河北省隆化縣存瑞中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(1)（通用）

1、存瑞中學(xué)2020學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)（理）試題（存瑞部）一選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分每小題中只有一項(xiàng)符合題目要求)1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B2.已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則的值為（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A3.孫子算經(jīng)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆.問: 五人各得幾何?”其意思為: 有5個人分60個橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問5人各得多少個橘子.這個問題中，得到橘子最多的人所得的橘子個數(shù)是（ ）A. 15 B. 16 C. 18 D. 21

2、【答案】C4.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B5.執(zhí)行如圖所示的的程序框圖，則輸出的( )A. 4 B. C. 5 D. 6【答案】B6.某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說法中錯誤的是A. 至月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同B. 支出最高值與支出最低值的比是 C. 第三季度平均收入為萬元D. 利潤最高的月份是月份【答案】D7.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的四項(xiàng)參賽作品，只評一項(xiàng)一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測如下: 甲說:“或作品獲得一等獎”； 乙說:“作品獲得一等獎”；丙說:“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎”； 丁說:“作品獲得

3、一等獎”.若這四位同學(xué)只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是（ ）A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品8.某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C9.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若,則拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】A10.若函數(shù) 滿足 且的最小值為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 11.定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的實(shí)數(shù)都有，且，。則的值為（）A. 2020 B. 1010 C. 1008 D. 2【答案】B12.已知雙曲線 在左，右焦點(diǎn)分別為，以為圓心，以為半徑

4、的圓與該雙曲線的兩條漸近線在軸左側(cè)交于兩點(diǎn)，且是等邊三角形.則雙曲線的離心率為（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13.二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_【答案】14.若滿足約束條件，則的取值范圍是_【答案】15.已知向量與的夾角為，且，若，且,則實(shí)數(shù)的值為_【答案】16.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_【答案】三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且 .(1)求角的大小:(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且,求的值的值解：（1）在中，由正弦定理得 ，則，（2）在中，由

5、余弦定理得 ，在中，由余弦定理得 ， ，整理得，由正弦定理得18.如圖，四棱錐中，底面為梯形，.是的中點(diǎn)，底面，在平面上的正投影為點(diǎn)，延長交于點(diǎn).(1)求證：為中點(diǎn)；(2)若，在棱上確定一點(diǎn)，使得平面，并求出與面所成角的正弦值.解：(1)連結(jié)，是中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，平面，平面，在平面的正投影為，平面，又，平面，又，是的中點(diǎn).(2)，平面，以為原點(diǎn)，分別為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，是的外心，是的重心，設(shè)，又是平面的一個法向量，且平面，解得，設(shè)是平面的法向量，即，取，則，直線與平面所成角的正弦值為.19.從甲、乙兩種棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位: ) 組成一個樣本，且將纖維長度

6、超過315的棉花定為一級棉花.設(shè)計(jì)了如下莖葉圖:(1)根據(jù)以上莖葉圖，對甲、乙兩種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個統(tǒng)計(jì)結(jié)論（不必計(jì)算）；(2)從樣本中隨機(jī)抽取甲、乙兩種棉花各2根，求其中恰有3根一級棉花的概率；(3)用樣本估計(jì)總體，將樣本頻率視為概率，現(xiàn)從甲、乙兩種棉花中各隨機(jī)抽取1根，求其中一級棉花根數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望解：(1) 1.乙種棉花的纖維平均長度大于甲種棉花的纖維平均長度(或:乙種棉花的纖維長度普遍大于甲種棉花的纖維長度).2.甲種棉花的纖維長度較乙種棉花的纖維長度更分散.(或:乙種棉花的纖維長度較甲種棉花的纖維長度更集中(穩(wěn)定)，甲種棉花的纖維長度的分散程度比乙種棉花的纖維長度

7、的分散程度更大.)3.甲種棉花的纖維長度的中位數(shù)為307.乙種棉花的纖維長度的中位數(shù)為318.4.乙種棉花的纖維長度基本上是對稱的，而且大多集中在中間(均值附近).甲種棉花的纖維長度除一個特殊值(352) 外，也大致對稱，其分布較均勻.(2) 記事件為“從樣本中隨機(jī)抽取甲、乙兩種棉花各2根，其中恰有3根一級棉花”.則 (3) 由題意知，的可能取值是0,1,2,其相應(yīng)的概率為, ,所以的分布列為012 20.已知橢圓 的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,為橢圓上一點(diǎn)，滿足且(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(2) 設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，求的取值范圍.解：（1）由題意設(shè)，則，又，在 中，由余弦定理得， ，解得，所求

8、橢圓方程為（2）聯(lián)立方程，消去得 ，則 ，且設(shè)的中心為，則 ，,即， ，解得把代入得，整理得，即解得21.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為(1) 求的值；(2) 證明: .【答案】（1）；（2）見解析詳解：（1）解：，由題意有，解得（2）證明：（方法一）由（1）知，.設(shè)則只需證明 ，設(shè)則， 在上單調(diào)遞增，使得且當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減當(dāng)時，單調(diào)遞增 ，由，得， ，設(shè)， 當(dāng)時，在單調(diào)遞減， ，因此（方法二）先證當(dāng)時， ，即證設(shè)，則，且， 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，則當(dāng)時，（也可直接分析 顯然成立）再證設(shè)，則，令，得且當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增. ，即又，22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，過點(diǎn)的直線