福建省長泰一中高考數(shù)學一輪復習《直線與圓錐曲線的位置關(guān)系》學案（通用）

1、基礎(chǔ)過關(guān)第4課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系3中點弦問題：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓上不同的兩點，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)為AB的中點，則 兩式相減可得即 對于雙曲線、拋物線，可得類似的結(jié)論典型例題例1. 直線yax1與雙曲線3x2y21相交于A、B兩點(1) 當a為何值時，A、B兩點在雙曲線的同一支上？當a為何值時，A、B兩點分別在雙曲線的兩支上？(2) 當a為何值時，以AB為直徑的圓過原點？解： 消去y(1) 聯(lián)立 (3a2)x22ax20 顯然a23，否則方程只有一解，于是直線與雙曲線至多一個交點若交點A、B在雙曲線同支上，則方程滿足：a(，)(，)若A、B

2、分別在雙曲線的兩支上，則有：a(，)(2) 若以AB為直徑的圓過點O，則OAOB，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1x2，x1x2y1y2(ax11)(ax21)a(x1x2)a2x1x21a2a11OAOB x1x2y1y20 1a1此時直線與曲線相切，恰有一個公共點，綜上所述知，當a0，1，時，直線與曲線只有一個公共點例2. 已知雙曲線方程2x2y22.(1) 求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在直線方程；(2) 過點B(1,1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于Q1、Q2兩點，且點B是弦Q1Q2的中點？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由解：(1)即設(shè)的中

3、點弦兩端點為，則有關(guān)系又據(jù)對稱性知，所以是中點弦所在直線的斜率，由、在雙曲線上，則有關(guān)系兩式相減是： 所求中點弦所在直線為，即(2)可假定直線存在，而求出的方程為，即方法同(1)，聯(lián)立方程，消去y,得然而方程的判別式，無實根，因此直線與雙曲線無交點，這一矛盾說明了滿足條件的直線不存在變式訓練2：若橢圓的弦被點（4，2）平分，則此弦所在直線的斜率為（ ）A2 B2 C D 解：D例3. 在拋物線y24x上恒有兩點關(guān)于直線ykx3對稱，求k的取值范圍解法一：設(shè)、關(guān)于直線對稱，直線方程為，代入得，設(shè)、，中點，則 點在直線上，代入，得，即解得解法二：設(shè)，關(guān)于對稱，中點，則相減得：，則 在拋物線內(nèi)部，化

4、簡而得，即，解得變式訓練3：設(shè)拋物線的焦點為F，經(jīng)過點P（2，1）的直線l與拋物線相交于A、B兩點，又知點P恰為AB的中點，則 .解：8例4. 已知橢圓1(a為常數(shù)，且a1)，向量(1, t) (t 0)，過點A(a, 0)且以為方向向量的直線與橢圓交于點B，直線BO交橢圓于點C（O為坐標原點）(1) 求t表示ABC的面積S( t )；(2) 若a2，t, 1，求S( t )的最大值CAOBxy解：(1) 直線AB的方程為：yt(xa)，由 得 y0或y 點B的縱坐標為 S(t)SABC2SAOB|OA|yB(2) 當a2時，S(t) t，1， 4t24當且僅當4t，t時，上式等號成立. S(

5、t)2即S(t)的最大值S(t)max2變式訓練4：設(shè)橢圓C：的左焦點為F，上頂點為A，過點A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點P，交x軸正半軸于點Q， 且 （1）求橢圓C的離心率； （2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l： APQFOxy相切，求橢圓C的方程. 解：設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知2分設(shè)，得因為點P在橢圓上，所以整理得2b2=3ac，即2（a2c2）=3ac，,故橢圓的離心率e由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a所以，解得a=2，c=1，b=，小結(jié)歸納所求橢圓方程為小結(jié)歸納1判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，注意數(shù)形結(jié)合；用判別式的方法時，若所得方程二次項的系數(shù)有參數(shù)，則需考慮二次項系數(shù)為零的情況2涉及中點弦的問題有兩種常用方法：一是“設(shè)而不求”的方法，利用端點在曲線