定積分的幾何應(yīng)用(面積和弧長)

1、利用元素法解決:,定積分在幾何上的應(yīng)用,定積分在物理上的應(yīng)用,定積分的應(yīng)用,定積分的元素法,一、什么問題可以用定積分解決 ?,二 、如何應(yīng)用定積分解決問題 ?,表示為,一、什么問題可以用定積分解決 ?,1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的,2) U 對區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即可通過,“分割, 近似代替, 求和, 取極限”,定積分定義,一個整體量 ;,二 、如何應(yīng)用定積分解決問題 ?,第一步 利用“分割 , 近似代替” 求出局部量的,微分表達(dá)式,第二步 利用“ 求和 , 取極限 ” 求出整體量的,積分表達(dá)式,這種分析方法稱為元素法 (或微元分析法 ),元素

2、的幾何形狀常取為:,條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等,近似值,精確值,第二節(jié),一、 平面圖形的面積,二、 平面曲線的弧長,定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為,O,O,例1. 計算兩條拋物線,在第一象限所圍,圖形的面積 .,解: 由,得交點,O,例2. 計算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點,所圍圖形,為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有,O,例3. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a = b 時得圓面

3、積公式,一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程,給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值,則曲邊梯形面積,O,例4. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,O,2. 極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,O,對應(yīng) 從 0 變,例5. 計算阿基米德螺線,解:,到 2 所圍圖形面積 .,O,心形線,例6. 計算心形線,所圍圖形的,面積 .,解:,(利用對稱性),心形線,O,心形線(外擺線的一種),即,點擊圖中任意點 動畫開始或暫停,尖點:,面積:,弧長:,參數(shù)的幾何意義,例7. 計

4、算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對稱性 ,所求面積,例8. 求雙紐線,所圍圖形面積 .,解: 利用對稱性 ,則所求面積為,思考: 用定積分表示該雙紐線與圓,所圍公共部分的面積 .,答案:,O,二、平面曲線的弧長,當(dāng)折線段的最大,邊長 0 時,折線的長度之和趨向于一個確定的極限 ,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.,(證明略),(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:,因此所求弧長,則得,弧長元素(弧微分) :,(自

5、己驗證),例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,成懸鏈線 .,求這一段弧長 .,解:,下垂,懸鏈線方程為,例10. 計算擺線,一拱,的弧長 .,解:,例11. 求阿基米德螺線,相應(yīng)于 02,一段的弧長 .,解:,內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,2. 平面曲線的弧長,曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標(biāo)方程,弧微分:,直角坐標(biāo)方程,上下限按順時針方向確定,直角坐標(biāo)方程,注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小,思考與練習(xí),1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .,提示: 交點為,弧線段部分,直線段部分,以 x 為積分變量 , 則要分,兩段積分,故以 y 為積分變量.,解：,2. 求曲線,所圍圖形的面積.,顯然,面積為,同理其他.,又,故在區(qū)