數(shù)學(xué)建模 統(tǒng)計(jì)分析

1、outline,一、描述性統(tǒng)計(jì) 二、隨機(jī)數(shù)的生成 三、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn) 四、正態(tài)性檢驗(yàn)* 五、方差分析 六、回歸分析,一、描述性統(tǒng)計(jì),直方圖 均值 標(biāo)準(zhǔn)差 偏度 峰度,1. 直方圖 (histogram),hist(x),hist(x, m),histfit(x, m) % 帶正態(tài)擬合的直方圖,2. 描述性統(tǒng)計(jì)量,mean(x) % 均值,std(x) % 標(biāo)準(zhǔn)差,median(x) % 中位數(shù),sort(x) % 順序統(tǒng)計(jì)量,sum(x) % 和,var(x) % 方差,kurtosis(x) % 峰度，正態(tài)是3,skewness(x) % 偏度，正態(tài)是0,二、隨機(jī)數(shù) (random numbe

2、r),均勻分布隨機(jī)數(shù) 正態(tài)分布隨機(jī)數(shù) 指數(shù)分布隨機(jī)數(shù) 卡方分布隨機(jī)數(shù) t分布隨機(jī)數(shù) f分布隨機(jī)數(shù) 離散分布隨機(jī)數(shù),1. 均勻分布的隨機(jī)數(shù),rand(n) % 0, 1區(qū)間上,rand(m, n) % 0, 1區(qū)間上,unifrnd(a, b, m, n) % a, b區(qū)間上,2. 正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),randn(n) % n(0, 1),randn(m, n) % n(0, 1),normrnd(a, b, m, n) % n(a, b2),或等價地， x=randn(m, n); x=a+b*x,3. 指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù),exprnd (lambda) % 1個隨機(jī)數(shù),exprnd (lambd

3、a, m, n),4. 卡方分布的隨機(jī)數(shù),chi2rnd (df),chi2rnd (df, m, n),5. t分布的隨機(jī)數(shù),trnd (df),trnd (df, m, n),6. f分布的隨機(jī)數(shù),frnd (df1, df2),frnd (df1, df2, m, n),7. 二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù),binornd (n, p),binornd (n, p, m, n),8. poisson分布的隨機(jī)數(shù),poissrnd (lambda),poissrnd (lambda, m, n),9. 離散型分布的隨機(jī)數(shù),以標(biāo)準(zhǔn)的均勻分布u作為模擬變量,若 u 0.20, 則x值x1 ; 若0.20u

4、0.35, 則x值x2 ; 若0.35u 0.60, 則x值x3 ; 若0.60u 1, 則x值x4 .,clear n=5000; for i=1:n u=rand(1); if u=0.2 x(i)=1; elseif u=0.35 x(i)=2; elseif u=0.6 x(i)=3; else x(i)=4; end end % sum(x=1)/n,三、單樣本與兩樣本的t檢驗(yàn),單樣本的t檢驗(yàn) 兩樣本的t檢驗(yàn) 檢驗(yàn)的水平 檢驗(yàn)的功效（勢）,1. 單樣本的t檢驗(yàn),設(shè)總體的分布為 ，從總體中抽取 容量為n的樣本，要檢驗(yàn)的問題是,設(shè)總體的方差未知，則使用的是單樣本t檢驗(yàn)：,取檢驗(yàn)的水平為

5、，則檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋?clear n=20; mu0=0; x=randn(1, n); % 樣本觀測值 xbar=mean(x); s=std(x); t=sqrt(n)*(xbar-mu0)/s; if abs(t)2.093 % 2.093是臨界值 c=1; else c=0; end c,例：,h=ttest(x, mu0) % x是樣本; % muo缺省時為0 ; % h輸出值0和1，分別表示接受和拒絕h0 .,單樣本t檢驗(yàn)的matlab實(shí)現(xiàn)：,h, sig, ci, stats=ttest(x, mu0, alpha, tail) % alpha: 顯著性水平, 缺省時為0.05.

6、 % tail: 取0表示雙側(cè)檢驗(yàn)(可缺省); 取-1或1表示單側(cè)檢 驗(yàn), 其中-1對應(yīng)h1: mumu0. % h輸出值0和1, 分別表示接受和拒絕h0 . % sig: 檢驗(yàn)的p-值, sig0.05等價于h=1. % ci輸出置信區(qū)間, stats輸出統(tǒng)計(jì)量的值和自由度.,單樣本t檢驗(yàn)的matlab實(shí)現(xiàn)：,2. 兩樣本的t檢驗(yàn),設(shè)有兩個總體 和 , 分別從這兩個總體中抽取容量為n1和 n2的樣本，要檢驗(yàn)的問題是,設(shè)總體的方差未知，則使用的是兩樣本t檢驗(yàn)：,取檢驗(yàn)的水平為 ，則檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋?h=ttest2(x, y) % x，y是樣本; % h輸出值0和1，分別表示接受和拒絕h0 .

7、,兩樣本t檢驗(yàn)的matlab實(shí)現(xiàn)：,h, sig, ci, stats=ttest2(x, y, alpha, tail) % alpha: 顯著性水平, 缺省時為0.05. % tail: 取0表示雙側(cè)檢驗(yàn)(可缺省); 取-1或1表示單側(cè)檢驗(yàn), 其中-1對應(yīng)h1: mu1mu2. % h輸出值0和1, 分別表示接受和拒絕h0 . % sig: 檢驗(yàn)的p-值, sig0.05等價于h=1. % ci輸出置信區(qū)間, stats輸出統(tǒng)計(jì)量的值和自由度.,兩樣本t檢驗(yàn)的matlab實(shí)現(xiàn)：,3. 檢驗(yàn)的水平*,在零假設(shè)成立下，重復(fù)執(zhí)行檢驗(yàn)過程，考察零假設(shè)被拒絕的概率，這就是犯第一類錯誤的概率，即檢驗(yàn)的

8、實(shí)際水平。,clear n=20; n=10000; mu0=0; for i=1:n x=randn(1, n); a(i)=ttest(x,mu0); end sum(a)/n % t檢驗(yàn)的實(shí)際水平,4. 檢驗(yàn)的功效* （勢, power）,在備擇假設(shè)成立下，重復(fù)執(zhí)行檢驗(yàn)過程，考察零假設(shè)被拒絕的概率，這就是不犯第二類錯誤的概率，即檢驗(yàn)的功效。 檢驗(yàn)的功效越高，檢驗(yàn)就越好。,clear n=20; n=10000; mu0=0.5; for i=1:n x=randn(1, n); a(i)=ttest(x,mu0); end sum(a)/n % 功效,四、正態(tài)性檢驗(yàn)*,q-q圖 kolm

9、ogorov-smirov檢驗(yàn) lilliefors檢驗(yàn),1. q-q圖 （quantile-quantile）,clear n=40; x=randn(1,n); qqplot(x),q-q圖： 第i個點(diǎn)的縱坐標(biāo)是排序的樣本觀測值 ，橫坐標(biāo)是,理論直線的方程為：,2. kolmogorov-smirov檢驗(yàn),檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是：,其中 是待檢驗(yàn)的分布函數(shù)。,matlab中的命令： h, p=kstest(x, , alpha, tail),檢驗(yàn)樣本是否服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，其中 alpha: 檢驗(yàn)的水平 tail: 檢驗(yàn)的類型，0表示雙側(cè)檢驗(yàn)，-1和1是單側(cè)檢驗(yàn) h: 取值0和1，分別表示接受和拒

10、絕零假設(shè) p: 檢驗(yàn)的p-值 簡單用法：h=kstest(x),clear n=30; n=5000; for i=1:n x=randn(1, n); h=kstest(x); if h=1 a(i)=1; else a(i)=0; end end sum(a)/n % 結(jié)果是什么?,clear n=80; n=5000; for i=1:n x=trnd(1, 1, n); %樣本來自于t(1) a(i)= kstest(x); end sum(a)/n %結(jié)果是什么?,3. lilliefors檢驗(yàn),matlab中的命令： h=lillietest(x) h,p=lillietest(x

11、, , alpha, tail),用來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否具有與樣本相同均值和方差的 正態(tài)分布。,clear n=30; n=5000; for i=1:n x=randn(1, n)+2; a(i)= lillietest(x); end sum(a)/n % ？,五、方差分析(analysis of variance),例1：在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)有多種方法可以測定生物樣品中的磷含量，現(xiàn)選取4種測定方法，測定同一干草樣品的磷含量，結(jié)果見下表，試分析這4種方法之間差異是否顯著。,不同方法測定的干草磷含量,例2：隨機(jī)選取三種千足蟲，測定了不同性別個體血淋巴中的丙氨酸含量（mg/l），試檢驗(yàn)性別和物種對丙氨酸含量的

12、影響有無顯著性差異。,p=anova1(x) % x是樣本觀測值構(gòu)成的矩陣，每一列為 一個水平 % p是檢驗(yàn)的p-值. % 輸出結(jié)果除p-值外，還有方差分析表以 及箱形圖。,1. 單因素方差分析的matlab實(shí)現(xiàn)：,例1的求解：,clear x=34 37 34 36 36 36 37 34 34 35 35 37 35 37 37 34 34 37 36 35; p=anova1(x) % 1是數(shù)字,單因素方差分析表：,p=anova2(x, 1) % 括號中的1表示每個水平組合下只有一次觀測，此時不考慮交互效應(yīng)。 p=anova2(x, m) % 括號中的m表示每個水平組合下有m次重復(fù)觀測

13、。 the number of rows must be a multiple of reps.,2. 兩因素方差分析的matlab實(shí)現(xiàn)：,例2的求解：,clear x= 215 145 160 196 174 203 209 150 185 228 178 193 148 121 144 156 114 147 135 127 138 164 145 120 ; p=anova2(x,4),兩因素方差分析表：,columns: 列因素 rows: 行因素 interaction: 交互作用,六、回歸分析,一元線性回歸 多元線性回歸,1. 一元線性回歸分析,設(shè)x為自變量，y為因變量，考慮y對x

14、的線性回歸。 采用最小二乘估計(jì)法。,b=polyfit(x, y, 1) % x是自變量的樣本觀測值 % y是因變量的樣本觀測值,一元線性回歸分析的matlab實(shí)現(xiàn)：,x=0.7608 -0.9291 -0.4007 -0.1267 -0.4829 -0.6075 -0.7594 -1.3627 0.4069 0.4236; y=1.7159 -1.2786 -0.3744 0.5986 -0.6290 -1.0179 -1.0921 -2.6222 1.6396 1.8324; plot(x,y,*) % 散點(diǎn)圖 a=polyfit(x,y,1) % a(1)是一次項(xiàng)系數(shù)， a(2)是截距項(xiàng)

15、 yy=polyval(a,x); hold on plot(x,yy),例：,2. 多元線性回歸分析,設(shè)x1, x2, , xk為自變量，y為因變量，考慮y對x1, x2, , xk的線性回歸: 假設(shè)進(jìn)行了n次觀測.,b=regress(y, x) 或 b, bint, r, rint, stats=regress(y, x),多元線性回歸分析的matlab實(shí)現(xiàn)：,y： 因變量的觀測值所構(gòu)成的列向量. x：自變量的取值構(gòu)成的矩陣， x各列(除第1列外)就是自變量的n次取值。,b： 最小二乘估計(jì)法得到的回歸系數(shù) bint：各回歸系數(shù)的置信區(qū)間 r： 殘差 rint：各殘差的置信區(qū)間 stats: 輸出擬合優(yōu)度r2 、f值和p值,x=0