遼寧省朝陽(yáng)市重點(diǎn)高中2020屆高三數(shù)學(xué)第四次模擬考試試題 理（含解析）（通用）

1、遼寧省2020年朝陽(yáng)市重點(diǎn)高中高三第四次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.2.已知集合，若，則由實(shí)數(shù)的所有可能的取值組成的集合為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分為空集和不為空集兩種情況討論，分別求出的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，若為空集，則方程無(wú)解，解得；若不為空集，則；由解得

2、，所以或，解得或，綜上，由實(shí)數(shù)的所有可能的取值組成的集合為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查由集合間的關(guān)系求參數(shù)的問(wèn)題，熟記集合間的關(guān)系即可，屬于基礎(chǔ)題型.3.已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為，為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（ ）A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】先由函數(shù)的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為，得到周期，求出，再由平移原則，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，因此，所以，因此，為了得到函數(shù)圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查

3、三角函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的平移問(wèn)題，熟記三角函數(shù)的平移原則即可，屬于?？碱}型.4.已知圓的方程為，點(diǎn)在直線上，則圓心到點(diǎn)的最小距離為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，求出圓心到直線的距離，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A的方程為，所以其圓心坐標(biāo)為，又在直線上，所以求圓心到點(diǎn)的最小距離，即是求圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線距離公式可得：.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心到直線上一點(diǎn)距離的最值問(wèn)題，熟記點(diǎn)到直線距離公式即可，屬于?？碱}型.5.在等比數(shù)列中，則（ ）A. 3B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先設(shè)等比數(shù)列的公

4、比為，根據(jù)題中條件判斷公比為正，再由等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，又，所?故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，熟記等比數(shù)列性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.6.甲，乙，丙，丁四名學(xué)生，僅有一人閱讀了語(yǔ)文老師推薦的一篇文章.當(dāng)它們被問(wèn)到誰(shuí)閱讀了該篇文章時(shí)，甲說(shuō)：“丙或丁閱讀了”；乙說(shuō)：“丙閱讀了”；丙說(shuō)：“甲和丁都沒(méi)有閱讀”；丁說(shuō)：“乙閱讀了”.假設(shè)這四名學(xué)生中只有兩人說(shuō)的是對(duì)的，那么讀了該篇文章的學(xué)生是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】分別假設(shè)甲閱讀，乙閱讀，丙閱讀，丁閱讀，結(jié)合題中條件，即可判斷出結(jié)果.【詳解】若甲閱讀了語(yǔ)文

5、老師推薦的文章，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都不對(duì)，不滿足題意；若乙閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章，則甲、乙說(shuō)的都不對(duì)，丙、丁都正確；滿足題意；若丙閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章，則甲、乙、丙說(shuō)的都對(duì)，丁說(shuō)的不對(duì)，不滿足題意；若丁閱讀了語(yǔ)文老師推薦的文章，則甲說(shuō)的對(duì)，乙、丙、丁說(shuō)的都不對(duì)，不滿足題意；故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查邏輯推理的問(wèn)題，推理案例是?？純?nèi)容，屬于基礎(chǔ)題型.7.已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，若，則或與相交；故A錯(cuò)；B選項(xiàng)

6、，若，則，又，是兩個(gè)不重合的平面，則，故B正確；C選項(xiàng)，若，則或或與相交，又，是兩個(gè)不重合的平面，則或與相交；故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，則或或與相交，又，是兩個(gè)不重合的平面，則或與相交；故D錯(cuò)；故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題，熟記線線、線面位置關(guān)系，即可求解，屬于常考題型.8.已知函數(shù)（表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)），若函數(shù)的零點(diǎn)為，則（ ）A. B. -2C. D. 【答案】B【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，確定的大致范圍，求出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以在上恒成立，即函?shù)在上單調(diào)遞增；又，所以在上必然存在零點(diǎn)，即，因此，所以.故選B【

7、點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)的零點(diǎn)，熟記導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，以及零點(diǎn)的存在性定理即可，屬于?？碱}型.9.一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)班級(jí)的學(xué)生學(xué)號(hào)是從1 開(kāi)始的連續(xù)正整數(shù)，在一次課上，老師隨機(jī)叫起班上8名學(xué)生，記錄下他們的學(xué)號(hào)是：3、21、17、19、36、8、32、24，則該班學(xué)生總數(shù)最可能為（ ）A. 39人B. 49人C. 59人D. 超過(guò)59人【答案】A【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都是均等的，得到每十個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)也是均等的，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可估計(jì)出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都是均等的，所以，.，每組抽取的人數(shù)，理論上應(yīng)均等；又所抽

8、取的學(xué)生的學(xué)號(hào)按從小到大順序排列為3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使，四組中各有兩個(gè)，因此該班學(xué)生總數(shù)應(yīng)為40左右；故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，熟記隨機(jī)抽樣的特征即可，屬于基礎(chǔ)題型.10.已知為等邊三角形所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，若，則（ ）A. B. 3C. 6D. 與有關(guān)數(shù)值【答案】C【解析】【分析】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖像，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖：以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，因?yàn)闉榈冗吶切嗡谄矫鎯?nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，所

9、以點(diǎn)在直線，所以在方向上的投影為，因此.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，通?？捎米鴺?biāo)系的方法處理，熟記向量數(shù)量積的幾何意義與運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.11.已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由題意得到，不妨令在第一象限內(nèi)，再得到為等邊三角形，求出，結(jié)合雙曲線的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，所以，不妨令在第一象限內(nèi)，又為中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以為等邊三角形，所以，因此，在中，由雙曲線的定義可得：，所以雙曲線的離心

10、率為.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及雙曲線的定義即可，屬于?？碱}型.12.已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先令，根據(jù)題中條件得到在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立；令，用導(dǎo)數(shù)的方法求出最小值，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，因?yàn)閷?duì)任意，都有成立，所以在上恒成立；即在上恒成立；即在上恒成立；令，則，由得，解得（舍）或，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ灾恍?，解?故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的問(wèn)題，通常需要用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性

11、、最值等，屬于?？碱}型.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，則_【答案】【解析】【分析】先由得到的最小正周期為2，再由函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合題中解析式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闈M足，所以，因此的最小正周期為2；又是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性與周期性的應(yīng)用，熟記函數(shù)的奇偶性與周期性即可，屬于常考題型.14.設(shè)，則_【答案】【解析】【分析】分別令和，得到兩式，兩式相加，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，令得，令得，兩式相加得，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，用賦值法處理即

12、可，屬于?？碱}型.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且的面積為，則最小值為_(kāi)【答案】48【解析】【分析】根據(jù)條件和余弦定理，求得，進(jìn)而可得。結(jié)合三角形面積公式，可得，代入條件式可得 的關(guān)系，結(jié)合不等式即可求得的最小值。【詳解】在中，結(jié)合余弦定理可得 所以由三角形面積公式，可得代入化簡(jiǎn)可得 代入中可得因?yàn)樗越獠坏仁娇傻盟宰钚≈禐椤军c(diǎn)睛】本題考查了余弦定理及三角形面積公式，不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題。16.已知邊長(zhǎng)為的空間四邊形的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若，二面角的余弦值為，則該球的體積為_(kāi)【答案】【解析】【分析】先由題意得到與均為等邊三角形，取中點(diǎn)，連結(jié)，在，上分別取，使得，得到分別為

13、與外接圓圓心，記空間四邊形外接球球心為，得到平面，平面，再由題中數(shù)據(jù)，結(jié)合二倍角公式、勾股定理以及球的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榭臻g四邊形的各邊長(zhǎng)均為，又，所以與均為等邊三角形；取中點(diǎn)，連結(jié)，在，上分別取，使得，則分別為與外接圓圓心，記空間四邊形外接球球心為，則平面，平面；因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?，由題意，所以，因?yàn)椋?，因此空間四邊形外接球半徑為所以，該球的體積為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體外接球的體積，熟記球的體積公式，結(jié)合題中條件即可求解，屬于常考題型.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿

14、足，且成等比數(shù)列.（1）求及；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1) 或；或；（2）或；【解析】【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，結(jié)合公式即可求出結(jié)果；（2）先由（1）得到，再由錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，且成等比?shù)列，所以有，即，解得或，；所以或；或；（2）由（1）可得，若，則，因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，所以，因此，兩式作差得，整理得；若，則，則；綜上，或.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列，以及數(shù)列的求和，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和即可，屬于?？碱}型.18.國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試專家組到

15、某學(xué)校進(jìn)行測(cè)試抽查，在高三年級(jí)隨機(jī)抽取100名男生參加實(shí)心球投擲測(cè)試，測(cè)得實(shí)心球投擲距離（均在5至15米之內(nèi)）的頻數(shù)分布表如下（單位：米）：分組頻數(shù)102240208以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率.（1）根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為實(shí)心球投擲距離近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，若規(guī)定：時(shí)，測(cè)試成績(jī)?yōu)椤傲己谩保?qǐng)估算該校高三年級(jí)男生實(shí)心球投擲測(cè)試成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡陌俜直?；?）現(xiàn)在從實(shí)心球投擲距離在，之內(nèi)的男生中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人參加提高體能的訓(xùn)練，在被抽取的3人中，記實(shí)心球投擲距離在內(nèi)的人數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.附：

16、若服從，則，.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)詳解，期望為【解析】【分析】（1）先由頻數(shù)分布表求出樣本均值，再結(jié)合正態(tài)分布的特征，根據(jù)附表中的概率求解，即可得出結(jié)果；（2）先用分層抽樣的方法確定每組所抽的人數(shù)，得到的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得出分布列與期望.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可得：；又，所以；所以該校高三年級(jí)男生實(shí)心球投擲測(cè)試成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡陌俜直葹椋唬?）因?yàn)橥稊S距離在，之內(nèi)的男生共50人，且人數(shù)之比為，又兩組共抽取5人，所以投擲距離在的有1人，投擲距離在的有4人，先從這5人中隨機(jī)抽取3人參加提高體能的訓(xùn)練，在被抽取的3人中，記實(shí)心球投擲距離在內(nèi)的人數(shù)為，則的可能取值為；所以；

17、因此的分布列為：期望【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布，以及超幾何分布，熟記正態(tài)分布的特征，以及超幾何分布的分布列與期望的計(jì)算方法即可，屬于?？碱}型.19.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且軸，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先求出，再由離心率求出，根據(jù)求出，即可得出橢圓方程；（2）先設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理與，以及判別式大于0，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)闉闄E圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且軸，所以；又橢圓的離心率為，所以，因此，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，由得 ，所以

18、，故，由，得，即，整理得，解得；又因，整理得，解得或；綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系求參數(shù)的問(wèn)題，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，判別式等求解，屬于?？碱}型.20.在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上且滿足，已知使得異面直線與所成角的余弦值為的有兩個(gè)不同的值.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】先取中點(diǎn)，連結(jié)，根據(jù)題意證明，兩兩垂直；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由得到的坐標(biāo)；（1）用向量的方法，結(jié)合題意得到，求出的值，即

19、可得出結(jié)果；（2）由（1）得到，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)題意，再得到為平面的一個(gè)法向量，求兩法向量夾角余弦值，即可得出結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形，所以，；又，所以，；因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以，兩兩垂直；以為坐?biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，；因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，又點(diǎn)在棱上且滿足，所以，即；所以；（1）因?yàn)?，又異面直線與所成角的余弦值為所以，即，整理得，解得或；因?yàn)?，所以，；?）由（1）可得，則，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有即，令，則，即，又平面，即平面，所以為平面的一個(gè)法向量；所以.由圖像易知，二面角銳二面角，所以二

20、面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查由異面直線所成的角求其它的量，以及求二面角的問(wèn)題，靈活掌握空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最大值.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別討論和，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得到，對(duì)化簡(jiǎn)整理，再令，得到，根據(jù)（1）和求出的范圍，再令，用導(dǎo)數(shù)的方法求其最大值，即可得出結(jié)果.詳解】（1）由得；因?yàn)?，所以；因此，?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，解得或；由得；所以在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（1）可得， 是方程的兩不等實(shí)根，所以，因此，令，則；由（1）可知，當(dāng)時(shí)，所以，令，則在上恒成立；所以在上單調(diào)遞減，故.即的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、