高斯消元法解線性方程組.ppt

1、A,1,3.4 高斯消元法解線性方程組,一、線性方程組的矩陣表示,二、用高斯消元法求解線性方程組,三、小結(jié),A,2,在第1章的1.4節(jié)，我們學(xué)習(xí)過(guò)用Gramer法則解形如,的線性方程組，也討論過(guò)齊次線性方程組,的求解問(wèn)題.,A,3,事實(shí)上,方程組,與之對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組,都可以用矩陣形式表示為:,為n階系數(shù)矩陣,為未知數(shù)矩陣,為常數(shù)矩陣,A,4,1、非齊次線性方程組,當(dāng),時(shí)，方程組（1）有唯一解；,當(dāng),2、對(duì)于齊次線性方程組,當(dāng),時(shí)，方程組（2）解唯一：只有零解；,當(dāng),時(shí)，方程組（2）有無(wú)窮多解，有非零解；,以上由克蘭姆法則得到的結(jié)論都是針對(duì)n階線性方程組來(lái)說(shuō)的，而對(duì)于未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)不

2、相等的線性方程組，我們用高斯消元法來(lái)討論,方程組（1）無(wú)解或有無(wú)窮多解,它是必然有解的。,線性方程組解的情況如下：,A,5,線性方程組的 一般形式：,矩陣表示：,其中,請(qǐng)注意它們的行數(shù)、列數(shù),3.4 高斯消元法解線性方程組,一、線性方程組的矩陣表示,A,6,對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組：,矩陣表示形式：,其中,A,7,二、用高斯消元法求解線性方程組,下面通過(guò)例題，來(lái)學(xué)習(xí)一般線性方程組的解法，這種方法，常稱為高斯消元法.此消元法 中方程組的消元步驟對(duì)應(yīng)矩陣的初等,行變換。,A,8,解：,A,9,A,10,所以原方程組有唯一的一組解：,A,11,解,例1 用消元法解齊次線性方程組,A,12,其中,是自由未

3、知量,A,13,例2 用消元法解線性方程組,解 將系數(shù)矩陣與常數(shù)列矩陣排在一起,稱為線性方程組的增廣矩陣,記為:,高斯消元法解線性方程組,實(shí)際就是對(duì)增廣矩陣作 初等行變換.下面我們來(lái)一步步解這個(gè)方程組。,A,14,解:,A,15,再把得到的最后的矩陣寫成方程組形式, 得,這時(shí),未知量,是可以任意取值的,稱為自由未知量,所以得方程組的解為：,在求出方程組的解后,要注明自由未知量. 自由未 知量的取法是不一唯的,但它的個(gè)數(shù)是確定的。 （即未知量的個(gè)數(shù)實(shí)際方程個(gè)數(shù)）,A,16,上面解題中，最簡(jiǎn)形階梯矩陣,單位陣,階梯,下面給出一個(gè)更為形象的最簡(jiǎn)形階梯矩陣,單位陣,A,17,補(bǔ)例 求解非齊次線性方程組

4、,解,對(duì)增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換：,此時(shí)，可以得到方程組無(wú)解的結(jié)論,（從第三行發(fā)現(xiàn)到一個(gè)問(wèn)題）,A,18,三、小結(jié),通過(guò)上面兩個(gè)例題，可歸納出解線性方程組 高斯消元法的一般步驟：,(1)將線性方程組的增廣矩陣，通過(guò)初等行變換 化為行最簡(jiǎn)階梯矩陣；,（2）將最簡(jiǎn)階梯矩陣還原成線性方程組，求出方 程組的一般解，標(biāo)出自由未知量；,（3）取自由未知量為任意常數(shù)字母，寫出方程組 的全部解，指出常數(shù)字母的任意性.,A,19,高斯(Garl Friederich Gauss，17771855),高斯生于德國(guó)的布倫茲維克，他是近代數(shù)學(xué)偉大的奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列.,高斯很小就顯示出了他的數(shù)學(xué)才能,小時(shí)候,其 父并不想讓他上學(xué),由于看父親算賬,指出錯(cuò)誤,之處,才被其父送入小學(xué)讀書(shū),當(dāng)時(shí)是班里最小的學(xué)生.但成績(jī)很,出色。1796年高斯發(fā)現(xiàn)正十七邊形的尺規(guī)作圖法，這是從歐幾,1855年2月23日清晨，高斯于睡夢(mèng)中去世。,他