定解條件和定解問題

1、解決條件和解決問題包含未知函數(shù)的偏微分方程稱為偏微分方程，常微分方程可以看作是特殊的偏微分方程。 方程式的分?jǐn)?shù)為1的叫方程式，個數(shù)大于1的叫方程式。 方程式(組)中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最上位偏導(dǎo)數(shù)的次數(shù)稱為方程式(組)的次數(shù)。 當(dāng)方程(組)項對于未知函數(shù)及其各次數(shù)的整個偏導(dǎo)函數(shù)是線性的時候，方程(組)是線性的，否則是非線性的。 非線性分為半線性、偽線性、完全非線性。一、制定解條件給出常微分方程有通解和特解的概念。 通解只滿足方程式，即只滿足某個物理規(guī)律，不能完全確定物理狀態(tài)。 特別是，解除需要滿足方程式，并滿足給定條件。 對于偏微分方程式也同樣，換言之，僅用偏微分方程式不足以決定物理量的空間和時間

2、的變化規(guī)律。 這是因為在特定的情況下，該物理量與其初始狀態(tài)和邊界上的制約有關(guān)。 描述了初始時刻的物理狀態(tài)和邊界的限制，在數(shù)學(xué)上分別稱為初始條件(或初始值條件)和邊界條件(或邊緣值條件)，將它們總稱為解條件。初始條件：能說明某一特定物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)的條件，即說明物理過程的初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)條件。邊界條件：可以用于描述特定物理現(xiàn)象邊界的約束條件，即描述物理過程的邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)條件。定解條件：初始條件和邊界條件的總稱。瞬態(tài)問題：決定解的條件包括初始條件和邊界條件。穩(wěn)態(tài)問題：以解的條件為邊界條件。1、弦振動方程式()初始條件是初始時刻()的弦的位移和速度。 表示弦上任意點的初始位移和初始速度，初始條件如

3、下邊界條件是弦兩端的約束，通常有三種類型。(1)在第一種邊界條件(Dirichlet邊界條件) :端點處的弦的位移是已知的情況下，邊界條件如下或者當(dāng)時顯示弦在那一點上是固定的。(2)第二類邊界條件(諾伊曼邊界條件):已知的端點弦垂直于弦線的外力或邊界條件如下或者表示弦在端點處自由滑動。(3)第三類邊界條件(混合邊界條件或羅賓(Robin )邊界條件：已知端點處弦的位移和與弦垂直的外力之和；或者，其中表示兩端支撐的彈性系數(shù)，表示此時弦在該端點固定在一個彈性支撐上。2 .熱傳導(dǎo)方程式(初始條件是指初始時刻物體內(nèi)的溫度分布。式中(x，y，z )是已知的函數(shù)，表示初始時刻的溫度分布。邊界條件是指邊界上

4、的溫度受周圍介質(zhì)的影響的情況，分為三種。(1)第一種邊界條件：介質(zhì)表面溫度已知式中，p是邊界面上的點。(2)第二種邊界條件：通過介質(zhì)表面的每單位面積的熱流量得知。(3)第三類邊界條件：已知界面和周圍空間的熱交換規(guī)則從熱守恒定律可以看出，這種熱等于單位時間內(nèi)流過單位面積的熱。3、電位方程式(泊松方程式或拉普拉斯方程式)在穩(wěn)態(tài)問題中，變量不隨時間變化。 決定解的條件不包含初始條件，只有邊界條件。第一邊值問題、狄利克雷問題(狄利問題)第二邊值問題，牛人問題第三邊值問題(混合問題)魯賓問題二、解決問題一個方程式符合以上的解條件，就構(gòu)成了解問題。 關(guān)于定解問題，通常根據(jù)定解條件的不同，有以下三種提取方法

5、偏微分方程(泛定方程式)的初始條件邊界條件被稱為初始邊值問題或混合問題偏微分方程(泛定方程式)的初始條件被稱為初始值問題或柯西問題偏微分方程(泛定方程)的邊界條件被稱為邊緣值問題。在偏微分方程式的解的問題上，把未知函數(shù)及其不包含偏微分的項稱為自由項。 如果方程式的自由項為零，則方程式稱為齊次方程式，否則稱為非齊次方程式。 如果邊界條件的自由項目為零，則邊界條件稱為二次邊界條件，否則稱為非二次邊界條件。 例如，在弦振動方程式中，當(dāng)外力為零時，方程式成為下式，此時，也稱為弦的自由振動方程式，在弦的兩端被固定的情況下，邊界條件是二次邊界條件.三、例題1、長度為l的弦，兩端固定為0和l。 在中點位置，把弦在橫向上離開距離h，如圖所示，手離開振動，嘗試寫出初始條件。lx二分之一h解：第一個時刻是放手的瞬間，在問題的意義上，第一個速度是零，也就是說初始位移2、長度為