2011屆高考數(shù)學(一輪)復習精品學案課件：第8章 解析幾何―橢圓

1、學案6 橢圓,返回目錄,1.橢圓的定義 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓.這 叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的 .,兩個定點,焦距,考點分析,返回目錄,2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),-a,a,-b b,-b b,-a,a,x軸,y軸,原點,返回目錄,(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,(0,1),返回目錄,一動圓與已知圓O1：（x+3）2+y2=1外切，與圓O2： （x-3）2+y2=81內(nèi)切，試求動圓圓心的軌跡方程.,【分析】兩圓相切時，圓心之間的距離與兩圓

2、的半徑有關，據(jù)此可以找到動圓圓心滿足的條件.,考點一 橢圓的定義,題型分析,返回目錄,【解析】 兩定圓的圓心和半徑分別為O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9.設動圓圓心為M（x，y），半徑為R， 則由題設條件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R. |MO1|+|MO2|=10. 由橢圓的定義知，M在以O1，O2為焦點的橢圓上，且a=5，c=3. b2=a2-c2=25-9=16. 故動圓圓心的軌跡方程為 .,返回目錄,【評析】平面內(nèi)一動點與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)2a，當2a|F1F2|時，動點的軌跡是橢圓；當2a=|F1F2|時，動點的軌跡是線段F1F2；當

3、2a|F1F2|時，軌跡不存在.,對應演練,已知ABC中，A（-1，0），C（1，0），且邊a， b，c成等差數(shù)列，求頂點B的軌跡方程.,返回目錄,設B（x，y），a+c=2b， |BC|+|BA|=4. 又A，C為定點，由橢圓定義知，動點B的軌跡是 以A，C為焦點的橢圓，設其方程為 ， c=1，a=2，b2=3， 橢圓方程為 . 又A，B，C不共線，y0,即x2. 所求B點的軌跡方程為 (x2).,返回目錄,返回目錄,【分析】利用待定系數(shù)法求橢圓方程.,考點二 橢圓的標準方程,（1）已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3 倍，并且過點p(3,0),求橢圓的方程. （2）已知橢圓的中心在原

4、點，以坐標軸為對稱軸，且 經(jīng)過兩點P1（ ，1） P2（- ,- ）,求橢圓的方程.,【解析】（1）若焦點在x軸上，設方程為 （ab0）. 橢圓過P（3，0）， . 又2a=32b,a=3,b=1,方程為 . 若焦點在y軸上，設方程為 （ab0）. 橢圓過點P（3，0）， 又2a=32b,a=9,b=3. 方程為 . 所求橢圓的方程為 或 .,返回目錄,返回目錄,（2）設橢圓方程為mx2+ny2=1（m0,n0且mn）. 橢圓經(jīng)過P1，P2點，P1，P2點坐標適合橢圓方程， 6m+n=1， 3m+2n=1， m= , n= . 所求橢圓方程為,則,兩式聯(lián)立，解得,返回目錄,【評析】 運用待定系

5、數(shù)法求橢圓標準方程,即設法建立關于a，b的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時，考慮是否兩解，有時為了解題需要，橢圓方程可設為mx2+ny2=1（m0,n0,mn），由題目所給條件求出m，n即可.,返回目錄,對應演練,根據(jù)下列條件分別求橢圓的標準方程： （1）中心在原點，對稱軸為坐標軸，離心率為 ， 長軸長為8； （2）橢圓經(jīng)過點M（-2， ）和N（1，2 ）.,2a=8 a=4 c=2, 焦點可在x軸上,也可在y軸上, 所求橢圓方程為 或 .,返回目錄,(1)由已知得,b2=16-4=12.,(2)由已知可設橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0,mn). 又M(-2, )和M(1,2

6、)在橢圓上, 4m+3n=1 m+12n=1 由解之得m= ，n= . 所求橢圓方程為 .,返回目錄,返回目錄,自橢圓 (ab0)上一點M向x軸作垂線，恰 好通過橢圓的左焦點F1，且其長軸右端點A及短軸上端點 B的連線AB與OM平行. （1）求此橢圓的離心率； （2）P為橢圓上一點，F(xiàn)2為右焦點，當|PF1|PF2|取最大 值時，求點P的坐標.,【分析】本題涉及等量關系轉(zhuǎn)為不等關系，在與所求量有關的參量上作文章是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關鍵，還有離心率的求解問題，關鍵是根據(jù)題設條件獲得關于a,b,c的關系式，最后化歸為a,c（或e）的關系式，利用方程求解.,考點三 橢圓的幾何性質(zhì),返回目錄,【解析】（1）如

7、圖所示，由已知得M（-c, ）. A(a,0),B(0,b), kAB= .由kOM=kAB得b=c. b2=c2. a2-c2=c2,即a2=2c2, e= .,（2）解法一：|PF1|+|PF2|=2a, |PF1|PF2| . 當且僅當|PF1|=|PF2|時，上式取等號. 即|PF1|PF2|的最大值為a2,此時點P的坐標為(0,-b)或(0,b). 解法二：由焦半徑公式得： |PF1|PF2|=（a+ex0）(a-ex0)=a2-e2 . (x0為P的橫坐標) -ax0a,當x0=0時，|PF1|PF2|取最大值a2,此時點P的坐標為(0,-b)或(0,b).,返回目錄,返回目錄,【

8、評析】（1）求橢圓離心率的題目大致分為兩類：一類利用橢圓定義及性質(zhì)直接得出離心率e的式子（或與橢圓的統(tǒng)一定義有關） ；另一類利用條件 （題設條件）獲得關于a,b,c的關系式，最后化歸為關于a,c（或e）的關系式（關于a,c的齊次方程），再依e= 化成關于e的方程，利用方程思想求離心率. （2）求有關最值或范圍問題，一般利用橢圓的定義中|PF1|+|PF2|=2a為定值，運用均值不等式或利用焦半徑公式或利用橢圓的范圍 （有界性） 性質(zhì)轉(zhuǎn)化為不等式函數(shù)問題， 是解析幾何中解決最值或范圍問 題的常見方法.,返回目錄,對應演練,已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，F(xiàn)1PF2=60. (1)

9、求橢圓離心率的范圍； (2)求證：F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關.,設橢圓方程為 （ab0）, |PF1|=m,|PF2|=n. 在PF1F2中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60.m+n=2a, m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, 4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2. 又mn =a2(當且僅當m=n時取等號), 4a2-4c23a2, ,即e . e的取值范圍是 ,1）.,返回目錄,返回目錄,(2)證明:由(1)知mn= b2, = mnsin60= b2, 即PF1F2的面積只與短軸長有關.,返回目錄,考點四 橢圓方程與性質(zhì)的應用,如

10、圖所示，直線y=kx+b與橢圓 +y2=1交于A，B兩點，記AOB的面積為S. （1）求在k=0，0b1 的條件下，S的最大值. （2）當AB=2，S=1 時，求直線AB的方程.,【分析】由條件寫出S關于b的函數(shù)關系式，利用基 本不等式求S的最值.,返回目錄,【解析】（1）設點A的坐標為（x1，b），點B的坐標為（x2，b）， 由 +b2=1，解得x1，2=2 , 所以S= b|x1-x2| =2b =2 b2+(1-b2)=1, 當且僅當b= 時，S取得最大值1.,y=kx+b， +y2=1， （k2+ ）x2+2kbx+b2-1=0， 則=4k2-b2+1， |AB|= |x1-x2|=

11、=2. 設O到AB的距離為d，則d= =1， 又因為d= ，所以b2=k2+1， 代入式并整理，得k4-k2+ =0，,返回目錄,（2）由,得,解得k2= ，b2= ， 代入式檢驗，0, 故直線AB的方程是 y= x + ,或y= x- , 或y=- x+ ,或y=- x- .,返回目錄,【評析】圓錐曲線中的最值問題是高考中的重要題型,其解法主要有定義法、圖象法、基本不等式法、切線法等，本例是用基本不等式法解決的.,返回目錄,對應演練,已知F1，F(xiàn)2是橢圓 （ab0）的左、右焦 點，P是橢圓上一點，且F1PF2=90,求橢圓離心率 的最小值.,解法一：如圖所示，F(xiàn)1PF2=90, F1BF29

12、0, OBF245. e= =sinOBF2sin45= ,橢圓離心率的最小值為 .,返回目錄,返回目錄,解法二：利用余弦定理. F1BF290,cosF1BF2= 0 , 即a22c2,e= ， 則橢圓離心率的最小值為 . 解法三：利用基本不等式. 設|PF1|=m，|PF2|=n，m2+n2=4c2. 又2a=m+n，4a2=m2+n2+2mn2(m2+n2)=8c2,即 a22c2,e= . 則橢圓離心率的最小值為 .,返回目錄,1.橢圓上任意一點M到焦點F的所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a+c，最小距離為a-c. 2.過焦點弦的所有弦長中，垂直于長軸的弦是最短 的弦，而且它的長為 .把這個弦叫橢圓的通徑. 3.求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結(jié)合b