，二次函數(shù)的值

此類型題目考查二次函數(shù)的概念，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0及自變量最高次數(shù)為2這兩個(gè)關(guān)鍵條件，求出字母參數(shù)的值，得到函數(shù)關(guān)系式，再將

x的值代入其中，求出對應(yīng)的

y的值.歸納總結(jié)2.

函數(shù)

y

=

(m

-

n)x2

+mx

+

n

是二次函數(shù)的條件是()A.

m，n

是常數(shù)，且

m

≠

0

B.

m，n

是常數(shù)，且

n

≠

0C.

m，n

是常數(shù)，且

m

≠

nD.

m，n

為任何實(shí)數(shù)C1.把二次函數(shù)

y

=

(2

-

3x)(6

+

x)

化為一般式，二次項(xiàng)為_____，一次項(xiàng)系數(shù)為_____，常數(shù)項(xiàng)為

.-3x2-16124.已知函數(shù)y=3x2m-1－5.

①當(dāng)

m=＿＿時(shí)，y是

x的一次函數(shù)；②當(dāng)

m=＿＿時(shí)，y是

x的二次函數(shù).13．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是()A．y=2x＋1 B．

C．y=3x2＋1D．C5.若函數(shù)

是二次函數(shù)，求：（1）a的值；（2）函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)

x

=

-2

時(shí)，y

的值是多少？解：（1）由題意，得解得

a=-1.（2）函數(shù)關(guān)系式為（3）將

x

=

-2

代入函數(shù)關(guān)系式中，得

6.（1）n

個(gè)球隊(duì)參加比賽，每兩個(gè)隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽，比賽的場次數(shù)

m

與球隊(duì)數(shù)

n

有什么關(guān)系？（2）假設(shè)人民幣一年定期儲(chǔ)蓄的年利率是

x，一年到期后，銀行將本金和利息自動(dòng)按一年定期儲(chǔ)蓄轉(zhuǎn)存.如果存款是10

(萬元)，那么請你寫出兩年后的本息和

y(萬元)的表達(dá)式(不考慮利息稅).y=10(x+1)2=10x2+20x+10.7.矩形的周長為16cm，它的一邊長為

xcm，面積為

ycm2.求：（1）y與

x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量

x的取值范圍；（2）當(dāng)

x=3時(shí)矩形的面積.解：(1)

y＝(8－x)x＝－x2＋8x(0＜x＜8).(2)

當(dāng)

x＝3

時(shí)，y＝－32＋8×3＝15，

即矩形的面積為15cm2