工程力學-第五講

1、1,第七章 梁的強度問題,2,對于梁的受力彎曲，其橫截面上的應力分布將不再均勻，如何確定梁橫截面上的應力分布便成了首要解決的問題。 只有確定了梁上任意橫截面的應力分布情況，才能知道“危險截面”。 進而進行強度設計，考慮是否存在安全問題等。 絕大多數細長梁的失效，主要與正應力有關，切應力的影響是次要的，本章將主要確定梁橫截面上正應力以及與正應力有關的強度問題。,3,7.1 工程中的彎曲構件,4,7.2 與應力分析相關的截面圖形的幾何性質,不同受力形式下桿件的應力和變形，不僅取決于內力分量的類型、大小以及桿件的尺寸，而且與桿件橫截面的幾何形狀有關。因此，研究桿件的應力與變形，研究失效問題以及強度、

2、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及到與截面圖形的幾何形狀和尺寸有關的量。這些量統稱為幾何量，包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等。,5,7.2.1 靜矩、形心及其相互關系,1. 截面一次矩 或 靜矩,靜矩單位為m3,如果將dA視為垂直于圖形平面的力，則ydA和zdA分別為dA對于z軸和y軸的力矩，而Sz和Sy則分別為A對z軸和y軸的力矩。,6,圖形幾何形狀的中心稱為形心(Centroid of an area),若將面積視為垂直于圖形平面的力，則形心即為合力的作用點。,設zc、yc為形心坐標，則根據合力矩定理：,形心坐標與靜矩之間的關系,7,根據上述關于靜矩的定義以及靜矩與形心之

3、間的關系可以看出： 靜矩與坐標軸有關，同一平面圖形對于不同的坐標軸有不同的靜矩：對某些坐標軸靜矩為正；對另外一些坐標軸靜矩則可能為負；對于通過形心的坐標軸，圖形對其靜矩等于零(證明見下一頁)。 如果已經計算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐標系中的位置，則可計算圖形對于這一坐標系中坐標軸的靜矩。,8,y,z,b,h,C,對于通過形心的坐標軸，圖形對其靜矩等于零.,9,對于組合圖形，則先將其分解為若干個簡單圖形(可以直接確定形心位置的圖形)；然后由式(72)分別計算它們對于給定坐標軸的靜矩，并求其代數和，即,10,再利用式子(7-3)，可以得到組合圖形的形心坐標：,11,7

4、.2.2 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑,1) 截面二次軸距(second moment of an area),慣性矩(moment of inertia),2) 二次極距(second polar moment of an area),極慣性矩,單位為m4,單位為m4,12,3) 慣性積 (Product of inertia),4) 慣性半徑 (radius of gyration ),單位為m4,定義,慣性矩和極慣性矩恒為正；而慣性積則由于坐標軸位置的不同，可能為正，可能為負。三者的單位均為m4。,13,對于圓形橫截面：,此時坐標軸通過橫截面的形心，得到極慣性矩為：,類似的得到圓環(huán)

5、截面對于圓環(huán)中心的極慣性矩為：,14,當坐標軸通過某圓形橫截面的中心，則該圓形橫截面對其中任意兩根軸具有相同的慣性矩。其數值均為：,類似的，對于圓環(huán)形狀的橫截面，具有類似的結果為：,15,當坐標軸原點位于矩形橫截面的中心，則其慣性矩分別為：,16,7.2.3 慣性矩與慣性積的移軸定理,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,O,?,b,a,移軸定理要求坐標軸通過橫截面的形心。,17,18,7.2.4 慣性矩與慣性積的轉軸定理,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,?,轉軸定理不要求坐標軸通過橫截面的形心。,19,7.2.5 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩,如果圖形對

6、于過一點的一對坐標軸的慣性積等于零，則稱這一對坐標軸為過這一點的主軸(principal axis)。 圖形對于主軸的慣性矩稱為主慣性矩(principal moment of inertia of an area)。主慣性矩具有極大值或極小值的特征。,主慣性矩為：,20,21,22,23,24,25,26,小結,dA,y,z,z,y,r,面積：,截面一次矩(靜矩),截面二次矩(慣性矩),截面二次極矩(極慣性矩),截面二次矩(慣性積),慣性半徑,27,特點：,靜矩、慣性矩、慣性積、極慣性矩、慣性半徑都是對某一指定坐標系而言。 其中靜矩和慣性積可正可負，也可以為零。 慣性矩、極慣性矩、慣性半徑都

7、是大于零的正值，且它們的值隨不同坐標系變化而變化。 慣性半徑的量綱是長度的一次方，面積的量綱是長度的二次方，靜矩的量綱是長度的三次方，其余的(慣性矩、慣性積、極慣性矩)量綱是長度的四次方。,28,靜矩和形心位置的確定,單個圖形的情況：,組合圖形的情況：,29,注意幾點：,平面圖形有兩個對稱軸，則形心必定位于兩個對稱軸的交點上。 平面圖形有一個對稱軸，則形心必定必在這一條對稱軸上，只需確定其具體位置即可。,30,在工程中求平面圖形形心時，往往不用積分方法求靜矩，而盡量采用組合圖形求靜矩。 對同一平面圖形選取不同的參考坐標系，其形心位置的坐標也會不同。但形心在平面圖形中的位置是不變的。 平面圖形對

8、通過其形心的坐標軸的靜矩為零，因此若平面圖形對某個軸的靜矩為零，則該坐標軸必通過平面圖形的形心。,y,z,h,b,31,平行移軸公式,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,O,?,b,a,如果參考坐標系oyz的原點位于形心，則：,32,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,轉軸公式的幾點說明：,角從原坐標軸y量起，以逆時針為正，順時針為負。 對于同一坐標原點的任意兩個坐標系yoz和y1o1z1存在下列關系：,33,主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩,如果圖形對于過一點的一對坐標軸的慣性積等于零，則稱這一對坐標軸為過這一點的主軸(principal axis)。 圖形對

9、于主軸的慣性矩稱為主慣性矩(principal moment of inertia of an area)。主慣性矩具有極大值或極小值的特征。,主慣性矩為：,34,幾個簡單平面圖形的形心主慣性矩,圓形截面,環(huán)形截面,矩形截面,35,7.3 平面彎曲時梁橫截面上的正應力,7.3.1 平面彎曲和純彎曲的概念,對稱面：梁的橫截面具有對稱軸，所有相同的對稱軸組成的平面，稱為梁的對稱面(symmetric plane),梁的橫截面沒有對稱軸，但是都有通過橫截面形心的形心主軸，所有相同的形心主軸組成的平面，稱為梁的主軸平面(plane including principal axis)。由于對稱軸也是主軸

10、，所以對稱面也是主軸平面；反之則不然。以下的分析和敘述中均使用主軸平面。,36,平面彎曲：所有外力(包括力、力偶) 都作用梁的同一主軸平面內時，梁的軸線彎曲后將彎曲成平面曲線，這一曲線位于外力作用平面內，這種彎 曲稱為平面彎曲(plane bending)。,37,純彎曲：一般情形下，平面彎曲時，梁的橫截面上一般將有兩個內力分量，就是剪力和彎矩。如果梁的橫截面上只有彎矩一個內力分量，這種平面彎曲稱為純彎曲(pure bending),純彎曲情形下，由于梁的橫截面上只有彎矩，因而，便只有垂直于橫截面的正應力。,僅在AB段區(qū)間,38,橫向彎曲：梁在垂直梁軸線的橫向力作用下，其橫截面上將同時產生剪力

11、和彎矩。這時，梁的橫截面上不僅有正應力，還有切應力。這種彎曲稱為橫向彎曲，簡稱橫彎曲(transverse bending)。,7.3.2 純彎曲時梁橫截面上正應力分析,分析梁橫截面上的正應力，就是要確定梁橫截面上各點的正應力與彎矩、橫截面的形狀和尺寸之間的關系。 由于橫截面上的應力是看不見的，而梁的變形是可以看見的，應力又和變形有關，因此，可以根據梁的變形情形推知梁橫截面上 的正應力分布。,39,1. 平面假定與應變分布,在伸長層與縮短層交界處的那一層，既不伸長也不縮短，該層稱為中性層或中性面(neutral surface)。,中性層與橫截面的交線，稱為中性軸(neutral axis),

12、中性軸垂直于加載方向，對于具有對稱軸的橫截面梁，中性軸垂直于橫截面的對稱軸。,40,變形前,變形后,整體變形效果,假設OO為中性層，并建立如圖所示的坐標OXY。,弧AA=,弧OO=dx=,那么弧AA的絕對伸長量為：,那么弧AA的相對伸長量為：,41,(2) 物理方程,假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應力狀態(tài)。,橫截面上的彎曲正應力沿橫截面的高度方向從中性軸為零開始呈線性分布。 該式子還只是給出了正應力分布情況，但是還不能具體求出數值。主要因為：y坐標是從中性軸開始計算的，而中性軸的位置還沒有確定；中性軸的曲率半徑也沒有確定。,42,(3) 純彎曲情況下的靜力學關系：,中心軸Z通

13、過截面形心，并且垂直于對稱軸，所以，中心軸的位置就是確定截面的形心位置。,純彎曲時，在任何一個橫截面上只能有彎矩一個內力分量，軸力必須等于零。,43,因為y軸為橫截面的一個對稱軸，所以其截面的慣性積等于0。,(7-34),(7-29),(3) 純彎曲情況下的靜力學關系：,在橫截面上：,44,5. 最大正應力公式與彎曲截面模量,圓形截面,環(huán)形截面,矩形截面,Wz稱為彎曲截面模量,45,6. 梁彎曲后其軸線的曲率公式,這一結果表明：梁的軸線彎曲后的曲率與彎矩成正比，與彎曲剛度成反比。,46,7.3.3 梁的彎曲正應力公式的應用與推廣,需要注意幾個問題,首先是關于正應力的正負號：決定正應力是拉應力還

14、是壓應力。確定正應力正負號比較簡單的方法是：首先確定橫截面上彎矩的實際方向，確定中性軸的位置；然后根據所要求應力的那一點的位置，以及“彎矩是由分布正應力合成的合力偶矩”這一關系。就可以確定這一點的正應力是拉應力還是壓應力(圖7-17)。 其次是關于最大正應力計算： 如果梁的橫截面具有一對相互垂直的對稱軸，并且加載方向與其中一根對稱軸一致時，則中性軸與另一對稱軸一致。此時最大拉應力與最大壓應力絕對值相等，由式(7-30)計算。,47,如果梁的橫截面只有一根對稱軸，而且加載方向與對稱軸一致，則中性軸通過截面形心并垂直對稱軸。這時，橫截面上最大拉應力與最大壓應力，可由絕對值不相等，下列二式分別計算：

15、,48,此外還要注意的是，某一個橫截面上的最大正應力不一定就是梁內的最大正應力，應該首先判斷可能產生最大正應力的那些截面，這些截面稱為危險截面；然后比較所有危險截面上的最大正應力，其中最大者才是梁內橫截面上的最大正應力。保證梁安全工作而不發(fā)生破壞，最重要的就是保證這種最大正應力不得超過允許的數值。,2. 純彎曲正應力可以推廣到橫向彎曲 以上有關純彎曲的正應力的公式。對于非純彎曲，也就是橫截面上除了彎矩之外、還有剪力的情形。如果是細長桿，也是近似適用的。理論與實驗結果都表明，由于切應力的存在，梁的橫截面在梁變形之后將不再保持平面，而是要發(fā)生翹曲，這種翹曲對正應力分布的影響是很小的。對細長梁更小，

16、通常都可以忽略不計。,49,7.4 平面彎曲正應力公式應用舉例,50,51,x,M,52,53,54,55,56,7.5 梁的強度計算,7.5.1 梁的失效判據,與拉伸或壓縮桿件失效類似。 對于韌性材料制成的梁，當梁的危險截面上的最大正應力達到材料的屈服點時，便認為梁發(fā)生失效； 對于脆性材料制成的梁，當梁的危險截面的最大正應力達到材料的抗拉強度時，便認為梁發(fā)生失效。即,57,7.5.2 梁的彎曲強度計算準則,根據上述強度條件，同樣可以解決三類強度問題： 強度校核、截面尺寸設計、確定許用載荷。,58,7.5.3 梁的彎曲強度計算步驟,根據梁的彎曲強度設計準則，進行彎曲強度計算的一般步驟為： 根據

17、梁約束性質，分析梁的受力，確定約束力。 畫出梁的彎矩圖：根據彎矩圖，確定可能的危險截面。 根據應力分布和材料的拉伸與壓縮強度性能是否相等，確定可能的危險點: 對于拉、壓強度相同的材料(如低碳鋼等)，最大拉應力作用點與最大壓應力作用點具有相同的危險性，通常不加以區(qū)分； 對于拉、壓強度性能不同的材料(如鑄鐵等脆性材料)最大壓應力作用點和最大壓應力作用點都有可能是危險點。,秘笈,59,應用強度條件進行強度計算： 對于拉伸和壓縮強度相等的材料，應用強度條件式(7-38)和式(7-39)； 對于拉伸和壓縮強度不相等的材料，強度條件式 (7-38)和式(7-39)可以改寫為,抗拉許用應力,抗拉強度,60,

18、61,62,63,64,2. 根據危險截面上的正應力分布確定可能的危險點,65,3. 計算危險點的正應力，進行強度校核,上述結果表明：梁上所有危險截面的危險點的強度都是安全的。,66,67,由此解出：,于是得到了Fp加在輔助梁上作用點的范圍為：,68,2. 確定輔助梁所需要的工字鋼型號,69,70,7.6 斜彎曲,當外力施加在梁的對稱面(或主軸平面)內時，梁將產生平面彎曲。 所有外力都作用在同一平面內，但是這一平面不是對稱面(或主軸平面)，梁也將會產生彎曲，但不是平面彎曲，這種彎曲稱為斜彎曲(skew bending)。 還有一種情形也會產生斜彎曲。這就是所有外力都作用于對稱面(或主軸平面)內

19、，但不是同一對稱面(梁的截面具有兩個或兩個以上對稱軸)或主軸平面內。,71,7.6 斜彎曲,為了確定斜彎曲時梁橫截面上的應力，在小變形的條件下，可以將斜彎曲分解成兩個縱向對稱面內(或主軸平面)的平面彎曲，然后將兩個平面彎曲引起的同一點應力的代數值相加。便得到斜彎曲在該點的應力值。,72,上式不僅對于矩形截面，而且對于槽形截面、工字形截面也是適用的。因為這些截面上由兩個主軸平面內的彎矩引起的最大拉應力和最大壓應力都發(fā)生在同一點。,對于圓截面，上述計算公式是不適用的。這是因為，兩個對稱面內的彎矩所引起的最大拉應力不發(fā)生在同一點，最大壓應力也不發(fā)生在同一點。,對于圓截面，因為過形心的任意軸均為截面的

20、對稱軸，所以當橫截面上同時作用有兩個彎矩時，可以將彎矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，這一合矢量仍然沿著橫截面的對稱軸分布，合彎矩的作用面仍然與對稱面一致，所以平面彎曲的公式依然適用。于是，圓截面上的最大拉應力和最大壓應力計算公式為,73,此外還可以證明，斜彎曲情形下，橫截面依然存在中性軸，而且中性軸一定通過橫截面的形心，但不垂直于加載方向，這是斜彎曲與平面彎曲的重要區(qū)別。,74,y,z,FP,75,3. 計算兩個平面彎曲情形下的最大正應力,76,77,具有很強的工程意義！,78,7.7 彎矩與軸力同時作用時橫截面上的正應力,當桿件同時承受垂直于軸線的橫向力和沿著軸線方向的縱向力時，桿件的橫截

21、面上將同時產生軸力、彎矩和剪力。忽略剪力的影響，軸力和彎矩都將在橫截面上產生正應力。,如果作用在桿件上的縱向力與桿件的軸線不一致，這種情形稱為偏心加載。這時如果將縱向力向橫截面的形心簡化，同樣，將在桿件的橫截面上產生軸力和彎矩。,79,80,81,82,2. 確定危險截面并計算最大應力,83,84,7.8 結論與討論,7.8.1 關于彎曲正應力公式的應用條件,平面彎曲正應力公式只能應用于平面彎曲情形。對于截面有對稱軸的梁，外加載荷的作用線必須位于梁的對稱平面內，才能產生平面彎曲。對于沒有對稱軸截面的梁、外加載荷的作用線如果位于梁的主軸平面內，也可以產生平面彎曲。 只有在彈性范圍內加載，橫截面上

22、的正應力才會線性分布，才會得到平面彎曲正應力公式。 平面彎曲正應力公式是在純彎情形下得到的，但是，對于細長桿，由于剪力引起的切應力比彎曲正應力小得多，對強度的影響很小，通常都可以忽略。 由此，平面彎曲正應力公式也適用于橫截面上有剪力作用的情形。也就是對于細長梁純彎曲的正應力公式也適用于橫彎曲。,85,7.8.2 彎曲切應力的概念,當梁發(fā)生橫向彎曲時，橫截面上一般都有剪力存在，截面上與剪力對應的分布內力在各點的強弱程度稱為切應力，用希臘字母表示。 切應力的方向一般與剪力的方向相同，作用線位于橫截面內，如圖7-30所示。,彎曲切應力在截面上的分布是不均勻的，分布狀況與截面的形狀有關，一般情形下最大切應力發(fā)生在橫截面中性軸上的各點。,86,對于寬度為b、高度為h的矩形截面，最大切應力為:,對于直徑為d的圓截面，最大切應力為:,對于內徑為d、外徑為D的圓環(huán)截面，最大切應力為:,87,7.8.3 關于截面的慣性矩,橫截面對于某一軸的慣性矩，不僅與橫截面的面積大小有關，而且還與這些面積到這一軸的距離的遠近有關。同樣的面積，到軸的距離遠者，慣性矩大；到軸的距離近者，慣性矩小。為了使梁能夠承受更大的力，我們當然希望截面的慣性矩越大越好。,對于圖7-31a中承受