李慶揚-數(shù)值分析第五版第3章習題答案(20130702)

1、本章習題中有幾道題不會做，待再復習時完善。 第 3 章 復習與思考題 1、設 f C a , b，寫出三種常用范數(shù) 12 | ,| ,| .fff 答： 1 |( )| b a ff x dx 2 2 |( ) b a ff x dx |max|( )| a x b ff x 2、f , g C a , b，它們的內積是什么？如何判斷函數(shù)族 0, 1, , nC a , b在a ,b上線 性無關？ 解：f , g C a , b，其內積為 ( , )( ) ( ) b a f gf x g x dx 函數(shù)族 0, 1, , nC a , b在a ,b上線性無關，必須滿足矩陣 G 的行列式不等于

2、 0 11121 21222 12 (,)(,).(,) (,)(,).(,) . (,)(,).(,) n n nnnn G ，det0G 。 3、什么是函數(shù) f C a , b在區(qū)a , b上的 n 次最佳一致逼近多項式？ 解： 設( ) n px 為最佳逼近函數(shù)，則 f C a , b在區(qū)a , b上的 n 次最佳一致逼近多項式 * |( )( )| min|( )( )| n f xp xf xp x 取-范數(shù)，則 * |( )( )| minmax|( )( )| n a x b f xp xf xp x 4、什么是 f 在a , b 上的 n 次最佳平方逼近多項式？什么是數(shù)據(jù) m

3、i f 0 的最小二乘曲線擬 合？ 解： 設( ) n px 為最佳逼近函數(shù)，則 f C a , b在區(qū)a , b上的 n 次最佳平方逼近多項式 *22 |( )( )|min|( )( )| n f xp xf xp x 取 2-范數(shù)，則 *22 |( )( )|min ( )( ) b n a f xp xf xp xdx 問題：為什么選擇不同的范數(shù)求解？ 由于各種范數(shù)的收斂性保持一致，因此可以選擇最有利于求解的范數(shù)進行求解。 5、 什么是 a , b 上帶權 (x)的正交多項式？什么是 -1, 1 上的勒讓德多項式？它有什么重要 性質？ 解： 設( ) n x是 a , b 上首系數(shù)0

4、n a 的 n 次多項式，( )x為 a , b 上的權函數(shù)，如果多項式 序列( ) 0 n x 滿足如下關系式 0 (,)( )( )( )d b jkjk k a jk xxxx A jk ， 則稱多項式序列( ) 0 n x 為在 a , b 上帶權( )x正交，稱( ) n x為在 a , b 的帶權( )x 正交多項式。 當區(qū)間為 -1 ,1 ，權函數(shù)( )1x，由 2 1, ,. n x xx正交化得到的多項式稱為勒讓德多項 式 2 ! ( )(1) (2n)! n n n n nd Pxx dx . 主要性質有： 1）正交性 1 1 0 ( )( ) 2 21 mn mn P x

5、 P x dx mn n 2）奇偶性 ()( 1)( ) m mm PxP x 3）遞推關系 11 (1)( )(21)( )( ),1,2. nnn nPxnxP xnPx n 4）( ) n P x在區(qū)間-1,1上具有 n 個不同的實零點。 6、什么是切比雪夫多項式？它有什么重要性質？ 解： 當區(qū)間為 -1 ,1 ，權函數(shù) 2 1 ( ) 1 x x ，由 2 1, ,. n x xx正交化得到的多項式稱為切比 雪夫多項式 ( )cos( arccos ) n T xnx， 若零cos( )x，則 ( )cos() n T xn 重要性質有 1）遞推關系 11 01 ( )2( )( ),

6、1,2. ( )1,( ) nnn TxxT xTx n T xT xx 2）正交性 1 2 1 0 ( )( ) 0.50 1 0 mn nm Tx T x dxnm x nm 3） 2 ( ) n Tx只含 x 的偶次冪， 21( )n Tx 只含 x 的奇次冪。 4）( ) n T x在區(qū)間-1,1上具有 n 個零點 21 cos,1,2,3. 2 j j xjn n 5）( ) n T x的首項 n x的系數(shù)為 1 2,n1,2,. n 。 7、用切比雪夫多項式零點做插值得到的插值多項式與拉格朗日插值有何不同？ 答： 切比雪夫插值點恰好是單位圓周上等距分布點的橫坐標， 這些點在橫坐標接

7、近區(qū)間-1,1 的端點處是密集的；可使得插值區(qū)間最大誤差最小化；高次插值時可避免龍格現(xiàn)象，保證在 整個區(qū)間上都收斂。 最大的區(qū)別是： 切比雪夫多項式與拉格朗日插值多項式對插值點的要求不一致。 切比雪夫多項式要求插值點為切比雪夫多項式零點。 拉格朗日插值多項式對插值點無特殊要求。 8、什么是最小二乘擬合的法方程？用多項式做擬合曲線時，當次數(shù) n 較大時為什么不直接 求解法方程？ 答： 最小二乘擬合的法方程 0 ( ),( )( ( ),( ),0,1,., . n kjjk j xx af xxkn 多項式做擬合曲線時，當次數(shù) n 較大時，其法方程系數(shù)矩陣是高度病態(tài)，直接求解法方程是 相當困難的

8、。系數(shù)矩陣如下： 11/ 2.1/(1) 1/ 21/3.1/(2) . 1/(1)1/(2). 1/(22) n n H nnn 9、計算有理分式 Rmn (x)為什么要化為連分式？ 答： 1）在計算量相當?shù)那闆r下，有理逼近比多項式逼近精度高； 2）在計算機上計算有理逼近函數(shù)，使用連分式，可以節(jié)省乘除法的計算次數(shù)，同時編程簡 單。 10、哪種類型函數(shù)用三角插值比用多項式插值或分段多項式插值更合適？ 答： 在模型數(shù)據(jù)（如振動）具有周期性時，用三角函數(shù)特別是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)作為基函數(shù)更 合適。 11、對序列做 DFT 時，給定數(shù)據(jù)要有哪些性質？對 DFT 用 FFT 計算時數(shù)據(jù)長度有何要求？

9、答： 1）要求有周期性。 2） 使用 FFT 計算是，數(shù)據(jù)長度為2p 時計算最好。 12、判斷下列命題是否正確？ （1）任何 f (x) C a , b都能找到 n 次多項式 Pn (x) Hn，使| f (x) - Pn (x) | ( 為任給 的誤差限)。 （2） nn HxP)( * 是 f (x)在 a , b上的最佳一致逼近多項式，則)()(lim * xfxPn n 對 ,bax成立。 （3）f (x) C a , b在a , b上的最佳平方逼近多項式 Pn (x) Hn則)()(limxfxPn n 。 （4）)(P x n 是首項系數(shù)為 1 的勒讓德多項式， Qn (x) Hn

10、是任一首項系數(shù)為 1 的多項式， 則 11 22 11 P ( ) d( )d nn xxQxx 。 （5）)(T x n 是-1 , 1上首項系數(shù)為 1 的切比雪夫多項式。Qn (x) Hn是任一首項系數(shù)為 1 的多項式，則 .)(max)( max 1111 xQxT n x n x （6）函數(shù)的有理逼近（如帕德逼近）總比多項式逼近好 （7）當數(shù)據(jù)量很大時用最小二乘擬合比用插值好。 （8）三角最小平方逼近與三角插值都要計算 N 點 DFT，所以他們沒有任何區(qū)別。 （9）只有點數(shù)2pN 的 DFT 采能用 FFT 算法，所以 FFT 算法意義不大。 （10）FFT 算法計算 DFT 和它的逆

11、變換效率相同。 答： 1）使用勒讓德等正交函數(shù)基進行求解 n 次多項式，不存在病態(tài)問題，且一定有解。因此正 確。 2）最佳一致逼近的表達式為 * min| min m x| a | n n P H P Ha x b n n f xPxf xP x f xP x 正確。 3） 正確 4)根據(jù)最小二乘擬合公式判斷 2 2 2 0 00 * 2 0 min |min| |min| |min| ini i m p i mm p n p ii m p i iini ini fPf xPx f xPxf xPx f xPx 由于勒讓德多項式比任一首項系數(shù)為 1 的多項式擬合更準確。因此。其最小二乘和更小，

12、即 11 22 11 P ( ) d( )d nn xxQxx 因此，正確。 5）正確。書 P62。 6）正確，書 P79 7）正確。 8）當 n|a|-|b| 證： | max|( )( )| max|( )|( )| max|( )|max|( )| | fgf xg xf xg x f xg xfg 6、對 1 ( ), ( )C a,bf x g x ，定義 1） ，( , )( )( ) b a f gfx g x dx 2） ，( , )( )( )(a) (a) b a f gfx g x dxfg 問他們是否構成內積 本題考查內積的 4 個運算性質 （1）( , )( , )f

13、 gg f （2）(a, )a( , )f gf g （3）(, )( , )( , )fv gf gv g （4）( , )0f f ， 解： 1） ( , )( )( )( )( )( ,) bb aa f gfx g x dxg x fx dxg f (a, )( )( )( )( )a( , ) bb aa f gafx g x dxafx g x dxf g (, )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( , )( , ) b a b a bb aa fv gfxv x g x dx fx g xv x g x dx fx g x dxv x g

14、x dx f gv g 2 ( ,)( ) b a f ffxdx 令： 2 ( ) b a yfx dx 利用積分中值定理 有 2 2 2 2 ( ) ( )1 ( )1 ()( ) 0 b a b a b a yfxdx fxdx fdx ba f 其中 2 ()0,( )0baf，當( )0,fa b時，取等號。 ( )00, bb aa ffdxdxa b 因此。 ( , )( )( ) b a f gfx g x dx 是內積函數(shù)。 2）( , )( )( )(a) (a) b a f gfx g x dxfg ( , )( )( )(a) (a)( )( )(a) (a)( ,)

15、bb aa f gfx g x dxfgg x fx dxgfg f (a, )( )( )(a) (a)( )( )(a) (a)a( , ) bb aa f gafx g x dxafgafx g x dxfgf g (, )( , )( , )fv gf gv g (, )( )( )( )( (a)(a) (a) ( )( )( )( )(a) (a)(a) (a) ( )( )(a) (a)( )( )(a) (a) ( , )( , ) b a bb aa bb aa fv gfxv x g x dxfvg fx g x dxv x g x dxfgvg fx g x dxfgv

16、x g x dxvg f gv g 22 ( ,)( )(a)0 b a f ffx dxf 其中 2 ( )0 b a fx dx ,當( )0,fa b時，取等號。此時 ( )00, bb aa ffdxdxa b 所以 22 ( ,)( )(a) 00 0 b a f ffxdxf 因此，( , )( )( )(a) (a) b a f gfx g x dxfg 構成內積。 7、令 *( ) (21),0,1 nn TxTxx，試證 *( ) n Tx是在0,1上帶權 2 1 ( )x xx 的正交 多項式，并求 * 0 ( )Tx， * 1 ( )Tx， * 2 ( )Tx， * 3

17、( )Tx。 本題考查帶權多項式的求法 ( ) n T x 表示切比雪夫多項式?？疾?*( ) n Tx ， ( ) n T x 的區(qū)別。 首先需要將區(qū)間進行變換至切比雪夫多項式的區(qū)間-1,1. 解： 由( )(21),0,1 nn T xTxx可知，令 1 ,1,1 2 t xt ，則 1 ()( ),1,1 2 nn t TT t t 這題不會做。 8、對權函數(shù) 2 ( )1xx ，區(qū)間-1,1,試求首項系數(shù)為 1 的正交多項式( ) n x ，n=0,1,2,3 利用施密特正交化公式求解。 1 0 ( ( ),( ) ( )( ) ( ),( ) n n jn nj j jj x xx

18、xxx xx 解： 0( ) 1x 1 3 1 11 1 ( ( ) ,1) ( ) (1,1) xx x x xxxx dx 22 2 2 11 2222 2 11 11 2 11 2 ( ( ),1)( ( ), ) ( ) (1,1)( , ) (1)(1) 1 3 x xx xx xxx x x xxxxx xx dxx dx x 3332 32 3 22 111 3232322 32 111 111 222 111 3 ( ( ),1)( ( ), )( ( ),) ( ) (1,1)( , )(,) (1)(1)(1) 1 () 31 () 3 6 5 x xx xxx xx xx

19、xx x xxx xxxxxxxx xxx dxx dxxdx xx 可以驗算 1 01 1 ( ),( )0 xxxdx 1 23 02 1 1 11122 ( ),( )0 133333 xxxdxxx 1 342 03 1 1 613 ( ),( )0 1545 xxxxdxxx 1 342 12 1 1 613 ( ),( )0 1545 xxxxdxxx 1 4253 13 1 1 611 ( ),( )0 1555 xxxx dxxx 1 23642 23 1 1 16111 ( ),( )()()0 1356125 xxxxx dxxxx 9、試證明由（2.16）式給出的第二類切

20、比雪夫多項式族( ) n u x是-1,1上的帶權 2 ( )1xx的正交多項式。 這題不會做。 10、證明對每一個切比雪夫多項式( ) n T x，有 2 1 2 1 ( ) 2 1 n T x dx x 這題不會做。 11、用 3( ) T x 的零點做插值點，求( ) x f xe 在區(qū)間-1,1上的二次插值多項式，并估計其 最大誤差界。 解： 3( ) T x在區(qū)間-1,1上有 3 個零件。 21 cos,1,2,3 2 k k xk n 所以 1 2 3 13 cos 63 3 cos0 6 53 cos 63 x x x 拉格朗日二次插值有 012 020112 2 0101101

21、22011 33 33 332 22 33 2 2 ()()()()()() ( ) ()()()()()() 3333 ()()()() 3333 112 333 3 (33 )31() 2 1 (31.1.7813+0.5614732 )( xxx xxxxxxxxxxxx L xeee xxxxxxxxxxxx x xxxxx ee xx exxxe x xx 2 2 =8.6246 .732 )3 2.59901 1 2 x x xx 其誤差估計為 (1) 1012 2 ( ) ( )( )()()() (1)!6 33 ()() 633 1 () 63 n nn fe Rfwxxxx

22、xxx n e x xx e x x 轉而求 2 1 () 3 yx x在區(qū)間-1,1上的極值 32 11 ()30 33 yxxx ，解得 1 1,1 3 x 所以 2 121 max | | ()|, 3273 yx xx 2 ( ) 6278 0.03355 1881 9 1 x n eeee Rf 12、 設 2 ( )32,0,1f xxxx， 試求( )f x在0,1上關于( )1x，(1, )spanx 的 最佳平方逼近多項式，若取 2 (1, ,)spanx x ，那么最佳平方逼近多項式是什么？ 解： 當(1, )spanx 時， 1 01 1dx ， 1 0 1 2 xdx

23、， 1 2 0 1 3 x dx , 0 2 1 32 1323 2 326 dxxx ， 1 0 2 (32) 19 1 1 44 dxx xx 可知， 123 1 26 119 234 a b 寫成增廣矩陣有 123 1 26 119 234 123 1 26 14 0 1212 所以 11, 4 6 ab 所以 11 ( )4 ,0,1 6 g xx x 當 2 (1, ,)spanx x 時，其實就是本身，求解如下： 1 01 1dx ， 1 0 1 2 xdx ， 1 2 0 1 3 x dx , 1 3 0 1 4 x dx , 1 4 0 1 5 x dx 0 2 1 32 13

24、23 2 326 dxxx ， 1 0 2 (32) 19 1 1 44 dxx xx 1 0 22 (32 132 54 97 60 ) 3 xxxdx 可知， 1123 1 236 1119 2344 97111 60345 a b c 寫成增廣矩陣有 1123 1 236 1119 2344 11197 34560 1123 1 236 111 0 12123 1461 0 1245180 1123 1 236 111 0 12123 11 00 180180 所以 2,3,1abc 即為原方程。 13、求 3 ( )f xx在區(qū)間-1,1上關于( )1x的最佳平方逼近二次多項式 2 (

25、1, ,)spanx x 解： 1 11 2dx ， 1 1 0 xdx ， 1 2 1 2 3 x dx , 1 3 1 0 x dx , 1 4 1 2 5 x dx ， 1 5 1 0 x dx 有 2 10 0 3 22 00 35 220 0 35 a b c 寫成增廣矩陣有 2 100 3 22 00 35 22 00 35 2 100 3 22 00 35 2 000 45 所以 無解。 14、求函數(shù)( )f x在指定區(qū)間上對(1, )spanx 的最佳平方逼近多項式 1 (1) ( ),1,3 (2) ( ),0,1 (3) ( )cos,0,1 (4) ( )ln ,1,2

26、x f x x f xe f xx f xx 解： （1） ，區(qū)間為1,3 3 1 12dx ， 3 1 4xdx ， 3 2 1 26 3 x dx , 3 1 1 ln3dx x ，可知 24 ln3 26 24 3 a b 寫成增廣矩陣有 24ln3 26 42 3 24ln3 2 02(ln3 1) 3 所以 11ln3 6,3(ln3 1) 2 ab 其它的類似求解，注意區(qū)間的變化，其中 1 0 lnxxdx 、 1 0 cosxxdx 以用分部積分 進行求解。 不再進行計算，有時間再補充。 1 01 1dx ， 1 0 1 2 xdx ， 1 2 0 1 3 x dx , 1 0

27、1 lndxx x ， 1 0 2 (32) 19 1 1 44 dxx xx 15、( )sin 2 f xx ，在區(qū)間-1,1上按勒讓德多項式展開求三次最佳平方逼近多項式 由題意，為求 3 次最佳平方逼近，則 23 1, ,(31)/ 2,(53 )/ 2spanxxxx 則有 1 11 2dx ， 11.21.41.61.822.22.42.62.83 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 1 2 3 x dx 2242 52 1 1 1 1 11 (31) / 4(91 6) 2 2 1 4 1 9 () 4 5 5 dxdxxxx xxx 326

28、24 1 735 1 11 11 (53 ) / 4(25930) 36 2 1 4 1 25 () 47 7 xxxxxdxd x x xx 1 1sin 0 22 2 cosdxxx 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 sincos 22 cosco 2 2 () () 2 si s 22 2 n cos 2 2 xdxxd xdxxx d x x x x x 11 11 1 22 1 22 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 cos 1 () (31)/ 2sin(31) 22 (31)coscos(31) 22 cos(31) 2 cos 2 2 2

29、2 1 3 6 sin 6 sinsin 0 xxxx xxxx xx x dxd d d dx d d x xx xxx x 11 11 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 33 1 33 1 3 2 2 1 2 1 (53 )/ 2sin(53 ) 22 (53 )coscos(53 ) 22 cos 1 cos 1 () 1 1 1 (3) 16 (s (53 ) 2 (153)cos 2 15coscos 22 15con 22 is xxxxxx xxxxxx xxx xx x xx x dxd d d d ddx x xxdxx 1 22 1 1 22 1 2 1 2 2

30、2 1 2 ) 212 (sin) 3012 () 601 15 2 sin2sin 7 2 2 2 2 xx x d xdxxx 利用正交性有 1 1 0 xdx 2 1 1(3 1)/ 20dxx 3 1 1(5 3 )/ 20dxxx 1 1 2 (31)/ 20dxxx 1 1 3 (53 )/02xxdxx 1 3 1 2 (31)(5340)/ dxxxx 所以有 2 2 0 2 2 3 20 572 2 7 a b c d 有： 2 252 0,3,0,abcd 22 ( )(31)(53 ) 22 cd p xabxxxx ,，即為所求。使用 Matlab 作圖不正確。 16、

31、觀察物體的直線運動，得出以下數(shù)據(jù)： 時間 t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距離 s（米） 0 10 30 50 80 110 求運動方程。 解： 設運動方程為 2 ( )f xabxcx 有 2 (1, ,)spanx x 所以 61)(),( 6 1 11 i ii xx 6 12 1 ( ),( )14.7 iii i xxx 6 2 1322 1 ( ),( )( ),( )53.63 iiiii i xxxxx 6 3 23 1 ( ),( )218.907 iii i xxx 6 4 33 1 ( ),( )951.0323 iii i xxx 6 1 1 (

32、),( )280 iii i xf xy 。 6 2 1 ( ),( )1078 iiii i xf xy x ， 6 2 3 1 ( ),( )4533.2 iiii i xf xy x 。 故法方程為 2 .4533 1078 280 0323.951907.21863.53 907.21863.537 .14 63.537 .146 c b a ，解得 2488. 2 0814.11 5837. 0 c b a 。 故直線運動為 2 2488. 20814.115837. 0)(xxxf。 17、已知試驗數(shù)據(jù)如下： x 19 25 31 38 44 Y 19.0 23.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如 3 yabx 的經(jīng)驗公式，并計算均方誤差。 解：算法同上。 有 3 (1,)spanx 5 11 1 ( ),( )15 ii i xx 6 3 12 1 ( ),( )6859 1562529791 5487285184192331 iii i xxx 5 6 1322 1 ( ),( )( ),( ) 47045881244140625887503681 30109363847256313856 =11445940427 iiiii