2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算學(xué)案理含解析新人教A版

PAGEPAGE10第一節(jié)平面對量的概念及其線性運(yùn)算2024考綱考題考情1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面對量是自由向量零向量長度為零的向量，其方向是隨意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a。(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa。1．若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))。2.eq\o(OA,\s\up16(→))＝λeq\o(OB,\s\up16(→))＋μeq\o(OC,\s\up16(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1。3．解決向量的概念問題要留意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿意條件。要特殊留意零向量的特殊性。一、走進(jìn)教材1．(必修4P86例4改編)已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up16(→))＝________，eq\o(BC,\s\up16(→))＝________。(用a，b表示)解析如圖，eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝－eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝－a－b。答案b－a－a－b2．(必修4P108B組T5)在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))|＝|eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))|，則四邊形ABCD的形態(tài)為________。解析如圖，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(DB,\s\up16(→))，所以|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝|eq\o(DB,\s\up16(→))|。由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形。答案矩形二、走近高考3．(2024·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up16(→))＝()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up16(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up16(→))解析如圖所示，eq\o(EB,\s\up16(→))＝eq\o(ED,\s\up16(→))＋eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，故選A。解析：eq\o(EB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，故選A。答案A4．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________。解析因?yàn)棣薬＋b與a＋2b平行，所以存在唯一實(shí)數(shù)t，使得λa＋b＝t(a＋2b)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得λ＝t＝eq\f(1,2)。答案eq\f(1,2)三、走出誤區(qū)微提示：①對向量共線定理相識不精確；②向量線性運(yùn)算不熟致錯；③向量三角不等式相識不清致錯。5．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b。若a∥b，則a＋b＝0不肯定成立。故前者是后者的充分不必要條件。答案A6．如圖，已知eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，用eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))表示eq\o(OP,\s\up16(→))，則eq\o(OP,\s\up16(→))等于()A．eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up16(→)) B．eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up16(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up16(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up16(→))解析eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up16(→))。故選C。答案C7．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，則|a－b|的取值范圍為________。解析當(dāng)a與b方向相同時，|a－b|＝2，當(dāng)a與b方向相反時，|a－b|＝6，當(dāng)a與b不共線時，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范圍為[2,6]。此題易忽視a與b方向相同和a與b方向相反兩種狀況。答案[2,6]第四章平面對量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入贏在微點(diǎn)eq\a\vs4\al(/)高考復(fù)習(xí)頂層設(shè)計數(shù)學(xué)老師用書考點(diǎn)例析對點(diǎn)微練微考點(diǎn)·大課堂,學(xué)生用書P082考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念【例1】給出下列四個命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b。其中正確命題的序號是()A．②③ B．①②C．③④ D．②④解析①不正確。兩個向量的長度相等，但它們的方向不肯定相同。②正確。因?yàn)閑q\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，所以|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|且eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(DC,\s\up16(→))，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|，eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(DC,\s\up16(→))且eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))。③正確。因?yàn)閍＝b，所以a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，所以b，c的長度相等且方向相同，所以a，c的長度相等且方向相同，故a＝c。④不正確。當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件。綜上所述，正確命題的序號是②③。答案A1．相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性。2．共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)。3．向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談。4．非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量。【變式訓(xùn)練】(1)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，肯定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()A．a(chǎn)＝2b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝－eq\f(1,3)b D．a(chǎn)⊥b(2)給出下列說法：①非零向量a與b同向是a＝b的必要不充分條件；②若eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))共線，則A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上；③a與b是非零向量，若a與b同向，則a與－b反向；④設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線。其中錯誤說法的序號是________。解析(1)由eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0得eq\f(a,|a|)＝－eq\f(b,|b|)≠0，即a＝－eq\f(b,|b|)·|a|≠0，則a與b共線且方向相反，因此當(dāng)向量a與向量b共線且方向相反時，能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立。比照各個選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A中a與b的方向相同；選項(xiàng)B中a與b共線，方向相同或相反；選項(xiàng)C中a與b的方向相反；選項(xiàng)D中a與b相互垂直。故選C。(2)依據(jù)向量的有關(guān)概念可知①②③正確，對于④，當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b不肯定共線，故④錯誤。答案(1)C(2)④考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算【例2】(1)已知O，A，B是平面上的三個點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿意2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up16(→))＝()A．2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)) B．－eq\o(OA,\s\up16(→))＋2eq\o(OB,\s\up16(→))C.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))(2)(2024·福建高三質(zhì)檢)莊重漂亮的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征。正五角星是一個特別美麗的幾何圖形，且與黃金分割有著親密的聯(lián)系：在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2)。下列關(guān)系中正確的是()A．eq\o(BP,\s\up16(→))－eq\o(TS,\s\up16(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up16(→)) B．eq\o(CQ,\s\up16(→))＋eq\o(TP,\s\up16(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up16(→))C.eq\o(ES,\s\up16(→))－eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up16(→)) D.eq\o(AT,\s\up16(→))＋eq\o(BQ,\s\up16(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up16(→))解析(1)因?yàn)?eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝0，所以A為BC的中點(diǎn)，所以2eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，故eq\o(OC,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))。(2)由題意得，eq\o(BP,\s\up16(→))－eq\o(TS,\s\up16(→))＝eq\o(TE,\s\up16(→))－eq\o(TS,\s\up16(→))＝eq\o(SE,\s\up16(→))＝eq\f(\o(RS,\s\up16(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up16(→))，所以A正確；eq\o(CQ,\s\up16(→))＋eq\o(TP,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(TP,\s\up16(→))＝eq\o(TA,\s\up16(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(ST,\s\up16(→))，所以B錯誤；eq\o(ES,\s\up16(→))－eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(RC,\s\up16(→))－eq\o(QC,\s\up16(→))＝eq\o(RQ,\s\up16(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(QB,\s\up16(→))，所以C錯誤；eq\o(AT,\s\up16(→))＋eq\o(BQ,\s\up16(→))＝eq\o(SD,\s\up16(→))＋eq\o(RD,\s\up16(→))，eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up16(→))＝eq\o(RS,\s\up16(→))＝eq\o(RD,\s\up16(→))－eq\o(SD,\s\up16(→))，若eq\o(AT,\s\up16(→))＋eq\o(BQ,\s\up16(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up16(→))，則eq\o(SD,\s\up16(→))＝0，不合題意，所以D錯誤。故選A。答案(1)A(2)A向量線性運(yùn)算的應(yīng)用技巧1．敏捷運(yùn)用向量加、減法中的平行四邊形法則和三角形法則。2．充分利用平面幾何學(xué)問，發(fā)掘直線的平行關(guān)系和線段的比例關(guān)系。必要時，可添加協(xié)助線?！咀兪接?xùn)練】(1)已知三角形ABC是等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿意2eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＝0，則eq\o(AE,\s\up16(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up16(→)) B．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up16(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up16(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up16(→))(2)如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個三等分點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up16(→))＝()A．a(chǎn)－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a＋b解析(1)由2eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＝0知eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up16(→))，eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up16(→))，所以eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))－\o(CD,\s\up16(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up16(→))。(2)連接CD，由點(diǎn)C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，得CD∥AB，且eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝b＋eq\f(1,2)a。答案(1)A(2)D考點(diǎn)三共線定理及應(yīng)用微點(diǎn)小專題方向1：共線定理【例3】已知e1，e2是兩個不共線的向量，若a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ＝()A．－eq\f(1,2) B．－2C.eq\f(1,2) D．2解析若向量a與b共線，則存在實(shí)數(shù)μ使得2e1－e2＝μ(e1＋λe2)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝2，,λμ＝－1，))解得λ＝－eq\f(1,2)。故選A。答案A兩個向量共線是指兩個向量的方向相同或相反，因此共線包含兩種狀況：同向共線或反向共線。一般地，若a＝λb(b≠0)，則a與b共線：(1)當(dāng)λ>0時，a與b同向；(2)當(dāng)λ<0時，a與b反向。方向2：共線定理的應(yīng)用【例4】如圖，始終線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且交對角線AC于點(diǎn)K，其中，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(AK,\s\up16(→))＝λeq\o(AC,\s\up16(→))，則λ的值為()A．eq\f(2,9) B．eq\f(2,7)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)解析因?yàn)閑q\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝2eq\o(AF,\s\up16(→))。由向量加法的平行四邊形法則可知，eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AK,\s\up16(→))＝λeq\o(AC,\s\up16(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(AE,\s\up16(→))＋2\o(AF,\s\up16(→))))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up16(→))＋2λeq\o(AF,\s\up16(→))，由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線，可得eq\f(5,2)λ＋2λ＝1，可得λ＝eq\f(2,9)，故選A。答案A1．共線向量定理是解決三點(diǎn)共線問題的有利工具解題過程中常用到結(jié)論：“P，A，B三點(diǎn)共線”等價于“對直線AB外隨意一點(diǎn)O，總存在非零實(shí)數(shù)λ，使eq\o(OP,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up16(→))成立”。2．含參共線問題的解法解決含有參數(shù)的共線問題時，常常要用到平面幾何的性質(zhì)，構(gòu)造含有參數(shù)的方程或方程組，解方程或方程組得到參數(shù)的值?！绢}點(diǎn)對應(yīng)練】1．(方向1)(2024·鄭州模擬)設(shè)e1與e2是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up16(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up16(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為________。解析由題意，A，B，D三點(diǎn)共線，故必存在一個實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up16(→))＝λeq\o(BD,\s\up16(→))。又eq\o(AB,\s\up16(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up16(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝3e1－2ke2，所以eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(CB,\s\up16(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，又e1與e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝－eq\f(9,4)。答案－eq\f(9,4)2．(方向2)(2024·遼寧五校協(xié)作體模擬)在△ABC中，點(diǎn)P滿意eq\o(BP,\s\up16(→))＝2eq\o(PC,\s\up16(→))，過點(diǎn)P的直線與AB，AC所在直線分別交于點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up16(→))＝meq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AN,\s\up16(→))＝neq\o(AC,\s\up16(→))(m>0，n>0)，則m＋2n的最小值為()A．3 B．4C.eq\f(8,3) D.eq\f(10,3)解析因?yàn)閑q\o(BP,\s\up16(→))＝2eq\o(PC,\s\up16(→))，所以eq\o(AP,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝2(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AP,\s\up16(→)))，所以eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up16(→))，又因?yàn)閑q\o(AM,\s\up16(→))＝meq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AN,\s\up16(→))＝neq\o(AC,\s\up16(→))，所以eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3m)eq\o(AM,\s\up16(→))＋eq\f(2,3n)eq\o(AN,\s\up16(→))。因?yàn)镸，P，N三點(diǎn)共線，所以eq\f(1,3m)＋eq\f(2,3n)＝1，所以m＋2n＝(m＋2n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3m)＋\f(2,3n)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(4,3)＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq\f(5,3)＋eq\f(2,3)×2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n))＝eq\f(5,3)＋eq\f(4,3)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＝\f(m,n)，,\f(1,3m)＋\f(2,3n)＝1，))即m＝n＝1時等號成立。所以m＋2n的最小值為3。故選A。答案A共線定理的推廣共線定理：已知eq\o(PA,\s\up16(→))，eq\o(PB,\s\up16(→))為平面內(nèi)兩個不共線的向量，設(shè)eq\o(PC,\s\up16(→))＝xeq\o(PA,\s\up16(→))＋yeq\o(PB,\s\up16(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為x＋y＝1。推廣形式：如圖所示，直線DE∥AB，C為直線DE上任一點(diǎn)，設(shè)eq\o(PC,\s\up16(→))＝xeq\o(PA,\s\up16(→))＋yeq\o(PB,\s\up16(→))(x，y∈R)。當(dāng)直線DE不過點(diǎn)P時，直線PC與直線AB的交點(diǎn)記為F，因?yàn)辄c(diǎn)F在直線AB上，所以由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若eq\o(PF,\s\up16(→))＝λeq\o(PA,\s\up16(→))＋μeq\o(PB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1。由△PAB與△PED相像，知必存在一個常數(shù)m∈R，使得eq\o(PC,\s\up16(→))＝meq\o(PF,\s\up16(→))，則eq\o(PC,\s\up16(→))＝meq\o(PF,\s\up16(→))＝mλeq\o(PA,\s\up16(→))＋mμeq\o(PB,\s\up16(→))。又eq\o(PC,\s\up16(→))＝xeq\o(PA,\s\up16(→))＋yeq\o(PB,\s\up16(→))(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m。以上過程可逆。因此得到結(jié)論：eq\o(PC,\s\up16(→))＝xeq\o(PA,\s\up16(→))＋yeq\o(PB,\s\up16(→))，則x＋y＝m(定值)，反之亦成立。【典例1】如圖，在正六邊形