2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（山東卷含解析）（通用）

1、絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的.（1）設(shè)函數(shù)的定義域A，函數(shù)的定義域?yàn)锽,則（A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）-2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故，選D.（2）已知,i是虛數(shù)單位，若，則a=（A）1或-1 （B） （C）- （D）【答案】A【解析】由得，所以，故選A.（3）已知命題p:；命題q：若ab，則，下列命題為真命題的是（A） （B） （C） （D）【答案】B（4）已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是（A）0 （B） 2 （

2、C） 5 （D）6【答案】C【解析】由畫出可行域及直線如圖所示，平移發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其經(jīng)過直線與的交點(diǎn)時(shí)，最大為，選C.（5）為了研究某班學(xué)生的腳長（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為已知，該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】 ,選C.（6）執(zhí)行兩次右圖所示的程序框圖，若第一次輸入的的值為，第二次輸入的的值為，則第一次、第二次輸出的的值分別為（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0【答案】D【解析】第一次 ；第二次，選D.（7）若，且，則

3、下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】 ，所以選B.（8）從分別標(biāo)有，的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】 ,選C.（9）在中，角，的對邊分別為，若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】 所以，選A.（10）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） （B）（C） （D）【答案】B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分（11）已知的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是，則 .【答案】【解析】，令得：

4、，解得（12）已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是 .【答案】【解析】，解得：(13)由一個(gè)長方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積為 .【答案】【解析】該幾何體的體積為（14）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為 .【答案】（15）若函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為 .【答案】【解析】在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)；在上單調(diào)遞減，故不具有性質(zhì)；，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不具有性質(zhì)；，令，則，在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)三、

5、解答題：本大題共6小題，共75分。16.設(shè)函數(shù)，其中.已知.（）求；（）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.【答案】（）.（）得最小值.（）由（）得所以.因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最小值.17.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點(diǎn).（）設(shè)是上的一點(diǎn)，且，求的大??；（）當(dāng)，求二面角的大小.【答案】（）.（）.【解析】解：（）因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，又，因此（）解法一：取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)?，所以四邊形為菱形，解法二：以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線

6、為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意得，故，設(shè)是平面的一個(gè)法向量.由可得取，可得平面的一個(gè)法向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量.由可得取，可得平面的一個(gè)法向量.所以.因此所求的角為.（18）（本小題滿分12分）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙中心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示。（I）求接受甲種心理暗示的志愿

7、者中包含A1但不包含B3的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX?！敬鸢浮浚↖）(II)X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是.【解析】解：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：0,1,2,3,4.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是=（19）（本小題滿分12分）已知xn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；（）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2Pn+

8、1，求由該折線與直線y=0，x=xi（xxn）所圍成的區(qū)域的面積.【答案】(I)（II）【解析】解：(I)設(shè)數(shù)列的公比為q，由已知q0.由題意得，所以，因?yàn)閝0,所以，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為-得= 所以（20）（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值.【答案】（）.（）綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，極小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是極小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，

9、也有極小值， 極大值是；極小值是.【解析】解：（）由題意又，所以，因此 曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即 .（）由題意得 ，因?yàn)?，令則所以在上單調(diào)遞增.所以 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， (2)當(dāng)時(shí)，由 得 ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以 當(dāng)時(shí)取得極大值.極大值為，當(dāng)時(shí)取到極小值，極小值是 ；當(dāng)時(shí)，所以 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；極小值是.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，極小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是極小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是；極小值是.（21）（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（）求橢圓的方程；（）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.【答案】（I）.（）的最大值為，取得最大值時(shí)直線的