實驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理第二部分.ppt

1、第三章 方差分析,3.1 數(shù)據(jù)處理的概念和意義,數(shù)據(jù)處理主要研究實驗測量或觀察數(shù)據(jù)分析計算的處理方法，從而得出可靠或規(guī)律性的結(jié)果。依據(jù)這個規(guī)律和結(jié)果對工業(yè)生產(chǎn)、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、天氣、地震等進行預(yù)報和控制，從而掌握和主宰客觀事物的發(fā)展規(guī)律，使之服從和服務(wù)于人類。 數(shù)據(jù)處理的方法很多，如參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析和回歸分析等。,3.2 方差分析的概述,方差分析(Analysis of Variance) 由英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，以F命名，故方差分析又稱 F 檢驗。,3.2.1 方差分析的概念和意義,方差分析的中心點是把實驗觀測數(shù)據(jù)總的波動分解為反映因素水平變化引起的

2、波動和反映實驗誤差引起的波動兩部分。 方差分析亦即把實驗觀測數(shù)據(jù)的總的偏差平方和（ST）分解為反映必然性的各個因素的偏差平方和（ SA、SB、SN）與反映偶然性的誤差偏差平方和（Se），并計算比較它們的平均偏差平方和，以找出對實驗觀測數(shù)據(jù)起決定性影響的因素作為進行定量分析判斷的依據(jù)。,方差分析能把實驗過程中實驗條件改變所引起的數(shù)據(jù)波動與實驗誤差引起的數(shù)據(jù)波動區(qū)分開，同時對影響實驗結(jié)果的各因素的重要程度給以精確的數(shù)量估計。 方差分析類型很多，概括起來有以下幾種： （1）單因素實驗的方差分析 （2）多因素實驗的方差分析 （3）正交實驗設(shè)計的方差分析 （4）SN比實驗設(shè)計法,3.2.2 單因素實驗的

3、方差分析,在一項實驗中，若只有一個因素的水平在改變，而其他因素的水平固定不變，這就叫做單因素實驗。 3.2.2.1 方差分析的基本思想 例 3.1 考察生產(chǎn)某化工產(chǎn)品時反應(yīng)溫度A（）對收率y（）的影響。為此，比較兩個反應(yīng)溫度A130，A240。,實驗號,水平,表 3.1 某化工產(chǎn)品收率實驗數(shù)據(jù)表,條件誤差：由于實驗條件的不同而引起的差異叫“條件誤差”。 實驗誤差：即同一條件（同水平）下，存在偶然因素而引起的差異叫“實驗誤差”，即“隨機誤差”。 為了考察某個因素對指標(biāo)的作用，必須將總誤差分解為條件誤差和實驗誤差，并比較之，作出因素對指標(biāo)的作用是否顯著的結(jié)論，這種分析方法稱為方差分析法。,條件誤差

4、、實驗誤差、總誤差之間有什么關(guān)系呢？,用全部10個實驗數(shù)據(jù)與總的平均值（75.7）之差的偏差平方和來估計總的誤差，這個平方和稱為總的偏差平方和，記為ST，即 ST(75-75.7)2 + (78-75.7)2 + (85-75.7)2 1294.10 用同一條件（水平）下5次實驗的數(shù)據(jù)與其平均值之差的偏差平方和來估計實驗誤差，即 對A1（30）條件下： S1(75-71.4)2 + (78-71.4)2 + (83-71.4)2 429.20 對A2 （40）條件下： S2(89-80.0)2 + (62-80.0)2 + (85-80.0)2 680.00 這兩個偏差平方和相加，反映了實驗誤

5、差的大小，稱為組內(nèi)偏差平方和或誤差平方和（Se）: Se S1 + S2 429.20 + 680.00 1109.20,用每種條件（水平）的數(shù)據(jù)平均值與總的平均值差的偏差平方和來估計條件誤差。因每種條件重復(fù)了5次，故將此平方和5倍，稱為組間偏差平方和或因素的偏差平方和（ SA ）： SA5(71.4 - 75.7)2 + 5(80.0 75.7)2 184.90 可以看出，此處有 ST SA + Se 184.90 + 1109.20 1294.10 即總的偏差平方和可以分解為組間偏差平方和與組內(nèi)偏差平 方和。,有了SA和Se之后，是否就能直接比較出由于因素水平的變化引起的數(shù)據(jù)波動與實驗誤差

6、引起的數(shù)據(jù)波動之間的差異呢？,偏差平方和不僅與數(shù)據(jù)本身有關(guān)，而且還與數(shù)據(jù)的個數(shù)有關(guān)。為此，必須消除數(shù)據(jù)個數(shù)的影響，采用平均偏差平方和SA/fA （組間方差）與Se/fe （組內(nèi)方差）進行比較，并以此作出推斷。其中，fA和fe分別稱為SA與Se的自由度（即偏差平方和式中獨立數(shù)據(jù)的個數(shù)）。 對Se而言，因為其中的10個數(shù)據(jù)滿足兩個關(guān)系式 (75+78+60+61+83)/5 = 71.4 (89+62+93+71+85)/5 = 80.0 所以Se的自由度fe =10-28.,對SA而言，因為其中的2個數(shù)據(jù)有一個關(guān)系式 (71.4+80.0)/2 = 75.7 所以SA的自由度fA = 2-1 =

7、 1. 對ST而言，因為其中的10個數(shù)據(jù)有一個關(guān)系式 (75+78+60+61+83+89+62+93+71+85)/10 = 75.7 所以ST的自由度fT = 10-1 = 9. 顯然 fT = fA + fe = 1+8 = 9. 如果平方和是由n項組成，它的自由度就是n1，如果一個平方和是由幾部分的平方和組成，則總的自由度等于各部分自由度之和。,計算F值：,然后對因素進行顯著性檢驗。 F值的大小，可以用來判斷因素水平對考察指標(biāo)影響的顯著性。F值接近1，說明因素水平改變對考察指標(biāo)的影響在誤差范圍內(nèi)，即水平間無顯著差異；F值越大，說明因素水平的改變對指標(biāo)的影響超過了實驗誤差造成的影響，即條

8、件誤差相對實驗誤差大得多。,F多大時，可以說因素的水平改變對考察指標(biāo)的影響是顯著的呢？小到多小，認(rèn)為實驗結(jié)果的誤差主要是實驗誤差引起的，這就需要有一個標(biāo)準(zhǔn)。這個標(biāo)準(zhǔn)由F表給出。,在F表上，橫行n1代表F值中分子的自由度，豎行n2代表F值中分母的自由度，相交后的數(shù)值即為F比的臨界值。,本例中，因,對0.05， 查得F0.05(1,8)5.3， 為置信度（顯著水平），表示在作出某種判斷時犯錯誤的概率。因F1.335.3 ，故可以認(rèn)為在水平0.05下，反應(yīng)溫度A對指標(biāo)收率的影響不顯著，或反應(yīng)溫度30和40對收率的影響沒有顯著差異，實驗結(jié)果出現(xiàn)的波動主要是由實驗誤差造成的。,3.2.2.2 單因素實驗

9、方差分析的一般步驟,設(shè)有一單因素實驗，因素A有m個水平，每個水平均重復(fù)k次實驗，水平Ai的第j次實驗值為xij (i=1,2, , m；j=1,2, , k )。,表3.2 數(shù)據(jù)計算表,Ti表示Ai水平下k次實驗數(shù)據(jù)的合計， 表示Ai水平下k次實驗數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。,共進行了mk次實驗，令n=mk，用T表示n個實驗值的總和，即,用 表示n個實驗值的總平均值，即,1.偏差平方和的分解,把整個實驗結(jié)果所得的每一個觀測值xij對其總平均值 求偏差平方和，用ST表示，可用下式計算：,I,II,III,式中I項是在同一條件（水平）下，k次實驗的數(shù)據(jù)與其平均值的偏差平方和，稱為組內(nèi)偏差平方和，因為它反映了

10、實驗過程引起的誤差，所以也稱誤差平方和，用Se表示。,式中II項,式中III項是每一種條件（水平）下，k次實驗數(shù)據(jù)的平均值與km次實驗總的平均值的偏差平方和，稱為組間偏差平方和，因為它反映了條件（水平）引起的誤差，所以也稱條件誤差。用SA或S1表示。,所以 ST Se+ SA,總偏差平方和分解公式,在實際計算中，往往先算出ST及SA，而Se由STSA求得。,2.平均偏差平方和與自由度,（1）自由度 令f、fe及fA分別為總自由度、組內(nèi)自由度和組間自由度，則,它們之間的關(guān)系為 f = fe + fA,偏差平方和的自由度分解式,（2）方差 令V、Ve和VA分別為總方差、組內(nèi)方差和組間方差，則,3.

11、用F檢驗法進行顯著性檢驗,為了計算方便，計算ST， Se， SA時經(jīng)常采用以下簡化公式,STRP， SeRQ， SAQP,例 3.2 某4個實驗室同用碘量法測定一種黃銅合金試樣中的銅含量，均測定5次，結(jié)果如下表所示。,試分析各實驗室的測定結(jié)果之間是否存在顯著性差異。,fe = n-m = 20-4 =16 fA = m-1=4-1=3 f = n-1 =20-1=19 f = fA+ fe =16+3=19,為了方便計算，可對數(shù)據(jù)進行簡化。將整數(shù)部分去掉（不影響計算結(jié)果）。,(1) 偏差平方和,ST Se SA 0.9278+1.7044=2.6322,(2) 方差,(3) F檢驗,(4) 方

12、差分析表,方差分析表,即各實驗室的測定結(jié)果之間存在顯著性差異。因此，實驗室間存在系統(tǒng)誤差，應(yīng)仔細(xì)查找原因，采取有效措施加以消除。,作業(yè),現(xiàn)有四種型號1、2、3、4的輪胎，欲比較各型號輪胎在運行20km后支撐瓦的磨損情況，為此，從每型號輪胎中任取四只，并隨機地安裝于四輛汽車上，汽車運行20km后，對各支撐瓦進行檢測得表中所示的數(shù)據(jù)，問四種型號的輪胎是否具有明顯的差別？,型號,實驗號,3.2.3 正交實驗設(shè)計方差分析的基本原理,在正交表上進行方差分析的基本步驟與格式如下: (1) 偏差平方和的計算與分解 現(xiàn)以L4（23）正交表上安排實驗來說明,列號,實驗號,L4（23）正交表,總的偏差平方和ST為

13、,化簡為,第一列各水平的偏差平方和,同理，第二列、第三列各水平的偏差平方和分別為,由此可得,L4（23）正交表總偏差平方和的分解公式,若將L4（23）正交表的第1列和第2列分別安排A、B因素，在不考慮AB的情況下，在第3列為誤差列。,一般地，若用正交表安排N個因素的實驗（包括存在交互作用因素），則有,要計算某因素的偏差平方和，只要把該因素所在列偏差平方和計算出來即可（交互作用的偏差平方和，同樣是它所在列的列偏差平方和），空白列的列偏差平方和就是誤差平方和。,今用正交表安排N個因素的實驗，設(shè)總的試驗次數(shù)為n，實驗結(jié)果為x1、 x2 、 、 xn，每個因素的水平數(shù)為m，每個水平做r次試驗（水平重復(fù)

14、數(shù)r），則n=mr。,稱為各數(shù)據(jù)平方之和,稱為修正項,因素的偏差平方和（如因素A）為,誤差的偏差平方和Se為,或者 Se=ST 各因素（含交互作用）的偏差平方和之和。,(2) 計算平均偏差平方和與自由度,平均偏差平方和,自由度分解公式,fT = 總的實驗次數(shù)-1n1 fA = 因素A的水平數(shù)-1m1 fB = 因素B的水平數(shù)-1 m 1 fe = fT (fA + fB ),若A、B兩因素存在交互作用，則SAB的自由度fAB等于兩因素自由度之積、即 fAB fA fB 此時， fe = fT (fA + fB + fAB ),(3) F值計算及F檢驗,例如，對因素A來說，當(dāng)FAF（ f1 ，f

15、2 ）時，如0.1，就有90的把握說因素A的水平改變對實驗結(jié)果有顯著影響。,根據(jù)正交表的特點，其方差分析可以按下述原則進行： 總的平方和恰好等于各列的平方和之和。方差分析的優(yōu)點是能把總平方和分解成因素與誤差平方和。 計算規(guī)格化。在正交設(shè)計中每個因素列（包括交互作用列和誤差列）的計算步驟完全一樣。因此，方差分析的基本計算可逐列進行。,3.2.4 正交實驗設(shè)計的方差分析,3.2.4.1 相同水平正交實驗設(shè)計的方差分析 例3.3 用兩種不同蒸養(yǎng)時間和振搗方式進行混凝土增強效果的比較試驗。試驗中的因素與水平列于下表。,因素,水平,因素水平表,要考慮A、B、C和AB、 AC、 BC對混凝土7天抗壓強度的

16、影響，并選擇較優(yōu)的生產(chǎn)工藝。,L8（27）試驗方案與極差計算結(jié)果,影響因素的主次順序 B A AB C AC BC,例3.4 對例3.3進行方差分析 解：按公式先算第1列的偏差平方和SA,其它各列的計算方法同上 各列自由度均為211，方差分析結(jié)果見下表,方差分析表,對因素進行F檢驗時，一般可考慮四種情況。 F F0.01(f因，fe)，則因素對結(jié)果的影響高度顯著。 F0.01(f因，fe) F F0.05(f因，fe)，則該因素對結(jié)果的影響為顯著。 F0.05(f因，fe) F F0.1(f因，fe)，則該因素對結(jié)果有影響。 F F0.1(f因，fe)，則該因素對結(jié)果無影響。 方差分析結(jié)果：A

17、和B對強度影響高度顯著，AB影響顯著，而C的影響不顯著。所以，對A和B的水平應(yīng)嚴(yán)格選取，而C的水平可以任取。 實驗誤差為：（Ve）1/2 = （62.7）1/2 =7.9kg/cm2,可見，方差分析的結(jié)論與極差法的結(jié)論不盡相同。顯然，由于方差分析利用了更多的信息，因此方差分析更加可靠、準(zhǔn)確。 注意 由于實驗誤差的方差Ve=Se/fe直接影響F值的大小。在fe很小時， F檢驗的靈敏度很低； fe太大，又要增加實驗次數(shù)，故一般fe在620之間最理想。 當(dāng)正交實驗安排表中空列不止一列，如為y列時，實驗誤差平方和Se應(yīng)等于總平方和ST減去各因素列平方和。 而相應(yīng)的自由度fe =y(因素的水平數(shù)1),3.2.4.2 不同水平正交實驗設(shè)計的方差分析 不同水平（混合型）正交表的方差分析與相同水平的正交表方差分析基本相同，只是在計算偏差平方和及自由度時，應(yīng)注意各列水平數(shù)的差別。,3.2.5 正交實驗的下一輪實驗設(shè)計,在完成了第一輪正交實驗后，通過不同的分析方法，至少可以得到三個優(yōu)秀方案。所獲得的可能最優(yōu)及可能更優(yōu)方案，都還沒有經(jīng)過實驗驗明，而且也還存在實驗誤差，因此正交試驗設(shè)計常常要進行第二輪、第三輪甚至更多次。 進行下輪實驗的目的： 首先是為了驗證