2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修1-1

1、3.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)生活中的優(yōu)化問(wèn)題1生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為_(kāi)2利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值3解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的_過(guò)程類(lèi)型一幾何中的最值問(wèn)題命題角度1平面幾何中的最值問(wèn)題例1某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場(chǎng)如圖，圓形廣場(chǎng)的圓心為O，半徑為100 m，并與北京路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M.點(diǎn)A為上半圓弧上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作l的垂線，垂足為點(diǎn)B.市園林局計(jì)劃在ABM內(nèi)進(jìn)行綠化設(shè)ABM的面積為S(

2、單位：m2)，AON(單位：弧度)(1)將S表示為的函數(shù)；(2)當(dāng)綠化面積S最大時(shí)，試確定點(diǎn)A的位置，并求最大面積反思與感悟平面圖形中的最值問(wèn)題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要研究與面積相關(guān)的最值問(wèn)題，一般將面積用變量表示出來(lái)后求導(dǎo)數(shù)，求極值，從而求最值跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在二次函數(shù)f(x)4xx2的圖象與x軸所圍成圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD，求這個(gè)矩形面積的最大值命題角度2立體幾何中的最值問(wèn)題例2請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀

3、的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AEFBx cm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x應(yīng)取何值？(2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值反思與感悟(1)立體幾何中的最值問(wèn)題往往涉及空間圖形的表面積、體積，并在此基礎(chǔ)上解決與實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題(2)解決此類(lèi)問(wèn)題必須熟悉簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積公式，如果已知圖形是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成，則要分析其組合關(guān)系，將圖形進(jìn)行拆分或組合，以便簡(jiǎn)化求值過(guò)程跟蹤訓(xùn)練2周長(zhǎng)為20 cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為_(kāi) cm3.類(lèi)型二實(shí)際生活中的最值問(wèn)題命題角度1利

4、潤(rùn)最大問(wèn)題例3已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷(xiāo)售完，每千件的銷(xiāo)售收入為R(x)萬(wàn)元，且R(x)(1)求年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，并求出最大值反思與感悟解決此類(lèi)有關(guān)利潤(rùn)的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系，常見(jiàn)的基本等量關(guān)系有：(1)利潤(rùn)收入成本；(2)利潤(rùn)每件產(chǎn)品的利潤(rùn)銷(xiāo)售件數(shù)跟蹤訓(xùn)練3某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷(xiāo)售量y(單位：千克)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式

5、y10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù)已知銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大命題角度2費(fèi)用(用料)最省問(wèn)題例4為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(

6、2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值反思與感悟(1)用料最省、成本最低問(wèn)題是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，解決這類(lèi)問(wèn)題要明確自變量的意義以及最值問(wèn)題所研究的對(duì)象正確書(shū)寫(xiě)函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答(2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問(wèn)題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f(x)0時(shí)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大(小)值跟蹤訓(xùn)練4某單位用2 160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該塊空地上建造一棟至少10層、每層2 000平方米的樓房經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建x(x10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為(56048x)元為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少

7、，該樓房應(yīng)建多少層？(注：平均綜合費(fèi)用平均建筑費(fèi)用平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用)1在某城市的發(fā)展過(guò)程中，交通狀況逐漸受到更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6時(shí)到9時(shí)，車(chē)輛通過(guò)該市某一路段的用時(shí)y(分鐘)與車(chē)輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似地用函數(shù)表示為yt3t236t，則在這段時(shí)間內(nèi)，通過(guò)該路段用時(shí)最多的時(shí)刻是_時(shí)2用長(zhǎng)為24 m的鋼筋做成一個(gè)長(zhǎng)方體框架，若這個(gè)長(zhǎng)方體框架的底面為正方形，則這個(gè)長(zhǎng)方體體積的最大值為_(kāi) m3.3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品， 固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是_4

8、要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器，已知底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_元5某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣(mài)出432件如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位：元，0x21)的平方成正比已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，每星期多賣(mài)出24件(1)將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？1利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)

9、，解方程f(x)0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值2正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問(wèn)題的主要思路另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫(xiě)出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；(2)與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系；(3)必要時(shí)注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用提醒：完成作業(yè)第3章3.4答案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1優(yōu)化問(wèn)題3數(shù)學(xué)建模題型探究例1解(1)BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos 100100cos ，(0，)則SMBAB100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0，)(2)S5 000(2cos2c

10、os 1)5 000(2cos 1)(cos 1)令S0，得cos 或cos 1(舍去)，此時(shí).當(dāng)變化時(shí)，S，S的變化情況如下表：(0，)(，)S0S極大值所以，當(dāng)時(shí)，S取得最大值為Smax3 750 m2，此時(shí)AB150 m，即點(diǎn)A到北京路一邊l的距離為150 m.跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,0)，且0x2，f(x)4xx2圖象的對(duì)稱軸為x2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4x,0)，BC42x，BAf(x)4xx2.矩形面積為y(42x)(4xx2)16x12x22x3，y1624x6x22(3x212x8)，令y0，解得x2，0x2，x2.當(dāng)0x0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)2x2時(shí)，y0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x

11、2時(shí)，矩形的面積有最大值.例2解(1)由題意知，包裝盒的底面邊長(zhǎng)為x cm，高為(30x)cm，所以包裝盒側(cè)面積為S4x(30x)8x(30x)8()28225，當(dāng)且僅當(dāng)x30x，即x15時(shí)，等號(hào)成立，所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x15.(2)包裝盒容積V2x2(30x)2x360x2(0x0，得0x20；令V0，得20x30.所以當(dāng)x20時(shí)，包裝盒容積V取得最大值，此時(shí)包裝盒的底面邊長(zhǎng)為20 cm，高為10 cm，包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為12.跟蹤訓(xùn)練2例3解(1)當(dāng)010時(shí)，WxR(x)(102.7x)982.7x，所以W(2)當(dāng)00；當(dāng)x(9,10時(shí)，W10時(shí)，W98(2.

12、7x)982 38，當(dāng)且僅當(dāng)2.7x，即x時(shí)，W取得最大值38.綜合知，當(dāng)x9(千件)時(shí)，W取得最大值為38.6萬(wàn)元答當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為38.6萬(wàn)元跟蹤訓(xùn)練3解(1)因?yàn)楫?dāng)x5時(shí)，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷(xiāo)售量y10(x6)2，所以商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.從而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)極大值42由上

13、表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)所以當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值為42.答當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大例4解(1)由題設(shè)知，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造費(fèi)用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5(x舍去)，當(dāng)0x5時(shí)，f(x)0；當(dāng)5x0，故x5為f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)6570.答當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元跟蹤訓(xùn)練4解設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)元，則f(x)56048x56048x，x10，f(x)48，令f(x)0，得x15.當(dāng)x15時(shí)，f(x)0；當(dāng)10x15時(shí)，f(x)0.所以當(dāng)x15時(shí)，f(x)取得最小值，即f(15)2 000.答為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建15層當(dāng)堂訓(xùn)練182.83.3004.1605解(1)設(shè)商品降價(jià)x元，則多賣(mài)的商品數(shù)為kx2.若記商品在一個(gè)星期的獲利為f(x)，則有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx