金融數(shù)量分析第15章 跟蹤誤差最小化-非線性最小二乘法MATALAB編程

第15章跟蹤誤差最小化——非線性最小二乘法MATLAB編程15.1理論與案例在研究分析中，常常使用非線性最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸或歸因分析。非線性最小二乘法具體分為兩個(gè)步驟：

①確定擬合模型類型；

②確定擬合模型參數(shù)。

擬合模型類型有線性方程、指數(shù)方程、微分方程、多項(xiàng)式方程、混合方程等。擬合方程的選擇是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題。若擬合方程未知，通常使用反復(fù)測(cè)試的方法，即給定幾種備選擬合模型，進(jìn)行多次擬合，選擇擬合效果最好的模型進(jìn)行擬合。若擬合模型已確定，則可以通過(guò)非線性最小二乘法確定擬合模型參數(shù)。假設(shè)擬合數(shù)據(jù)為x、y，非線性最小二乘法方程為使用優(yōu)化方法求解上述問(wèn)題，得到最小化問(wèn)題解a*，即擬合模型參數(shù)。15.1.1

非線性最小二乘法15.1.2

跟蹤誤差最小化背景1976年美國(guó)先鋒基金管理公司（VanguardFundCo.）推出了世界上第一只真正意義上的指數(shù)基金——追蹤標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的Vanguard500指數(shù)基金，從此指數(shù)化投資開(kāi)始正式登上金融舞臺(tái)。復(fù)制指數(shù)的方法有兩大類：即完全復(fù)制（fullreplication）和優(yōu)化復(fù)制（optimizedreplication）。完全復(fù)制就是購(gòu)買標(biāo)的指數(shù)中的所有成份證券，并且按照每種成份證券在標(biāo)的指數(shù)中的權(quán)重確定購(gòu)買的比例來(lái)構(gòu)建指數(shù)組合從而達(dá)到復(fù)制指數(shù)的目的。以標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)為例，按市值比重購(gòu)入全部500種成分股就可以完全復(fù)制指數(shù)。15.2模型建立15.2.1

獲取文件信息函數(shù)xlsfinfo例1

假設(shè)以已經(jīng)選定的10只股票跟蹤滬深300指數(shù)為例，選擇200911—2009630為跟蹤區(qū)間段。如何在200911優(yōu)化配置這10只股票的權(quán)重構(gòu)建積極指數(shù)化組合，使其在半年的時(shí)間內(nèi)與滬深300跟蹤誤差最小。股票選擇為：蘇寧電器002024.SZ、上港集團(tuán)600018.SH、寶鋼股份600019.SH、中國(guó)石化600028.SH、中信證券600030.SH、招商銀行600036.SH、中國(guó)聯(lián)通600050.SH、上海汽車600104.SH、貴州茅臺(tái)600519.SH、中國(guó)平安601318.SH。為簡(jiǎn)易處理，從wind直接提取其向前復(fù)權(quán)價(jià)格。例如，假設(shè)某股票2009年1月1日價(jià)格為14元，4月1日進(jìn)行10股送3股，2009年6月30股票價(jià)格為15元，使用向前復(fù)權(quán)該股票2009年1月1日復(fù)權(quán)價(jià)格價(jià)格為14/1.3，為10.77元，該股票半年投資收益率為（15-10.77）/10.77=39.28%15.2.2

數(shù)學(xué)模型積極指數(shù)化（或者稱作優(yōu)化復(fù)制）指的是根據(jù)預(yù)先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)，選擇部分成分證券并對(duì)其在組合中的相對(duì)權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化再配置。如前所述，優(yōu)化復(fù)制的方法又可進(jìn)一步細(xì)分為分層抽樣（stratifiedsampling）和優(yōu)化抽樣（optimizedsampling）兩種，不過(guò)無(wú)論是哪種方法都要在權(quán)重的優(yōu)化配置階段用到最優(yōu)化算法模型來(lái)進(jìn)行求解。本節(jié)主要使用遺傳算法（geneticalgorithm）權(quán)重的優(yōu)化配置技術(shù)。進(jìn)行指數(shù)投資組合管理中涉及很多細(xì)節(jié)問(wèn)題，如成份股分紅、成份股送股、成份股配股、成份股停牌或者指數(shù)成份股調(diào)整等都會(huì)造成跟蹤誤差擴(kuò)大。在模型建立時(shí)，暫先不考慮上述因素。積極指數(shù)化技術(shù)數(shù)學(xué)模型：式中：TE(x)表示組合跟蹤誤差；rtport表示第t日組合收益率，rtindex表示第t日指數(shù)收益率；vi表示組合中股票i的數(shù)量；pti表示組合中股票i第t日的價(jià)格；xi表示組合中股票i的初始權(quán)重；m表示組合初始投資規(guī)模。積極指數(shù)化模型優(yōu)化目標(biāo)為跟蹤誤差最小，這里使用標(biāo)準(zhǔn)差定義跟蹤誤差。15.3

MATLAB實(shí)現(xiàn)15.3.1

lsqnonlin函數(shù)MATLAB求解非線性最小二乘法(或非線性擬合)的函數(shù)為優(yōu)化工具箱中（OptimizationToolbox）的lsqnonlin函數(shù)。lsqnonlin函數(shù)目標(biāo)問(wèn)題模型式中：函數(shù)語(yǔ)法：x=lsqnonlin(fun,x0)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)x=lsqnonlin(problem)［x,resnorm］=lsqnonlin(…)［x,resnorm,residual］=lsqnonlin(…)［x,resnorm,residual,exitflag］=lsqnonlin(…)［x,resnorm,residual,exitflag,output］=lsqnonlin(…)［x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda］=lsqnonlin(…)［x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian］=lsqnonlin(…)輸入?yún)?shù)：fun:目標(biāo)函數(shù),一般用M文件形式給出；x0：優(yōu)化算法初始迭代點(diǎn)；lb：變量下界；ub：變量上界；options:參數(shù)設(shè)置。輸出參數(shù)：x：最優(yōu)點(diǎn)輸出（或最后迭代點(diǎn)）；resnorm：殘差范數(shù)；residual:殘差向量；exitflag:函數(shù)停止信息。

1函數(shù)收斂于解x；

2x小于函數(shù)特定閾值；

3殘差改變小于函數(shù)閾值；

4搜索方向小于函數(shù)特定閾值；

0函數(shù)達(dá)到最大迭代次數(shù)；

-1異常停止，請(qǐng)查看output信息；

-2目標(biāo)問(wèn)題異常，lb與ub矛盾；

-4搜索方程無(wú)法使得殘差變小。output:函數(shù)基本信息，包括迭代次數(shù)、目標(biāo)函數(shù)最大計(jì)算次數(shù)、使用的算法名稱、計(jì)算規(guī)模；lambda：拉格朗日乘子；jacobian：Jacobian矩陣。

注：優(yōu)化算法通常通過(guò)迭代的方式進(jìn)行最優(yōu)解的搜索，理論與過(guò)程都比較復(fù)雜，上述exitflag信息在此就不再詳述。由于跟蹤誤差最小問(wèn)題是一個(gè)典型的凸優(yōu)化，凸優(yōu)化解唯一使得跟蹤誤差最小化的權(quán)重相對(duì)較簡(jiǎn)單。15.3.2

建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)為式中：TEt表示t日組合跟蹤誤差；rtport表示第t日組合收益率；rtindex表示第t日指數(shù)收益率；pti表示組合中股票i第t日的價(jià)格；xi表示組合中股票i的初始權(quán)重；m表示組合初始投資規(guī)模。15.3.3

模型求解我們的目標(biāo)問(wèn)題函數(shù)為上述目標(biāo)函數(shù)中含有約束項(xiàng)，lsqnonlin的標(biāo)準(zhǔn)模型中不含有約束處理，可以通過(guò)閾函數(shù)方法將約束函數(shù)放入目標(biāo)函數(shù)中，使得lsqnonlin求解出的解同時(shí)滿足約束條件。只有當(dāng)xi≥0,1-sum(x)為0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)平方和最小。對(duì)目標(biāo)函數(shù)f=TEobj(x,DataX)進(jìn)行修改完善。注:

簡(jiǎn)單的閾函數(shù)方法可能會(huì)造成約束條件的誤差，建議在計(jì)算完成后將數(shù)值解進(jìn)行檢驗(yàn)，比如權(quán)重和是否為1。若目標(biāo)函數(shù)的約束為簡(jiǎn)單線性約束，則可以使用閾函數(shù)法