2014屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編14：數(shù)列的綜合問題（學(xué)生版）

1、2014屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編14：數(shù)列的綜合問題一、選擇題 （2013北京海淀二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）若數(shù)列滿足:存在正整數(shù),對于任意正整數(shù)都有成立,則稱數(shù)列為周期數(shù)列,周期為. 已知數(shù)列滿足,則下列結(jié)論中錯誤的是（）A若,則可以取3個不同的值 B若,則數(shù)列是周期為的數(shù)列 C且,存在,是周期為的數(shù)列 D且,數(shù)列是周期數(shù)列 （2013北京昌平二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）設(shè)等比數(shù)列的公比為,其前項(xiàng)的積為,并且滿足條件,.給出下列結(jié)論: ; ; 的值是中最大的; 使成立的最大自然數(shù)等于198.其中正確的結(jié)論是（）ABCD二、填空題 （2013屆北京市延慶縣一模數(shù)學(xué)理） 2 4 （14題圖） 以

2、下是面點(diǎn)師一個工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：如圖，在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間對應(yīng)的線段，對折后（坐標(biāo)4所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合）再均勻地拉成4個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標(biāo)1、3變成2，原來的坐標(biāo)2變成4，等等）.那么原閉區(qū)間上（除兩個端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第次操作完成后，恰好被拉到與4重合的點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)為，則 ； . （北京市豐臺區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理試題 ）右表給出一個“三角形數(shù)陣”.已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第行第列的數(shù)為（），則等于 ，. （北京市石景山區(qū)2013屆高三一模數(shù)學(xué)理試題）對于各數(shù)互

3、不相等的整數(shù)數(shù)組(i1,i2,i3,in)(n是不小于3的正整數(shù)),若對任意的p,q1,2,3,n,當(dāng)piq,則稱ip,iq是該數(shù)組的一個“逆序”.一個數(shù)組中所有“逆序”的個數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”,如數(shù)組(2,3,1)的逆序數(shù)等于2.則數(shù)組(5,2,4,3,1)的逆序數(shù)等于_;若數(shù)組(i1,i2,i3,in)的逆序數(shù)為n,則數(shù)組(in,in-l,i1)的逆序數(shù)為_. （2013北京朝陽二模數(shù)學(xué)理科試題）數(shù)列的前項(xiàng)組成集合,從集合中任取個數(shù),其所有可能的個數(shù)的乘積的和為(若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記.例如當(dāng)時,;當(dāng)時,.則當(dāng)時,_;試寫出_. （2013屆北京西城區(qū)一模理科）記實(shí)數(shù)中

4、的最大數(shù)為，最小數(shù)為.設(shè)的三邊邊長分別為，且，定義的傾斜度為（）若為等腰三角形，則_；（）設(shè)，則的取值范圍是_ （北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）對任意，函數(shù)滿足，設(shè)，數(shù)列的前15項(xiàng)的和為，則 （北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）定義映射，其中，已知對所有的有序正整數(shù)對滿足下述條件:；若，；，則 ， （2013北京東城高三二模數(shù)學(xué)理科）在數(shù)列中,若對任意的,都有(為常數(shù)),則稱數(shù)列 為比等差數(shù)列,稱為比公差.現(xiàn)給出以下命題:等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列,等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列;若數(shù)列滿足,則數(shù)列是比等差數(shù)列,且比公差;若數(shù)列滿足,(),則該數(shù)列不是比

5、等差數(shù)列;若是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,則數(shù)列是比等差數(shù)列.其中所有真命題的序號是_. （北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）將整數(shù)填入如圖所示的行列的表格中，使每一行的數(shù)字從左到右都成遞增數(shù)列，則第三列各數(shù)之和的最小值為 ，最大值為 . （2013北京房山二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）在數(shù)列中,如果對任意的,都有(為常數(shù)),則稱數(shù)列為比等差數(shù)列,稱為比公差.現(xiàn)給出以下命題:若數(shù)列滿足,則該數(shù)列不是比等差數(shù)列;若數(shù)列滿足,則數(shù)列是比等差數(shù)列,且比公差;等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列,等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列;若是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,則數(shù)列是比等差數(shù)列.其中所有真命題的序號是_ . 三、解

6、答題（北京市海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)集具有性質(zhì)P:對任意的,使得成立.()分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P,并說明理由;()求證:;()若,求數(shù)集中所有元素的和的最小值.（2013屆北京海濱一模理科）設(shè)為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中.令，若,且，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”，記作：. 已知為平面上一個定點(diǎn)，平面上點(diǎn)列滿足：，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中.（）請問：點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”有幾個？判斷這些“相關(guān)點(diǎn)”是否在同一個圓上，若在同一個圓上，寫出圓的方程；若不在同一個圓上，說明理由；（）求證：若與重合，一定為偶數(shù)；（）若，且，記，求的最大值.（北京市西城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

7、理科試題）如圖，設(shè)是由個實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù)，且.記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合對于，記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積令（）請寫出一個，使得；（）是否存在，使得？說明理由；（）給定正整數(shù)，對于所有的，求的取值集合（2011年高考（北京理）若數(shù)列滿足,則稱為E數(shù)列.記()寫出一個滿足,且的E數(shù)列;()若,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是;()對任意給定的整數(shù),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列,使得?如果存在,寫出一個滿足條件的E數(shù)列;如果不存在,說明理由.（2013北京豐臺二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3n-2,等比數(shù)列中,.記集合 ,把集合U中的

8、元素按從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列.()求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式,并寫出數(shù)列的前4項(xiàng);()把集合中的元素從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并說明理由;()求數(shù)列的前n項(xiàng)和（北京市朝陽區(qū)2013屆高三第一次綜合練習(xí)理科數(shù)學(xué)）設(shè)是數(shù)的任意一個全排列,定義,其中.()若,求的值;()求的最大值;()求使達(dá)到最大值的所有排列的個數(shù).北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練（北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)理科試卷（解析）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)設(shè)數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前項(xiàng)和公式;(III)在第(II)問的條件下,若對于任意的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范

9、圍（北京市豐臺區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理試題 ）已知曲線，是曲線C上的點(diǎn)，且滿足，一列點(diǎn)在x軸上，且是坐標(biāo)原點(diǎn)）是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形（）求、的坐標(biāo)；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令，是否存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時，都有，若存在，求出N的最小值并證明；若不存在，說明理由（北京市海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋粼谏蠟樵龊瘮?shù)，則稱為“一階比增函數(shù)”；若在上為增函數(shù)，則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為. ()已知函數(shù)，若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；()已知，且的部分函數(shù)值由下表給出， 求證：

10、；()定義集合請問：是否存在常數(shù)，使得，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由. （北京市石景山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數(shù)列對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”（）已知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；（）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；（）若是（）中數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，問數(shù)列最多有多少項(xiàng)?(解題中可用以下數(shù)據(jù) :)（北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題）

11、給定一個項(xiàng)的實(shí)數(shù)列,任意選取一個實(shí)數(shù),變換將數(shù)列變換為數(shù)列,再將得到的數(shù)列繼續(xù)實(shí)施這樣的變換,這樣的變換可以連續(xù)進(jìn)行多次,并且每次所選擇的實(shí)數(shù)可以不相同,第次變換記為,其中為第次變換時選擇的實(shí)數(shù).如果通過次變換后,數(shù)列中的各項(xiàng)均為,則稱, ,為 “次歸零變換”.()對數(shù)列:1,3,5,7,給出一個 “次歸零變換”,其中;()證明:對任意項(xiàng)數(shù)列,都存在“次歸零變換”;()對于數(shù)列,是否存在“次歸零變換”?請說明理由.（2013屆北京豐臺區(qū)一模理科）設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為n（n=2,3,4,）階“期待數(shù)列”： ； .（）分別寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；（）若某2k+1()階“

12、期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記n階“期待數(shù)列”的前k項(xiàng)和為，試證：（1）； （2） （2013北京昌平二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列對任意都有(其中、是常數(shù)) .(I)當(dāng),時,求;(II)當(dāng),時,若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(III)若數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.當(dāng),時,設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列” ,使得對任意,都有,且.若存在,求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值;若不存在,說明理由.（北京市昌平區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）已知每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，其中等于的項(xiàng)有個，設(shè)，（）設(shè)數(shù)列，求；（）若

13、中最大的項(xiàng)為50， 比較的大?。唬ǎ┤?，求函數(shù)的最小值（2013北京朝陽二模數(shù)學(xué)理科試題）已知實(shí)數(shù)()滿足,記.()求及的值;()當(dāng)時,求的最小值;()求的最小值.注:表示中任意兩個數(shù),()的乘積之和.（北京四中2013屆高三上學(xué)期期中測驗(yàn)數(shù)學(xué)(理)試題）已知A(,),B(,)是函數(shù)的圖象上的任意兩點(diǎn)(可以重合),點(diǎn)M在直線上,且.(1)求+的值及+的值(2)已知,當(dāng)時,+,求;(3)在(2)的條件下,設(shè)=,為數(shù)列的前項(xiàng)和,若存在正整數(shù)、,使得不等式成立,求和的值.（2013北京海淀二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）(本小題滿分13分)123101設(shè)是由個實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表,如果某一行(或某一列)各數(shù)

14、之和為負(fù)數(shù),則改變該行(或該列)中所有數(shù)的符號,稱為一次“操作”. () 數(shù)表如表1所示,若經(jīng)過兩次“操作”,使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù),請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表(寫出一種方法即可);表1() 數(shù)表如表2所示,若必須經(jīng)過兩次“操作”,才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù),求整數(shù)的所有可能值;()對由個實(shí)數(shù)組成的行列的任意一個數(shù)表,能否經(jīng)過有限次“操作”以后,使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之 表2和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)?請說明理由. （2013北京房山二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）設(shè),對于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列,令為中的最大值,稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”.

15、例如數(shù)列3,5,4,7的創(chuàng)新數(shù)列為3,5,5,7.考查自然數(shù)的所有排列,將每種排列都視為一個有窮數(shù)列.()若,寫出創(chuàng)新數(shù)列為3,5,5,5,5的所有數(shù)列;()是否存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列?若存在,求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列;若不存在,請說明理由;()是否存在數(shù)列,使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出所有符合條件的數(shù)列的個數(shù);若不存在,請說明理由.（北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）已知實(shí)數(shù)組成的數(shù)組滿足條件：； .() 當(dāng)時，求，的值；（）當(dāng)時，求證：；（）設(shè),且，求證：.（北京市東城區(qū)普通校2013屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 ）設(shè)，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，對于

16、滿足的整數(shù)，數(shù)列， 由 確定。記()當(dāng)時，求M的值；()求M的最小值及相應(yīng)的k的值（2013北京西城高三二模數(shù)學(xué)理科）已知集合是正整數(shù)的一個排列,函數(shù) 對于,定義:,稱為的滿意指數(shù).排列為排列的生成列;排列為排列的母列.()當(dāng)時,寫出排列的生成列及排列的母列;()證明:若和為中兩個不同排列,則它們的生成列也不同;()對于中的排列,定義變換:將排列從左至右第一個滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng),其它各項(xiàng)順序不變,得到一個新的排列.證明:一定可以經(jīng)過有限次變換將排列變換為各項(xiàng)滿意指數(shù)均為非負(fù)數(shù)的排列.（2013北京東城高三二模數(shù)學(xué)理科）已知數(shù)列,.()求,;()是否存在正整數(shù),使得對任意的,有;()設(shè),

17、問是否為有理數(shù),說明理由.（2013北京高考數(shù)學(xué)（理）已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An,第n項(xiàng)之后各項(xiàng),的最小值記為Bn,dn=An-Bn .(I)若an為2,1,4,3,2,1,4,3,是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nN*,),寫出d1,d2,d3,d4的值;(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列;(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則an的項(xiàng)只能是1或者2,且有無窮多項(xiàng)為1.（北京市石景山區(qū)2013屆高三一模數(shù)學(xué)理試題）給定有限單調(diào)遞增數(shù)列xn(nN*,n2)且xi0(1 i

18、n),定義集合A=(xi,xj)|1i,jn,且i,jN*.若對任意點(diǎn)A1A,存在點(diǎn)A2A使得OA1OA2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則稱數(shù)列xn具有性質(zhì)P.(I)判斷數(shù)列xn:-2,2和數(shù)列yn:-2,-l,1,3是否具有性質(zhì)P,簡述理由.(II)若數(shù)列xn具有性質(zhì)P,求證:數(shù)列xn中一定存在兩項(xiàng)xi,xj使得xi+xj =0:若x1=-1, xn0且xn1,則x2=l.()若數(shù)列xn只有2013項(xiàng)且具有性質(zhì)P,x1=-1,x3 =2,求xn的所有項(xiàng)和S2013.（2013屆北京西城區(qū)一模理科）已知集合 對于，定義；與之間的距離為（）當(dāng)時，設(shè)，若，求；（）（）證明：若，且，使，則； （）設(shè)，且是否一定

19、，使？說明理由；（）記若，且，求的最大值（北京市海淀區(qū)2013屆高三5月查缺補(bǔ)漏數(shù)學(xué)（理）數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),前項(xiàng)和為,且對任意,都有.()求證:;()求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （北京市通州區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 ）現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)，其中記，作函數(shù)，使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線（）求和的值；（）設(shè)直線的斜率為，判斷的大小關(guān)系；（）證明：當(dāng)時，（北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）將正整數(shù)（）任意排成行列的數(shù)表.對于某一個數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個數(shù)（）的比值，稱這些比值中的最小值為這個數(shù)表的“特征值”.（）當(dāng)時，試寫出排成的各個數(shù)表中

20、所有可能的不同“特征值”；（）若表示某個行列數(shù)表中第行第列的數(shù)（，），且滿足請分別寫出時數(shù)表的“特征值”，并由此歸納此類數(shù)表的“特征值”（不必證明）；（）對于由正整數(shù)排成的行列的任意數(shù)表，記其“特征值”為，求證：.（2013屆北京大興區(qū)一模理科）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，設(shè)集合。性質(zhì)1 若對于，存在唯一一組（）使成立，則稱數(shù)列為完備數(shù)列，當(dāng)k取最大值時稱數(shù)列為k階完備數(shù)列。性質(zhì)2 若記，且對于任意，都有成立，則稱數(shù)列為完整數(shù)列，當(dāng)k取最大值時稱數(shù)列為k階完整數(shù)列。性質(zhì)3 若數(shù)列同時具有性質(zhì)1及性質(zhì)2，則稱此數(shù)列為完美數(shù)列，當(dāng)取最大值時稱為階完美數(shù)列；（）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求集合，并指出分

21、別為幾階完備數(shù)列，幾階完整數(shù)列，幾階完美數(shù)列；（）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求證：數(shù)列為階完備數(shù)列，并求出集合中所有元素的和。（）若數(shù)列為階完美數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2010年高考（北京理）已知集合對于,定義A與B的差為A與B之間的距離為()證明:,且;()證明:三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù);() 設(shè)P,P中有m(m2)個元素,記P中所有兩元素間距離的平均值為(P),證明:(P).北京市2014屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編14：數(shù)列的綜合問題參考答案一、選擇題 D B 二、填空題 ； （這里為中的所有奇數(shù)） 【答案】 解：由題意可知第一列首項(xiàng)為，公差，第二列的首項(xiàng)為，公差，所以，所以第5行的公比為

22、，所以。由題意知，所以第行的公比為，所以 63, ， 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以，即。兩邊平方得，即，即，即，即?shù)列的任意兩項(xiàng)之和為，所以，即。所以，解得或（舍去）。 【答案】 解：根據(jù)定義得。，所以根據(jù)歸納推理可知。 【答案】； 解：因?yàn)榈?列前面有兩列，共有10個數(shù)分別小于第3列的數(shù)，因此：最小為：3+6+9+12+15=45.因?yàn)榈?列后面有兩列，共有10個數(shù)分別大于第3列的數(shù)，因此：最大為：23+20+17+14+11=85. 三、解答題 解:()因?yàn)?3, 所以 不具有性質(zhì)P. 因?yàn)?,所以具有性質(zhì)P ()因?yàn)榧暇哂行再|(zhì)P: 即對任意的 ,使得成立, 又因?yàn)?所以 所以,所以 即

23、, 將上述不等式相加得 所以 ()最小值為 首先注意到,根據(jù)性質(zhì)P,得到 所以易知數(shù)集A的元素都是整數(shù). 構(gòu)造或者,這兩個集合具有性質(zhì)P, 此時元素和為147. 下面,我們證明147是最小的和 假設(shè)數(shù)集,滿足最小(存在性顯然,因?yàn)闈M足的數(shù)集只有有限個). 第一步:首先說明集合中至少有8個元素: 由()可知 又,所以, 所以 第二步:證明: 若,設(shè),因?yàn)?為了使得最小,在集合 中一定不含有元素,使得,從而 ; 假設(shè),根據(jù)性質(zhì)P,對,有,使得 顯然, 所以 而此時集合中至少還有5個不同于的元素, 從而,矛盾, 所以,進(jìn)而,且; 同理可證: (同理可以證明:若,則 假設(shè). 因?yàn)楦鶕?jù)性質(zhì)P,有,使得

24、顯然, 所以, 而此時集合中至少還有4個不同于的元素 從而,矛盾, 所以,且 同理可以證明:若,則 假設(shè) 因?yàn)楦鶕?jù)性質(zhì)P,有,使得 顯然, 所以 而此時集合中至少還有3個不同于的元素 從而,矛盾, 所以,且 ) 至此,我們得到了. 根據(jù)性質(zhì)P,有,使得 我們需要考慮如下幾種情形: , 此時集合中至少還需要一個大于等于4的元素,才能得到元素8, 則; ,此時集合中至少還需要一個大于4的元素,才能得到元素7, 則; ,此時集合的和最小,為147; ,此時集合的和最小,為147 解：（）因?yàn)闉榉橇阏麛?shù)）故或，所以點(diǎn)的相關(guān)點(diǎn)有8個2分又因?yàn)?，即所以這些可能值對應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上4分（）依題

25、意與重合則，即，兩式相加得（*）因?yàn)楣蕿槠鏀?shù)，于是（*）的左邊就是個奇數(shù)的和，因?yàn)槠鏀?shù)個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以一定為偶數(shù)8分（）令，依題意，因?yàn)?0分因?yàn)橛校覟榉橇阏麛?shù)，所以當(dāng)?shù)膫€數(shù)越多，則的值越大，而且在這個序列中，數(shù)字的位置越靠前，則相應(yīng)的的值越大而當(dāng)取值為1或的次數(shù)最多時，取2的次數(shù)才能最多，的值才能最大.當(dāng)時，令所有的都為1，都取2，則.當(dāng)時，若，此時，可取個1，個，此時可都取2，達(dá)到最大此時=.若,令,其余的中有個，個1.相應(yīng)的，對于，有,其余的都為2，則當(dāng)時，令則相應(yīng)的取則=+綜上，13分 （）解：答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求 3分（）解：不存在，使得 4分證明如下：假設(shè)存在

26、，使得因?yàn)椋?，所以，這個數(shù)中有個，個令一方面，由于這個數(shù)中有個， 個，從而 另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這個實(shí)數(shù)之積為）；也表示， 從而 、相矛盾，從而不存在，使得 8分（）解：記這個實(shí)數(shù)之積為一方面，從“行”的角度看，有；另一方面，從“列”的角度看，有從而有 10分注意到， 下面考慮，中的個數(shù)：由知，上述個實(shí)數(shù)中，的個數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為；則的個數(shù)為，所以 12分對數(shù)表：，顯然將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然依此類推，將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表即數(shù)表滿足：，其余所以 ，所以由的任意性知，的取值集合為13分 【命題立意】本題為新定義題,在理解新定義

27、的基礎(chǔ)上,學(xué)會信息遷移,把新信息轉(zhuǎn)化為所學(xué)的知識解答.理解遞增數(shù)列的含義和充要條件的概念.考查學(xué)生綜合分析轉(zhuǎn)化問題的能力和邏輯推理能力和綜合探究的能力. 【解析】()0,1,2,1,0是一個滿足條件的E數(shù)列.(答案不唯一.0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E數(shù)列) ()必要性:因?yàn)镋數(shù)列是遞增數(shù)列,所以 所以是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列.所以 充分性:由于,所以, 即,又因?yàn)?所以 故,即是遞增數(shù)列.綜上,結(jié)論得證 ()令,則, 因?yàn)?所以 因?yàn)?所以為偶數(shù). 所以為偶數(shù). 所以要使,必須使為偶數(shù),即4整除,也就是或 當(dāng)時,E數(shù)列的項(xiàng)滿足,()時,有,. 當(dāng)時,E數(shù)列的項(xiàng)滿足E數(shù)列的項(xiàng)滿

28、足,(),時,有,. 當(dāng)或時,不能被4整除,即不是偶數(shù),所以不存在E數(shù)列使得有,成立 解:()設(shè)等比數(shù)列的公比為q, ,則q3=8,q=2,bn=2n-1, 數(shù)列的前4項(xiàng)為1,4,7,10,數(shù)列bn的前4項(xiàng)為1,2,4,8, 數(shù)列的前4項(xiàng)為1,2,4,7; ()據(jù)集合B中元素2,8,32,128A,猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式為dn =22n-1. dn=b2n ,只需證明數(shù)列bn中,b2n-1A,b2nA(). 證明如下: b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=34n-1,即b2n+1=b2n-1+34n-1, 若mN*,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+34n-

29、1=3(m+4n-1)-2,所以,若b2n-1A,則b2n+1A.因?yàn)閎1A,重復(fù)使用上述結(jié)論,即得b2n-1A(). 同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=24n-24n-1=324n-1,即b2n+2=b2n+324n-1,因?yàn)椤?24n-1” 數(shù)列的公差3的整數(shù)倍,所以說明b2n 與b2n+2同時屬于A或同時不屬于A, 當(dāng)n=1時,顯然b2=2A,即有b4=2A,重復(fù)使用上述結(jié)論, 即得b2nA,dn =22n-1; ()(1)當(dāng)n=1時,所以因?yàn)?所以S1=1; (2)當(dāng)n2時,由()知,數(shù)列bn中,b2n-1A,b2nA,則,且kn,使得 下面討論正整數(shù)k與n的關(guān)系: 數(shù)

30、列中的第n項(xiàng)不外如下兩種情況: 或者 , 若成立,即有, 若成立,即有 , 有或者, 顯然=N*,所以. 綜上所述,. 解:() ()數(shù)的倍與倍分別如下: 其中較大的十個數(shù)之和與較小的十個數(shù)之和的差為,所以. 對于排列,此時, 所以的最大值為 ()由于數(shù)所產(chǎn)生的個數(shù)都是較小的數(shù),而數(shù)所產(chǎn)生的個數(shù)都是較大的數(shù),所以使取最大值的排列中,必須保證數(shù)互不相鄰,數(shù)也互不相鄰;而數(shù)和既不能排在之一的后面,又不能排在之一的前面.設(shè),并參照下面的符號排列 其中任意填入個中,有種不同的填法;任意填入個圓圈中,共有種不同的填法;填入個之一中,有種不同的填法;填入個中,且當(dāng)與在同一個時,既可以在之前又可在之后,共有

31、種不同的填法,所以當(dāng)時,使達(dá)到最大值的所有排列的個數(shù)為,由輪換性知,使達(dá)到最大值的所有排列的個數(shù)為 解:(I)由題意可知,. 當(dāng)時, 當(dāng)時,也滿足上式, 所以 (II)由(I)可知,即. 當(dāng)時, 當(dāng)時,所以, 當(dāng)時, 當(dāng)時,所以, 當(dāng)時(為偶數(shù)),所以 以上個式子相加,得 . 又, 所以,當(dāng)為偶數(shù)時,. 同理,當(dāng)為奇數(shù)時, , 所以,當(dāng)為奇數(shù)時, 因此,當(dāng)為偶數(shù)時,數(shù)列的前項(xiàng)和 ; 當(dāng)為奇數(shù)時,數(shù)列的前項(xiàng)和 . 故數(shù)列的前項(xiàng)和 (III)由(II)可知 當(dāng)為偶數(shù)時, 所以隨的增大而減小, 從而,當(dāng)為偶數(shù)時,的最大值是. 當(dāng)為奇數(shù)時, 所以隨的增大而增大, 且. 綜上,的最大值是1. 因此,若對

32、于任意的,不等式恒成立,只需, 故實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：（）B0A1B1是以A1為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直線B0A1的方程為y=x由 得，即點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，2），進(jìn)而得.3分（）根據(jù)和分別是以和為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形可 得 ，即 （*） .5分 和均在曲線上，代入（*）式得， .7分?jǐn)?shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為() .8分（）由（）可知， ， 9分，= =.10分 .11分（方法一）-=當(dāng)n=1時不符合題意，當(dāng)n=2時，符合題意，猜想對于一切大于或等于2的自然數(shù)，都有（）觀察知，欲證（）式，只需證明當(dāng)n2時，n+12n以下用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n=2時，

33、左邊=3，右邊=4，左邊右邊；(2)假設(shè)n=k（k2）時，(k+1)2k,當(dāng)n=k+1時，左邊=（k+1）+12k+12k+2k=2k+1=右邊,對于一切大于或等于2的正整數(shù)，都有n+12n ，即成立綜上，滿足題意的n的最小值為2. .13分（方法二）欲證成立，只需證明當(dāng)n2時，n+10時,據(jù)期待數(shù)列的條件得： 由得，7分當(dāng)d0時，同理可得由得，8分（）（1）當(dāng)k=n時，顯然成立；9分當(dāng)kn時，據(jù)條件得，即， ,11分 14分解:(I)當(dāng),時, , 用去代得, 得, 在中令得,則0, 數(shù)列是以首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,= (II)當(dāng),時, 用去代得, 得, , . 用去代得, 得,即,.

34、數(shù)列是等差數(shù)列., 公差, (III)由(II)知數(shù)列是等差數(shù)列,. 又是“封閉數(shù)列”,得:對任意,必存在使 ,得,故是偶數(shù), 又由已知,故.一方面,當(dāng)時,對任意,都有. 另一方面,當(dāng)時,則, 取,則,不合題意. 當(dāng)時,則 , 當(dāng)時, , 又,或或或 解: (I) 因?yàn)閿?shù)列，所以，所以 4分 (II) 一方面，根據(jù)的含義知， 故，即 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.因?yàn)橹凶畲蟮捻?xiàng)為50，所以當(dāng)時必有， 所以即當(dāng)時，有； 當(dāng)時，有 9分（III）設(shè)為中的最大值. 由（II）可以知道，的最小值為. 根據(jù)題意，下面計(jì)算的值.， ， ，最小值為. .14分解:()由已知得. ()設(shè). 當(dāng)時,. 若固定,僅讓變動

35、,此時, 因此. 同理. . 以此類推,我們可以看出,的最小值必定可在某一組取值的所達(dá)到, 于是. 當(dāng)()時, . 因?yàn)?所以,且當(dāng),時,. 因此 ()設(shè) . 固定,僅讓變動,此時 , 因此. 同理. . 以此類推,我們可以看出,的最小值必定可在某一組取值的所達(dá)到,于是. 當(dāng)()時, . 當(dāng)為偶數(shù)時, 若取,則,所以. 當(dāng)為奇數(shù)時,因?yàn)?所以, 若取,則, 所以 解: ()點(diǎn)M在直線x=上,設(shè)M. 又=,即, +=1. 當(dāng)=時,=,+=; 當(dāng)時, +=+= 綜合得,+. ()由()知,當(dāng)+=1時, + ,k=. n2時,+ , , +得,2=-2(n-1),則=1-n. 當(dāng)n=1時,=0滿足=

36、1-n. =1-n. ()=,=1+=. . =2-,=-2+=2-, ,、m為正整數(shù),c=1, 當(dāng)c=1時, 13, m=1. (I)解:法1: 法2: 法3: (II) 每一列所有數(shù)之和分別為2,0,0,每一行所有數(shù)之和分別為,1; 如果首先操作第三列,則 則第一行之和為,第二行之和為, 這兩個數(shù)中,必須有一個為負(fù)數(shù),另外一個為非負(fù)數(shù), 所以 或 當(dāng)時,則接下來只能操作第一行, 此時每列之和分別為 必有,解得 當(dāng)時,則接下來操作第二行 此時第4列和為負(fù),不符合題意 如果首先操作第一行 則每一列之和分別為, 當(dāng)時,每列各數(shù)之和已經(jīng)非負(fù),不需要進(jìn)行第二次操作,舍掉 當(dāng)時,至少有一個為負(fù)數(shù), 所

37、以此時必須有,即,所以或 經(jīng)檢驗(yàn),或符合要求 綜上: (III)能經(jīng)過有限次操作以后,使得得到的數(shù)表所有的行和與所有的列和均為非負(fù)實(shí)數(shù).證明如下: 記數(shù)表中第行第列的實(shí)數(shù)為(),各行的數(shù)字之和分別為,各列的數(shù)字之和分別為,數(shù)表中個實(shí)數(shù)之和為,則.記 . 按要求操作一次時,使該行的行和(或該列的列和)由負(fù)變正,都會引起(和)增大,從而也就使得增加,增加的幅度大于等于,但是每次操作都只是改變數(shù)表中某行(或某列)各數(shù)的符號,而不改變其絕對值,顯然,必然小于等于最初的數(shù)表中個實(shí)數(shù)的絕對值之和,可見其增加的趨勢必在有限次之后終止.終止之時,必是所有的行和與所有的列和均為非負(fù)實(shí)數(shù),否則,只要再改變該行或該

38、列的符號,就又會繼續(xù)上升,導(dǎo)致矛盾,故結(jié)論成立 ()由題意,創(chuàng)新數(shù)列為3,5,5,5,5的所有數(shù)列有6個, 3,5,1,2,4; 3,5,1,4,2; 3,5,2,1,4; 3,5,2,4,1; 3,5,4,1,2; 3,5,4,2,1; ()存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列. 設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為, 因?yàn)闉榍皞€自然數(shù)中最大的一個,所以.若為等比數(shù)列, 設(shè)公比為,因?yàn)?所以 當(dāng)時,為常數(shù)列滿足條件,即為數(shù)列 當(dāng)時,為增數(shù)列,符合條件的數(shù)列只能是, 又不滿足等比數(shù)列.綜上符合條件的創(chuàng)新數(shù)列只有一個. ()存在數(shù)列,使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列, 設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為,因?yàn)闉榍皞€自然數(shù)中最大的一個, 所以.若

39、為等差數(shù)列,設(shè)公差為, 因?yàn)?所以.且 當(dāng)時,為常數(shù)列滿足條件,即為數(shù)列(或?qū)懲?xiàng)公式), 此時數(shù)列是首項(xiàng)為的任意一個排列,共有個數(shù)列; 當(dāng)時,符合條件的數(shù)列只能是,此時數(shù)列是, 有1個; 當(dāng)時, 又 這與矛盾,所以此時不存在. 綜上滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為個(或回答個). ()解： 由（1）得，再由（2）知，且.當(dāng)時，.得，所以2分當(dāng)時，同理得4分（）證明：當(dāng)時，由已知,.所以.9分（）證明：因?yàn)?，?所以,即 .11分).14分 ()解:當(dāng)時,排列的生成列為; 排列的母列為 ()證明:設(shè)的生成列是;的生成列是與. 從右往左數(shù),設(shè)排列與第一個不同的項(xiàng)為與,即:,. 顯然 ,下面證明: 由滿意指

40、數(shù)的定義知,的滿意指數(shù)為排列中前項(xiàng)中比小的項(xiàng)的個數(shù)減去比大的項(xiàng)的個數(shù). 由于排列的前項(xiàng)各不相同,設(shè)這項(xiàng)中有項(xiàng)比小,則有項(xiàng)比大,從而. 同理,設(shè)排列中有項(xiàng)比小,則有項(xiàng)比大,從而. 因?yàn)?與是個不同數(shù)的兩個不同排列,且, 所以 , 從而 . 所以排列和的生成列也不同 ()證明:設(shè)排列的生成列為,且為中從左至右第一個滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng),所以 進(jìn)行一次變換后,排列變換為,設(shè)該排列的生成列為. 所以 因此,經(jīng)過一次變換后,整個排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和將至少增加. 因?yàn)榈臐M意指數(shù),其中, 所以,整個排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和不超過, 即整個排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和為有限數(shù), 所以經(jīng)過有限次變換后,一定會使各項(xiàng)的滿

41、意指數(shù)均為非負(fù)數(shù) (共13分)解:(); . ()假設(shè)存在正整數(shù),使得對任意的,有. 則存在無數(shù)個正整數(shù),使得對任意的,有. 設(shè)為其中最小的正整數(shù). 若為奇數(shù),設(shè)(), 則. 與已知矛盾. 若為偶數(shù),設(shè)(),則,而 從而. 而,與為其中最小的正整數(shù)矛盾. 綜上,不存在正整數(shù),使得對任意的,有. ()若為有理數(shù),即為無限循環(huán)小數(shù), 則存在正整數(shù),對任意的,且,有. 與()同理,設(shè)為其中最小的正整數(shù). 若為奇數(shù),設(shè)(), 當(dāng)時,有.與已知矛盾. 若為偶數(shù),設(shè)(), 當(dāng)時,有,而 從而. 而,與為其中最小的正整數(shù)矛盾. 故不是有理數(shù) (I) (II)(充分性)因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列,且,所以 因此,. (必要性)因?yàn)?所以. 又因?yàn)?所以.