云南省2020屆高三數(shù)學(xué)第一次高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測試題 文（含解析）（通用）

1、云南省2020屆高三數(shù)學(xué)第一次高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測試題 文（含解析）一、選擇題：本大共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，則的真子集共有（ ）A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)【答案】B【解析】【分析】先求得兩個(gè)集合的交集，然后計(jì)算出真子集的個(gè)數(shù).【詳解】依題意，其真子集為，只有一個(gè)真子集，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)集合交集的運(yùn)算，考查真子集的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.2.已知為虛數(shù)單位，則（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，對題目所給表達(dá)式進(jìn)行化簡.【詳解】依題意，原式，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法

2、運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題. 求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即的形式，再根據(jù)題意求解.3.某學(xué)校為了了解高一年級、高二年級、高三年級這三個(gè)年級的學(xué)生對學(xué)校有關(guān)課外活動內(nèi)容與時(shí)間安排的意見，擬從這三個(gè)年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是（）A. 抽簽法B. 隨機(jī)數(shù)法C. 分層抽樣法D. 系統(tǒng)抽樣法【答案】C【解析】【分析】根據(jù)抽樣方法適用的情形，結(jié)合題意，選出正確選項(xiàng).【詳解】由于研究對象是三個(gè)年級學(xué)生的意見，故應(yīng)按分層抽樣法來抽取

3、，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查抽樣方法的選擇，考查分層抽樣的適用情況，屬于基礎(chǔ)題.4.已知點(diǎn)，若向量，則向量（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】先求得，然后利用向量的減法運(yùn)算求得.【詳解】依題意，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量的減法運(yùn)算，考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值等于（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】運(yùn)行程序，計(jì)算的值，當(dāng)時(shí)退出循環(huán)，求得輸出的值.【詳解】運(yùn)行程序，判斷否，判斷否，判斷否，以此類推，判斷是，輸出.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查計(jì)算循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖輸出的結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形

4、的邊長為1（單位mm），粗實(shí)線畫出的是某種零件的三視圖，則該零件的體積（單位：）為（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體是由一個(gè)圓柱和一個(gè)長方體構(gòu)成，由此計(jì)算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱和一個(gè)長方體構(gòu)成，故體積為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查圓柱和長方體體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7.為得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）A. 向左平行移動個(gè)單位B. 向右平行移動個(gè)單位C. 向左平行移動個(gè)單位D. 向右平行移動個(gè)單位【答案】D【解析】【分析】利用計(jì)算出項(xiàng)右平移的單位.【詳解】依題意向右平移個(gè)單位，得到的圖像.【

5、點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像變換，主要是平移變換，屬于基礎(chǔ)題.8.已知，都為銳角，若，則的值是（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用求得，由此求得的表達(dá)式，利用誘導(dǎo)公式化簡，并利用齊次方程計(jì)算出的值.【詳解】由于，所以，所以.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦函數(shù)的零點(diǎn)，考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及齊次方程，屬于中檔題.9.已知是拋物線：上的任意一點(diǎn)，以為圓心的圓與直線相切且經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)斜率為1的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求得拋物線的方程，設(shè)出斜率為的直線的方程，聯(lián)立直線的方程

6、和拋物線方程，消去，然后利用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的縱坐標(biāo).【詳解】由于為圓心的圓與直線相切且經(jīng)過點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知為拋物線的焦點(diǎn)，故，所以拋物線方程為.設(shè)斜率為的直線的方程為，則，代入拋物線方程得，即，所以，.即中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.10.已知函數(shù)，若，則（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】通過分析后將代入函數(shù)第二段表達(dá)式，解方程求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于，而，故，所以.故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查指數(shù)函數(shù)的值域，考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11.雙曲線的焦點(diǎn)是，若雙曲線

7、上存在點(diǎn)，使是有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形，則的離心率是（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，化簡后求得離心率.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由于是有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形，故，代入雙曲線方程得，化簡得，解得，故.所以選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查等腰三角形的知識，屬于基礎(chǔ)題.12.已知是自然對數(shù)的底數(shù)，不等于1的兩正數(shù)，滿足，若，則的最小值為（ ）A. -1B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算公式，化簡，求得的值，由此求得的關(guān)系式，化簡，并利用導(dǎo)數(shù)求得最小值.【詳解】依題意，即，由于，故

8、上式解得，即.所以.構(gòu)造函數(shù)（為不等于的正數(shù)）.，故函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以最小值為.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對數(shù)運(yùn)算，考查利用導(dǎo)數(shù)求表達(dá)式的最小值的方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題。13.設(shè)向量，若則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于，故，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算求解能，屬于基礎(chǔ)題.14.若，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值等于_【答案】2【解析】【分析】畫出可行域，通過向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖

9、所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，且最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫出可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.15.已知中內(nèi)角對的邊分別為，平分交于點(diǎn)，則面積的最小值為_【答案】【解析】【分析】利用列方程，求得的關(guān)系式，然后利用基本不等式求得的最小值，進(jìn)而求得面積的最小值.【詳解】由于，故，化簡得，故，故三角形面積.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角形的面積公式，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題.1

10、6.已知，是球的球面上的五個(gè)點(diǎn)，四邊形為梯形，,平面平面，則球的表面積為_.【答案】【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，證明是球的球心，由此求得球的半徑，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)為，作出圖像如下圖所示，由于，,平面平面,所以,平面，故.由于，所以，.所以，故點(diǎn)到的距離相等，所以為球心，且球的半徑為，故表面積為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球球心的位置的求法，考查球的表面積公式，屬于中檔題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.數(shù)列中，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，中的一個(gè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，若，求的取值范圍【答案】（1），（2），且

11、是正整數(shù)【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，分別令和，求得的值.（2）根據(jù)判斷出數(shù)列的通項(xiàng)公式為，利用裂項(xiàng)求和法求得的值，利用累加法求得的值，根據(jù)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1），（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式是，中的一個(gè)，和得數(shù)列的通項(xiàng)公式是由可得，即由，得，解得或是正整數(shù)，所求的取值范圍為，且是正整數(shù)【點(diǎn)睛】本小題主要考查遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法，考查累加法，屬于中檔題.18.為降低汽車尾氣排放量，某工廠設(shè)計(jì)制造了、兩種不同型號的節(jié)排器，規(guī)定性能質(zhì)量評分在的為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的、兩種型號的節(jié)排器中，分別隨機(jī)抽取500件產(chǎn)品進(jìn)行性能質(zhì)量評分，并將評分分別分成以下六個(gè)組；，

12、繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）設(shè)500件型產(chǎn)品性能質(zhì)量評分的中位數(shù)為，直接寫出所在的分組區(qū)間；（2）請完成下面的列聯(lián)表（單位：件）（把有關(guān)結(jié)果直接填入下面的表格中）； 型節(jié)排器型節(jié)排器總計(jì)優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品總計(jì)5005001000（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為、兩種不同型號的節(jié)排器性能質(zhì)量有差異？附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.828【答案】（1）（2）見解析（3）有的把握認(rèn)為兩種不同型號的節(jié)排器性能質(zhì)量有差異.【解析】【分析】（1）中位數(shù)左邊和右邊的頻率各占一半，由此判斷出中位數(shù)所在區(qū)間是.（2）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好聯(lián)表.（2）計(jì)算的值，

13、由此判斷出有的把握認(rèn)為兩種不同型號的節(jié)排器性能質(zhì)量有差異.【詳解】解：（1）；（2）列聯(lián)表如下：A型節(jié)排器B型節(jié)排器總計(jì)優(yōu)質(zhì)品180140320非優(yōu)質(zhì)品320360680總計(jì)5005001000（3）由于所以有的把握認(rèn)為兩種不同型號的節(jié)排器性能質(zhì)量有差異.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由頻率分布直方圖判斷中位數(shù)的位置，考查列聯(lián)表及獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.19.在四棱錐中，四邊形為菱形，且，分別為棱的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若平面，求點(diǎn)到平面的距離【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，由此證得平面.（2）利用等體積法，通過列方程，解方程

14、求得到平面的距離.【詳解】（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接分別是的中點(diǎn)，且由已知得且且四邊形是平行四邊形平面，平面平面（2）解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為由平面得點(diǎn)到平面的距離也為連接，平面，由題設(shè)得，在中，由已知得，由，得點(diǎn)到平面的距離為【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線平行的證明，考查利用等體積法求點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題.20.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)都在軸上，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，的面積的最大值為，在軸上方使成立的點(diǎn)只有一個(gè)（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的兩直線分別與橢圓交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，求證：【答案】（1）（2）見證明【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件判斷出是短軸的端點(diǎn)，根據(jù)三角形面積、以及列方程

15、組，解方程組求得橢圓的方程.（2）先證得直線的斜率為或不存在時(shí)，等式成立.當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長公式計(jì)算出的長，進(jìn)而證得等式成立.【詳解】（1）解：根據(jù)已知設(shè)橢圓的方程為，在軸上方使成立的點(diǎn)只有一個(gè)，在軸上方使成立的點(diǎn)是橢圓的短軸的端點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)是短軸的端點(diǎn)時(shí)，由已知得解得橢圓的方程為（2）證明：若直線的斜率為0或不存在時(shí)，且或且，此時(shí)，若直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)由，得設(shè)，則，于是同理可得：綜上所述：【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.21.已知是自然對數(shù)的底

16、數(shù)，函數(shù)與的定義域都是（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且【答案】（1）（2）見證明【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得斜率，求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得切線方程.（2）首先根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷出在區(qū)間上存在零點(diǎn).然后利用的導(dǎo)數(shù)，證得在上是減函數(shù)，由此證得函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn).【詳解】（1）解：切線的斜率，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（2）證明：，存在零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由在上是減函數(shù)，若，則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且.【點(diǎn)睛】本小題主要考查切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查零點(diǎn)的存在性定理，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知常數(shù)是實(shí)數(shù)，

17、曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）寫出的普通方程與的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與相交于，兩點(diǎn)，求的最小值【答案】（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為（2）8【解析】【分析】（1）將的參數(shù)方程消去，得到的普通方程.對的極坐標(biāo)方程兩邊乘以，由此求得的直角坐標(biāo)方程.（2）聯(lián)立的直角坐標(biāo)方程，寫出韋達(dá)定理，然后根據(jù)弦長公式求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】（1）的普通方程為的直角坐標(biāo)方程為（2）設(shè)，則由得，當(dāng)時(shí)，的最小值等于8【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查弦長公式，屬于中檔題.23.選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，