層次分析法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

1、層次分析法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用摘要：人們?cè)谏钪刑幚硪恍Q策問(wèn)題的時(shí)候，要考慮的因素有多有少，有大有小，但是一個(gè)共同的特點(diǎn)是它們通常都涉及到經(jīng)濟(jì) 、社會(huì)、 人文等方面的因素。在作比較、 判斷 、評(píng)價(jià)、 決策時(shí)，這些因素的重要性 影響力或者優(yōu)先程度往往難以量化，人的主觀選擇會(huì)起著相當(dāng)主要的作用，這就給用一般的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題帶來(lái)本質(zhì)上的困難。這是就有人提出了一種能有效地處理這樣一類問(wèn)題的實(shí)用方法，稱為層次分析法，這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。以及在對(duì)層次分析法的引入基礎(chǔ)之上，建立層次分析模型，并給出了層次分析的求解過(guò)程，以及在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：層次分析法；成對(duì)比較矩

2、陣；權(quán)向量；一致性指標(biāo)；一致性比率 一 問(wèn)題的提出：人們?cè)谌粘Ｉ钪谐３Ｅ龅皆S多決策問(wèn)題：請(qǐng)朋友吃飯要籌劃是辦家宴還是去飯店，是吃中餐、西餐還是自助餐；假期旅游和科研成果的評(píng)價(jià)。諸如此類問(wèn)題面臨抉擇，就要慎重考慮，反復(fù)比較，盡可能滿意的決策。 然而人們?cè)谔幚砩厦孢@些決策問(wèn)題的時(shí)候，要考慮的因素有多有少，有大有小，但是一個(gè)共同的特點(diǎn)是它們通常都涉及經(jīng)濟(jì)社會(huì)和人文等方面的因素。在做比較、判斷、評(píng)價(jià)、決策時(shí)，這些因素的重要性、影響力或者優(yōu)先程度難以量化，人的主觀選擇會(huì)起著相當(dāng)重要的作用。T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70年代提出了一種能有效地處理這樣一類問(wèn)題的實(shí)用方法，稱為層次分析法（簡(jiǎn)稱AHP）

3、，這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。 二 層次分析法的基本步驟1.將決策問(wèn)題分解為三個(gè)層次。最上層為目標(biāo)層，最下層為方案層，中間層為準(zhǔn)則層。2.通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)于目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)于每一準(zhǔn)則的權(quán)重，這些權(quán)重在人的思想過(guò)程中通常是定性的，而在層次分析法中則要給出得到權(quán)重的定量方法。3.將方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重及準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合，最終確定方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重。在層次分析法中要給出進(jìn)行綜合的計(jì)算方法。 三 構(gòu)造成對(duì)比較陣、計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)；計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)。1.成對(duì)比較矩陣和權(quán)向量 所有因素兩兩相互對(duì)比，對(duì)比時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減

4、少性質(zhì)不同的諸因素相互對(duì)比的困難，提高準(zhǔn)確度。假設(shè)要比較某一層n個(gè)因素對(duì)上層一個(gè)因素O的影響，每次取兩個(gè)因素和。用表示和對(duì)O的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對(duì)比較矩陣。A=(),0, =1/由于此式給出的的特點(diǎn)，A稱為正互反矩陣，=1一般地，如果一個(gè)正互反矩陣A滿足=。ijk=1,2n;則稱A為一致陣，證明n階一致陣A有下列性質(zhì)。 A的秩為1，A的唯一非零特征根為n。 A的任一列向量都是特征根n的特征向量。權(quán)向量：如果得到的成對(duì)比較陣是一致陣，自然應(yīng)取對(duì)應(yīng)于特征根n的歸一化的特征向量。（即分量和為1）表示諸因素對(duì)上層因素O的權(quán)重。此向量稱為權(quán)向量。記，作為權(quán)向量即滿足A=。通常在層次分析法的應(yīng)用

5、中都會(huì)采用1-9尺度即比較尺度。（如下表1所示） 尺度 含義 1 3 5 7 9 2 4 6 8 1，1/2，1/9 與的影響相同 比的影響稍強(qiáng) 比的影響強(qiáng) 比的影響明顯的強(qiáng) 比的影響絕對(duì)的強(qiáng)與的影響之比在上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間 與的影響之比為上面的互反數(shù) （表1） 2 一致性檢驗(yàn)n階正互反矩陣A的最大特征根為n，且（此為一致陣時(shí)）n階正互反矩陣A的最大特征根是n，而當(dāng)=n時(shí)是一致陣。CI=-n/n-1此為一致性指標(biāo)，（CI=0時(shí)A為一致陣）CI越大A不一致程度越嚴(yán)重。為了確定A的不一致程度的容許范圍，需要找出衡量A的不一致性指標(biāo)CI的標(biāo)準(zhǔn)，則需要引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。（可以參考隨機(jī)性一直性指

6、標(biāo)RI的數(shù)值）RI的計(jì)算過(guò)程為：對(duì)于固定的n，隨機(jī)地構(gòu)造正互反陣，然后計(jì)算的一致性指標(biāo)CI。將成對(duì)比較陣A（n3）的一致性指標(biāo)CI與同階的隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比稱為一致性比率CR。當(dāng)CR0.1時(shí)認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)。（即一致性檢驗(yàn)通過(guò)）3 組合權(quán)向量 計(jì)算個(gè)方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量。相類似于以上的方法做一致性檢驗(yàn)。 =0.1 (R=34s)； 四 實(shí)例分析 1 科研成果評(píng)價(jià)的層次結(jié)構(gòu)模型 通過(guò)對(duì)圍繞科研成果評(píng)價(jià)的相關(guān)問(wèn)題作深入分析，我們將影響科研成果評(píng)價(jià)的主要因素分解為4個(gè)層次，各層次的聯(lián)系用相連的直線表示，它們構(gòu)成了如圖1所示的層次分析結(jié)構(gòu)模型。其中第一層為目標(biāo)層，第二

7、層為準(zhǔn)則層，第三層為子準(zhǔn)則層，第四層為方案層。科研成果綜合評(píng)價(jià)科學(xué)性創(chuàng)造性實(shí)踐性科研成果其中各項(xiàng)符號(hào)表示如下： （圖1）：選題符合客觀實(shí)際，理論依據(jù)正確；：研究方案具有科學(xué)性；：論證、推理合乎邏輯；：對(duì)已有理論做出新的解釋、論證，使原有理論深化；：填補(bǔ)某項(xiàng)科學(xué)空白，具有國(guó)內(nèi)、國(guó)際意義；：提出新理論、觀點(diǎn)、概念，論證成立；：研究成果為有關(guān)部門(mén)決策與管理提供參考依據(jù)，具有很高的適用價(jià)值；：研究成果形成了可操作方法，實(shí)用性強(qiáng)，具有一定的推廣價(jià)值；：省內(nèi)、國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)界同行放映強(qiáng)烈，具有較高的引用率。（一）模型的求解1 計(jì)算成對(duì)比較矩陣。為了客觀地確定各項(xiàng)指標(biāo)在評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中的權(quán)重，我們采用問(wèn)卷調(diào)查的方式

8、調(diào)查了景德鎮(zhèn)高等專科學(xué)校的100名老師。問(wèn)卷調(diào)查表設(shè)計(jì)了15個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題為各個(gè)子準(zhǔn)則對(duì)各個(gè)準(zhǔn)則的影響大小，以及各個(gè)準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的影響的大小單獨(dú)評(píng)分。被調(diào)查人員就自己認(rèn)為的權(quán)重大小進(jìn)行打分，以此收集得到原始的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)。根據(jù)調(diào)查結(jié)果，依據(jù)層次分析法常用的1-9尺度建立了準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較矩陣如下： （1）在式（1）中：表示科學(xué)性與創(chuàng)造性對(duì)評(píng)價(jià)科研成果的重要性之比為1；表示科學(xué)性與實(shí)踐性對(duì)評(píng)價(jià)科研成果的重要性之比為3，等等。在這里要注意的是成對(duì)比較陣中的元素應(yīng)為1-9尺度中的數(shù)。用同樣的方法，我們構(gòu)造出了子準(zhǔn)則層的每一個(gè)準(zhǔn)則的成對(duì)比較矩陣，它們分別為： = ， = , = (2) 這里的矩陣

9、中的元素是子準(zhǔn)則的比較尺度。(二)計(jì)算權(quán)向量利用和合法計(jì)算各成對(duì)比較矩陣的A, ,的特征向量和特征根。其特征向量和特征根分別記為，和，。計(jì)算如下：=0.43，0.43，0.14；=3=0.2583，0.637，0.1047；=3.032=0.2，0.6，0.2；=3=0.2，0.6，0.2；=3由于各矩陣均為一致性矩陣，不需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。（三）計(jì)算組合權(quán)向量。上面已經(jīng)得出了各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量和各子準(zhǔn)則層對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)向量（k=1，2，3）。令 =； = ； = ； 以，為列向量構(gòu)成一個(gè)123階矩陣，則子準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)層的權(quán)向量=（四）結(jié)論以上分析可知，在子準(zhǔn)則層的九個(gè)影響因素中，“研究方案具

10、有科學(xué)性”的權(quán)重排名第一，“填補(bǔ)某項(xiàng)科學(xué)空白，具有國(guó)內(nèi)國(guó)際意義”的權(quán)重名排列第二，這些結(jié)論與現(xiàn)實(shí)中的情況是比較符合的，如具體評(píng)價(jià)某項(xiàng)科研成果的價(jià)值，可由上級(jí)主管部門(mén)給出該科研成果相應(yīng)于子準(zhǔn)則層每項(xiàng)的分值，再乘以各指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中的權(quán)重并求和，即為這項(xiàng)成果的綜合絕對(duì)評(píng)價(jià)的分值。2 電視劇選擇的模型 本問(wèn)題是一個(gè)層次分析模型，給出幾種方案，并附出影響方案實(shí)行的幾組因素，協(xié)調(diào)最有利因素達(dá)到最佳的抉擇。簡(jiǎn)言之方案中如何利用數(shù)學(xué)方法建立起一個(gè)最佳方案的抉擇。目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層選擇較為喜愛(ài)的電視劇藝術(shù)性C1教育性C2娛樂(lè)性C3西游記P1母親P2清史P3雪山飛狐P4 圖2內(nèi)容：（過(guò)程與求解） 1 建立層次結(jié)

11、構(gòu)模型 2 構(gòu)造成對(duì)比較矩陣 首先做出準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的正互反矩陣 A=利用可以求出其最大特征根和所對(duì)應(yīng)的特征向量。其為=3，= 下面對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)此A是否為一致陣。易知CI=-n/n-1=0則又知有RI=0.58則一致性比率為CR=00.1故知此矩陣A為正互反矩陣。其次做出方案層對(duì)準(zhǔn)則層的對(duì)應(yīng)（，）的權(quán)向量。其分別為：（針對(duì)藝術(shù)性）利用軟件求得： =4.3573 =0.092（針對(duì)教育性）= 利用軟件求得： =4.0968 =0.0359（針對(duì)娛樂(lè)性）利用軟件求得： =4.1241 ；這里RI均為0.90（參照一致性指標(biāo)RI的數(shù)值）利用上述所得數(shù)據(jù)易知，均為一致陣。并且給出列表2： R 1 2

12、3 0.75180.19030.37680.5068 0.6242 0.2685 0.1706 0.7156 0.8162 0.4475 0.3252 0.1714 4.3573 4.0968 4.1241 0.092 0.0359 0.046 表2根據(jù)此表計(jì)算各方案的對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量即組合權(quán)向量 組合權(quán)向量： ：（西游記） 0.87290.7518+0.43640.6242+0.21820.8162=1.106：（母親） 0.87290.1903+0.43640.2685+0.21820.4475=0.3808：（清史） 0.87290.3768+0.43640.1706+0.21820.32

13、52=0.4742：（雪山飛狐） 0.87290.5068+0.43640.7156+0.21820.1714=0.7918由所得出的權(quán)重知（西游記）在選擇中占的權(quán)重最大，應(yīng)做方案層時(shí)選擇（西游記）。最后需坐組合一致性檢驗(yàn)。易從表中得其CI都小于0.1故選為最佳方案。 3 中學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)模型課堂教學(xué)的評(píng)價(jià)是一個(gè)多因素、多層次、多準(zhǔn)則的復(fù)雜的問(wèn)題,其中的因素是人的主觀判斷,只能用定性表示,很難完全用定量的數(shù)學(xué)模型解決。而層次分析法是一種定量與定性相結(jié)合,將人的主觀判斷用數(shù)量形式表達(dá)和處理的方法。所以,利用層次分析法建立模型對(duì)這評(píng)價(jià)進(jìn)行輔助決策,確定方案的權(quán)重,使評(píng)價(jià)工作變得更科學(xué)、合理、公正。（一

14、）、層次分析法的基本思想層次分析法 AHP 是美國(guó)數(shù)學(xué)家薩迪 T. L. Saaty 在 70年代提出的。在決策中,困難之處往往在于社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的許多因素難以定量地測(cè)度,因?yàn)闇y(cè)度對(duì)象的屬性大多數(shù)具有相對(duì)的性質(zhì),很難確定一種絕對(duì)標(biāo)度,也往往缺少必要的測(cè)量工具進(jìn)行測(cè)度。層次分析法提供了一種表示決策因素測(cè)度的基本方法。這種方法采用相對(duì)標(biāo)度的形式,充分利用了人的經(jīng)驗(yàn)和判斷能力。這種測(cè)度統(tǒng)一了有形和無(wú)形,可定量和不可定量的眾多因素。薩迪的層次分析法確定方案權(quán)重的思想如下:設(shè)有被選方案集 圖 1A ,A ,A ,依據(jù)某一準(zhǔn)則 C,采用 1 - 9標(biāo)度,用專家咨詢法對(duì)各方案教學(xué)兩兩比較評(píng)分,得到的判斷矩陣

15、為其中 a i, j=1,2, , n 表示方案 A 與方案 A 比較的相對(duì)重要性程度, a 越大,表示方案 A 比方案 A 越重要。如果判斷矩陣具有一致性,則判斷矩陣的最大特征根 對(duì)應(yīng)的特征矢量 就是方案的權(quán)重矢量。（二）、層次分析法的應(yīng)用運(yùn)用層次分析法進(jìn)行決策時(shí),一般可以分成下列 3個(gè)步驟進(jìn)行:1、建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)應(yīng)用 AHP進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的評(píng)價(jià),首先把問(wèn)題條理化、層次化,構(gòu)造一個(gè)層次分析的結(jié)構(gòu)模型,通過(guò)參考文獻(xiàn) 及征求專家意見(jiàn),把中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)模型分為三層,其層次結(jié)構(gòu)表示如圖3所示。課堂教學(xué)質(zhì)量教師教學(xué)行為B1組織能力C1教學(xué)基本功C2教學(xué)態(tài)度C3教學(xué)機(jī)智C4參與狀態(tài)C5思

16、維狀態(tài)C6學(xué)習(xí)達(dá)成狀態(tài)C7目標(biāo)層A方案層C學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)B2準(zhǔn)則層B 圖32、構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣,計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重在構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣的過(guò)程中,不是直接呈現(xiàn)出各個(gè)元素的權(quán)重,而是采用 1 - 9的標(biāo)度,利用兩兩比較法導(dǎo)出權(quán)重。選擇 1 - 9之間的整數(shù)作為比例標(biāo)的主要原因是它符合人們進(jìn)行判斷時(shí)的心理習(xí)慣。當(dāng)人們表達(dá)一對(duì)因素在某種屬性下的相對(duì)強(qiáng)度時(shí),通常采用相當(dāng)、較強(qiáng) 弱 、明顯強(qiáng) 弱 、很強(qiáng) 弱 、絕對(duì)強(qiáng) 弱 、這類語(yǔ)言表達(dá)。如果再分得細(xì)一些,可以再相鄰兩級(jí)中再插入一級(jí),這正好是 9級(jí),這 9級(jí)就剛好和 1 - 9對(duì)應(yīng)。 在這一步中,決策者反復(fù)回答問(wèn)題:針對(duì)準(zhǔn)則 C,它所支

17、配的下一層次的元素哪一個(gè)更加重要,重要多少,并按 1 - 9比例標(biāo)度對(duì)重要性賦值。根據(jù)決策者的回答,得到下列判斷矩陣: A-B 準(zhǔn)則層指標(biāo)判斷矩陣 表3 A 1 1/2 2 1 B-C 教師教學(xué)行為判斷矩陣 表4 1 5 5 7 1/5 1 1 2 1/5 1 1 2 1/7 1/2 1/2 1； 學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的判斷矩陣 表5 1 2 1 1/2 1 1 1 1 1；3 計(jì)算各方案對(duì)總目標(biāo)的合成權(quán)重，進(jìn)行排序運(yùn)用層次分析法構(gòu)造模型的滿足一致性C,R0.1,因此，每個(gè)判斷矩陣的一致性是可以接受的。計(jì)算得各方案對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重為，歸一化后為； 結(jié)論：從這結(jié)果中看出,在中學(xué)的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)中,學(xué)生的參與

18、狀態(tài)和學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)成狀態(tài)的權(quán)重比較大,也就說(shuō)明了在中學(xué)教學(xué)中突出學(xué)生的主體地位,打破了過(guò)去以教師為主要評(píng)價(jià)對(duì)象的框框,通過(guò)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況來(lái)反應(yīng)出教師的課堂教學(xué)質(zhì)量。 運(yùn)用層次分析法,將教學(xué)評(píng)估中一些定性分析進(jìn)行量化,避免了在確定評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重過(guò)程中主觀因素過(guò)大,使評(píng)價(jià)工作變得更科學(xué)、合理、公正。4. 大學(xué)生購(gòu)買(mǎi)手機(jī)中的定量比較評(píng)價(jià)模型（一）、大學(xué)生手機(jī)購(gòu)買(mǎi)問(wèn)題的提出隨著科技的不斷進(jìn)步，經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，人們生活水平也在不斷改善和提高，消費(fèi)水平也隨之提高，其中的手機(jī)消費(fèi)也日益增長(zhǎng)。整個(gè)社會(huì)的手機(jī)普及率在不斷升高，而且使用者范圍也在不斷擴(kuò)張。與前幾年相比，手機(jī)已漸漸不再是身份的象征，也不再是大人們的專

19、用，年輕人，尤其是大學(xué)生已悄悄成為新的消費(fèi)群體。（二）、市場(chǎng)調(diào)查及資料說(shuō)明我們?cè)賹?duì)手機(jī)銷售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查，我們選擇大學(xué)生常用的八款手機(jī)的各種功能和性能指標(biāo)進(jìn)行分析，得到表6： 型號(hào)指標(biāo) 價(jià)格 功能 外觀即待機(jī)時(shí)間諾基亞6300 1580元智能手機(jī)；藍(lán)牙；直板；336小時(shí)；飛利浦768 1380元拍照；音樂(lè)；紅外；直板；300小時(shí)；摩托羅拉 ROKRE2 1450元拍照；藍(lán)牙；音樂(lè)；紅外；直板；196小時(shí)；阿爾卡特OT-S860 2000元藍(lán)牙；紅外；GSM;直板；330小時(shí)；索尼愛(ài)立信W600c 1750元藍(lán)牙；數(shù)據(jù)線；GSM;旋蓋；395小時(shí)；聯(lián)想S50 850元拍照；音樂(lè)；滑蓋；290小時(shí)；

20、多普達(dá)C750WM6.0 3680元智能；藍(lán)牙；GSM;GPRS;滑蓋；72小時(shí)；三星SGH-D848 1850元拍照；藍(lán)牙；數(shù)據(jù)線；GPRS;滑蓋；280小時(shí)； 表6將手機(jī)分4個(gè)主要方面進(jìn)行細(xì)化處理，即價(jià)格、品牌、功能和性能，每個(gè)層次按10分制進(jìn)行打分，并根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查的數(shù)據(jù)對(duì)各層次評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)加以限定：1.價(jià)格。調(diào)查數(shù)據(jù)說(shuō)明大學(xué)生對(duì)手機(jī)價(jià)格的接受能力較低，綜合考慮以600元價(jià)位定為10分，價(jià)格每增加200元減1分，2000元以上為3分。2.品牌。以市場(chǎng)占有率進(jìn)行評(píng)判，每5%為2分，累進(jìn)計(jì)算。3.功能。包括拍照、藍(lán)牙、數(shù)據(jù)線、FM、MP3、MP4、JAVA、上網(wǎng)、鈴聲、紅外等10項(xiàng)，有一項(xiàng)計(jì)1分。

21、4.性能。包括外觀、通話時(shí)間、待機(jī)時(shí)間、短信功能、號(hào)碼存儲(chǔ)量及其它性能指針，每項(xiàng)2分，根據(jù)手機(jī)具體性能指標(biāo)確定。根據(jù)表1得到8款手機(jī)功能價(jià)格性能并依照評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)我們可以對(duì)每個(gè)品牌的手機(jī)進(jìn)行分層次打分。其結(jié)果見(jiàn)表7。 價(jià)格 品牌 功能 性能諾基亞6300 4.9 7.5 9 8飛利浦768 6.1 5 8 9摩托羅拉 ROKRE2 6.8 7 8 7阿爾卡特OT-S860 3 3 8 6索尼愛(ài)立信W600c 5 6 9 8聯(lián)想S50 8.5 5 4 6多普達(dá)C750WM6.0 3 5 6 8三星SGH-D848 7 6 7 8 表（7）（三）、建立手機(jī)綜合評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型 目標(biāo)層：這一層次中只有一個(gè)元

22、素，一般它是分析問(wèn)題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層。 準(zhǔn)則層：這一層次中包含了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個(gè)層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層。 方案層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問(wèn)題的復(fù)雜程度及需要分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過(guò)9個(gè)。這是因?yàn)橹涞脑剡^(guò)多會(huì)給兩兩比較判斷帶來(lái)困難。下面就以手機(jī)購(gòu)買(mǎi)這個(gè)問(wèn)構(gòu)造遞階層次結(jié)構(gòu)。依據(jù)層次分析法，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)如下圖4： 圖42.建立了遞階層次模型后，我們要對(duì)同一層次諸因素進(jìn)

23、行兩兩比較，確定其相對(duì)重要程度通過(guò)相互比較，確定下一層各因素對(duì)上一層目標(biāo)的影響的權(quán)重，將定性的判斷定量化，即構(gòu)造因素判斷矩陣。兩兩比較的標(biāo)度方法，為了客觀地評(píng)價(jià)價(jià)格、功能、品牌、性能在手機(jī)購(gòu)買(mǎi)中的重要性程度，根據(jù)大學(xué)生手機(jī)消費(fèi)調(diào)查結(jié)果，影響購(gòu)買(mǎi)手機(jī)的重要因素：價(jià)格38%、功能22%、品牌15%、性能21%。，建立各因素成對(duì)比較矩陣。B層的比較排序，具體比較見(jiàn)下表： B層的比較序列 表8 價(jià)格 主要功能 品牌 性能 3 2 1 2 由此得到準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的判斷矩陣：表9A-B B! B2 B3 B4 W B1 1 2 3 2 0.4236 B2 1/2 1 2 1 0.2270 B3 1/3 1

24、/2 1 1/2 0.1223 B4 1/2 1 2 1 0.2270借助Matlab軟件進(jìn)行求取最大模特征根max及響應(yīng)特征向量的計(jì)算，再將所求的特征向量單位化后得到的就是因素B對(duì)目標(biāo)A相對(duì)重要性的權(quán)重，記為W。3.為了使這種比較具有客觀性，需對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，判斷矩陣的一致性指標(biāo)由下式給出：，為矩陣階數(shù)。查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。對(duì)=1，9，其數(shù)值如表4所示： 隨機(jī)判斷矩陣的一致性指標(biāo)值 表10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45計(jì)算一致性比例CR；當(dāng)CR0.10時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對(duì)判斷矩陣作適當(dāng)修正。根據(jù)表9構(gòu)造的判斷矩陣，計(jì)算相應(yīng)層次權(quán)值并作一致性檢驗(yàn)如下。由數(shù)學(xué)軟件Matlab計(jì)算得，=（0.4236 0.2270 0.1223 0.2270），=0.0035， =0.00390.1一致性比例小于0.1，判斷矩陣是可以接受的。這樣，我們就得到大學(xué)生對(duì)手機(jī)相關(guān)指標(biāo)權(quán)重系數(shù) 價(jià)格 主要功能 品牌 性能 0.4236 0.2270 0.1223 0.2270 表11至此我們?cè)俑鶕?jù)每款手機(jī)的價(jià)格、品牌、功能、性能分值及其所占權(quán)重系數(shù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的模糊綜合評(píng)判方法，即可得出大學(xué)生對(duì)每款手機(jī)總體評(píng)價(jià)值。計(jì)算方式為：價(jià)格*權(quán)重系數(shù)+品牌*權(quán)重系數(shù)+功