保險精算期末復(fù)習(xí)題

1、 1 保險精算學(xué)課程期末復(fù)習(xí)題保險精算學(xué)課程期末復(fù)習(xí)題 一、一、名詞解析名詞解析： 永續(xù)年金【Cf:教材 P26】 永續(xù)年金：是收付期限沒有限制、每隔一個時間間隔永遠(yuǎn)連續(xù)收付得年金。 期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值： 1 lim n n aa i 期首付永續(xù)年金的現(xiàn)值： 1 lim n n aa d 死亡力【Cf:教材 P54】 死亡力：達(dá)到 x 歲的人中，在一瞬間里死亡的人所占的比率，記為 x ( )( ) ln ( ) ( )1( ) x sxfx s x s xF x 人壽保險【Cf:教材 P77】 人壽保險： （1）狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標(biāo)的【保險賠付條 件】的一種保

2、險。 （2）廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標(biāo)的的一種保險。它包括以保障期內(nèi)被 保險人死亡為標(biāo)的的狹義壽險，也包括以保障期內(nèi)被保險人生存為標(biāo)的的生存保險和兩全保險。 定期壽險：以死亡為給付保險金條件，且保險期限為固定年限的人壽保險。 終身壽險：保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金 的險種。 純生存保險：以被保險人投保后在規(guī)定期期滿時仍然生存為保險金支付條件的險種。 兩全保險：定期壽險和純生存保險的合險。 躉繳凈保費(fèi)【Cf:教材 P82】 躉繳凈保費(fèi)： 在保單生效日， 被保險人一次性繳付的、 恰好覆蓋保險人將來賠付風(fēng)險的費(fèi)用。 生存年金【Cf:教材 P9

3、5】 生存年金:以被保險人存活為條件，間隔相等的時期（年、半年、季、月）支付一次保險金 的保險類型。如果被保險人在規(guī)定的時期內(nèi)存活，則發(fā)生年金的收付，否則，不發(fā)生收付。 二、簡答題二、簡答題： 2 1. 人壽保險精算的原理的內(nèi)容【Cf:教材 P3】 保險的基本原理是將眾多投保人的保費(fèi)集中到承保人處, 當(dāng)風(fēng)險發(fā)生后, 由承保人承擔(dān)損 失。它的理論基礎(chǔ)是概率論和大數(shù)定律。 投保人通過付出少量且固定的保費(fèi), 將大量的不確定的損失轉(zhuǎn)移到承保人或保險公司身上； 承保人利用保費(fèi)收入一方面保證賠償?shù)恼＿M(jìn)行, 另一方面, 通過分析與計(jì)算來合理調(diào)配 資金, 提高保險基金的投資效益, 最終使投保人和承保人都有所

4、收獲。 2債劵定價原理的內(nèi)容及四種常用債劵價格計(jì)算公式。 【Cf:教材 P38-39】 債劵定價原理：債券的理論價格就是債劵未來息票收入的現(xiàn)值與到期償還值的現(xiàn)值之和。 債券定價的基本公式： n n PrFaCv 債券定價的溢價公式：1 () n PCgi a 債券定價的基價公式：() n PGCG v 債券定價的Makeham公式：() g PCKK i 3壽險現(xiàn)值的遞推公式及其直觀解釋【Cf:教材 P92】 壽險現(xiàn)值的遞推公式： 1xxxx Avqvp A 直觀解釋：( )x的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于( )x在第一年死亡的情況下 1 單 位的賠付額與生存滿一年的情況下凈躉繳保費(fèi)

5、1x A 之和。 4生存年金與壽險的關(guān)系【Cf:教材 P107-109】 生存年金與壽險是兩種不同的保險，它們的精算現(xiàn)值都依賴于被保險人的死亡年齡。 (1)終身壽險和期初付終身年金：1 xx daA (2)終身壽險和期末付終身年金：1 xxx iaiAA (3)定期壽險和定期年金： : 1 x nx n daA (4)死亡時賠付壽險和連續(xù)年金：1 xx aA ； : 1 xxnn aA (5)其它關(guān)系式： xxx Avaa ； 1 :x nx nx n Avaa 三、選擇題三、選擇題 3 1某人 1999 年初借款 3 萬元，按每年計(jì)息 3 次的年名義利率 6%投資 5 年的累積值為（ B ）

6、萬 元。 A 7.19 B 4.04 C 3.31 D 5.23 【復(fù)利： 3 5 0.06 3(1)4.04 3 ；單利： 0.06 3(1 3 5)3.9 3 】 2甲向銀行借款 1 萬元，每年計(jì)息 2 次的名義利率為 6%，甲第二年末還款 4000 元，則此次還款 后所余本金部分為（ A ）元。 A 7225 B 7213 C 7136 D 6987 【 2 2 0.06 10000(1)40007225.09 2 】 3某人壽保險的死亡給付受益人為三個子女，給付形式為永續(xù)年金，前兩個孩子第 1 到 n 年每 年末平分所領(lǐng)取的年金，n 年后所有的年金只支付給第三個孩子，若三個孩子所領(lǐng)取的

7、年金現(xiàn)值 相等，那么v ( A ) A. 1 1 3 n B. 1 3n C. 1 3 n D.3n 【 1 2 nn aaa 】 4延期 5 年連續(xù)變化的年金共付款 6 年，在時刻 t 時的年付款率為 2 1t ，t 時刻的利息強(qiáng)度 為 1 1 t ，該年金的現(xiàn)值為（ B ） A.52 B.54 C.56 D.58 【 11 5|6 5 ( ) xt ab v t dt ， 2 (1) t bt， 0 111 ( ) ( )1 t tdt v t a tt e 】 5. 如果 22 1100 x xx ，0100 x，求 0 l=10 000 時，在該生命表中 1 歲到 4 歲之間的 死亡人

8、數(shù)為（ B ） 。 A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56 【 02 1100 ( )() 100001 x tdtx s xe x ， 2 0 100 ( )() 1 x x ll s x x 】 6. 已知 20 歲的生存人數(shù)為 1 000 人，21 歲的生存人數(shù)為 998 人，22 歲的生存人數(shù)為 992 人， 則 |20 1 q為（ C ） 。 A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005 4 【 2122 |20 1 20 ll q l 】 7某人在 40 歲投保的終身死亡險，在死亡后立即給付 1 元保險金。其中，給定

9、110 x lx， 0110 x。利息力 =0.05。Z 表示保險人給付額的現(xiàn)值，則密度0.8 Z f等于（ D ） A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36 【 T Zv， (40)1 ( ) (40)70 T st ft s ， ln ( )1() ln T ZT z FzP ZzP vzF v 】 8已知 76 7.8a， 76 0.06vq，0.03i ，則 77 a（ C ） A. 7.1 B. 7.3 C. 7.5 D. 7.7 【 1 1 xxx avp a ，1 xx pq 】 四四、證明題、證明題 1. 當(dāng)1n時，證明： ( )( )nn ddii 【證

10、明】引理 1（Bernoulli 不等式） ：當(dāng)1x ，1時，有(1)1xx 引理 2: 當(dāng)0 x 時，有1 x ex 由 ( )( ) ( ) 1(1)1()1 nn nn dd dnd nn ，得 ( )n dd 由 ( )( ) ( ) 1(1)11 nn nn ii ini nn ，得 ( )n ii 由 ( ) 1 1(1) 1 n n d ed in ，知 ( ) 11 n n d e nn ，故 ( )n d 由 ( ) 1(1) n n i ei n ，知 ( ) 11 n n i e nn ，故 ( )n i 2. 證明等式： （1） |n m mnm avaa ； （2）(

11、1)n nn sia （3） (1)m m nmn ssis ； （4） () n m nmn svss 5 【證明】 （1）| 11 m nmmm n m n vvvv a ii | 11 mn mm mn vv vava ii （2） (1)11 (1)(1) nn nn nn iv siia ii （3） (1)1(1)(1)(1)1 m nm nmm m n iiii s ii (1)1(1)1 (1)(1) nm mm nm ii iiss ii （4） (1)1(1)(1) (1) m nmn nm n iii s iii (1)1(1)1 () mn nn mn ii vvss

12、ii 3. 證明： 1 1 xxx avp a 【證明】注意到 x x x N a D ， x xx Dvl和 1xxx NND ，有 11 1 1 11 111 xxxx xxx x xxx NlND vp avpv Dlvl 1 xx x x ND a D 五、五、計(jì)算題計(jì)算題 1. 李華 1994 年 1 月 1 日從銀行借款 1000 元，假設(shè)年利率為 12% （1）1994 年 5 月 20 日時，他需還銀行多少錢（以單利計(jì)算）？ （2）1996 年 1 月 1 日時，他需還銀行多少錢（以復(fù)利計(jì)算）？ （3）幾年后需還款 1500 元（以單、復(fù)利計(jì)算）？ 【解】 （1） 12% 10

13、00(1 139)1045.70 365 （元） （2） 2 1000(1 0.12)1254.4（元） （3）按單利計(jì)：由1000(112%)1500n ，得4.17n （年） 6 按復(fù)利計(jì)：由1000(1 12%)1500 n ，得3.58n （年） 2. 某人在 2008 年 7 月 22 日貸款 4000 元，如果利息力是 14%，在復(fù)利下，試求解以下問題： （1）年利率i； （2）貸款額在 2013 年 7 月 22 日的價值； （3）名義利率 (12) i 【解】 （1）由1ei ，知 0.14 110.1503iee （2）貸款額在 2013 年 7 月 22 日的價值為 550

14、.7 4000(1)400040008055.01iee （元） （3）由公式： () (1)1 m m i i m ，知 10.14 (12) 121212 12(1)112(1)12(1)0.1408iiee 3債券的面值為 1000 元，年息票率為 5%，期限為 6 年，到期按面值償還，投資者要求的年收益 率為 5.5%，試計(jì)算債券購買價格。 【解】由題設(shè)，由 F=C=1000 r=g=0.05 i=0.055 n=6 n n PrFaCv () n rFrF Cv ii 6 0.05 10000.05 10001 (1000) ()975.02 0.0550.0551.055 （元）

15、4.利用下面得生命表 年齡 60 61 62 63 6464 生存人數(shù)生存人數(shù) 1000 990 970 940 900 計(jì)算： （1）2 60 p （2）60 歲的人在 6163 歲之間死亡的概率 【解】 （1） 62 260 60 970 0.97 1000 l p l 7 （2）因在 6163 歲之間死亡 50 人，故所求概率為 261 1|260 60 50 0.05 1000 d q l 。 5某男在 40 歲時買了保險額為 20 000 元的終身壽險，死亡年年末賠付，假設(shè)他的生存函數(shù)可 以表示1000(1) 105 x x l ，10%i ，求這一保單的精算現(xiàn)值。 【解】見教材 P

16、83，例 5.4 思考：若賠付在死亡時，又如何計(jì)算？ 6假設(shè)張某 50 歲時購買的是保額為 100000 元的終身壽險，死亡年年末賠付。已知 1000(1) 105 x x l ，預(yù)定利率為 0.08，求該保單的躉繳凈保費(fèi)。 【解】由題設(shè)，有 50 50 50 55 55 t t lt p l ， 501 50 50 1 1 55 t t t l q lt ，故該保單的躉繳凈保費(fèi)為 54 (1) 505050 0 1000001000001.08 t tt t Apq 54 (1) 0 551 1000001.08 5555 t t t t = 55 1 1 () 1000001 1.08 22397.48 1 551.08 1 1.08 （元） 7設(shè)生存函數(shù)為 1 100 x s x (0100 x)，年利率0.10i ，保險金額為 1 元，計(jì)算：躉 繳純保費(fèi) 1 30:10A的值。 【解】由( )1 100 x s x ，知 ()1 ( )100 txx t s xt p s xx 故 1010 1 3030 30:10 00 11 0.092 1.170 t t tt Avpdtdt 8.