2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程疑難規(guī)律方法學(xué)案新人教B版選修2

1、第二章圓錐曲線和方程1使用橢圓的定義來解決問題橢圓的定義反映了橢圓的本質(zhì)特征，揭示了曲線的幾何性質(zhì)。如果定義使用得當(dāng)，有些問題可以達(dá)到事半功倍的效果。這里有一些例子來說明。1.尋求最大值例1線段| AB |=4，| pa | | Pb |=6，m是AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)p在同一平面內(nèi)移動(dòng)時(shí)，PM的最小長度為()公元前2年分析上，因?yàn)閨 pa | | Pb |=64=| ab |，p點(diǎn)的軌跡由橢圓定義為以m為原點(diǎn)、a和b為焦點(diǎn)的橢圓，a=3，c=2， b=。因此，顆粒物的最小長度為b=。答案三2.找到移動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)例2橢圓上兩個(gè)焦點(diǎn)F1和F2之間距離的最大乘積=1的點(diǎn)的坐標(biāo)是_ _ _ _ _ _ _

2、_ _。分析上，假設(shè)橢圓上的移動(dòng)點(diǎn)是p，這可以從橢圓的定義中得知|PF1|+|PF2|=2a=10，因此，| pf1 | | pf2 | 2=2=25，當(dāng)且僅當(dāng)| pf1 |=| pf2 |，取等號(hào)。經(jīng)過獲取| pf1 |=| pf2 |=5=a，此時(shí)，點(diǎn)p恰好是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，也就是說，這些點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，0)。答案(3，0)從橢圓的定義注釋中，我們可以得到“|PF1| |PF2|=10”，也就是說，兩個(gè)正數(shù)的和|PF1|和|PF2|是一個(gè)固定值，最大乘積|PF1|和|PF2|可以通過組合平均不等式得到，而點(diǎn)p的坐標(biāo)可以通過組合圖得到。3.找到焦點(diǎn)三角形區(qū)域例3如圖所示，已知橢圓方程為=

3、1。如果點(diǎn)p位于第二象限，并且pf1f2=120，則計(jì)算PF1F2的面積。解被稱為a=2，b=，所以c=1，| f1f2 |=2c=2。在PF1F2中，通過余弦定理，我們得到| pf2 | 2=| pf1 | 2 | f1 F2 | 2-2 | pf1 | | f1 F2 | cos 120，即| pf2 | 2=| pf1 | 2 4 2 | pf1 |，由橢圓定義，| pf1 | | pf2 |=4。即| pf2 |=4-| pf1 |。將替換為，得到| pf1 |=。因此=2=，也就是說，PF1F2的面積為。在PF1F2中，關(guān)于|PF1|、|PF2|的方程可以通過橢圓和余弦定理的定義得到

4、，并且|PF2|可以求解|PF1|可以消去。從上述問題中不難發(fā)現(xiàn)，我們首先應(yīng)該考慮用橢圓的定義來解決涉及橢圓上的點(diǎn)和橢圓的焦點(diǎn)的問題。2如何求橢圓的偏心率1.根據(jù)橢圓的定義計(jì)算偏心率例1以橢圓的焦距為直徑，通過兩個(gè)焦點(diǎn)的圓與橢圓在四個(gè)不同的點(diǎn)相交，這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)依次相連，形成一個(gè)正六邊形，所以橢圓的偏心率為_ _ _ _ _ _ _ _ _。如解析圖所示，假設(shè)橢圓方程為=1 (AB0)，半焦距為C，根據(jù)問題的含義，f1af2=90，f2f1=60。 | af2 |=c，| AF1 |=2cin 60=c。|AF1|+|AF2|=2a=(+1)c.e=-1.答案-1注釋本主題利用圓和規(guī)則六邊

5、形的幾何屬性，并結(jié)合橢圓的定義，使解決問題更容易。2.求解方程(組)以找出偏心率例2橢圓=1 (AB0)的左焦點(diǎn)是F1 (-c，0)，a (-a，0)和B(0，B)是兩個(gè)頂點(diǎn)。如果f1和直線ab之間的距離為0，橢圓的偏心率為e=_ _ _ _ _ _ _。解析圖顯示直線AB的方程為=1。也就是bx-ay ab=0。*從點(diǎn)f1 (-c，0)到直線AB的距離為，=， | a-c |=，即7a2-14ac 7c2=a2 B2。B2=a2-C2，結(jié)束后，5a2-14ac 8c2=0。兩個(gè)邊被a2分開，并且已知為e=，8e2-14e 5=0，解決方案是e=或e=(丟棄)?；卮?.利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算偏心率例

6、3在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓=1 (ab0)，圓o的半徑是a，通過點(diǎn)p是圓o的兩條切線，這兩條切線相互垂直，那么偏心率e=_ _ _ _ _ _ _。分析表明，切線PA和PB相互垂直，pa=Pb。OBPB的OAPA，四邊形OAPB是正方形，操作=辦公自動(dòng)化，也就是說，。回答4.綜合類別例4假設(shè)m是橢圓的頂點(diǎn)=1，F(xiàn)1和F2是橢圓的左右焦點(diǎn)。如果mf1f2=75，則mf2f1=15，計(jì)算橢圓的偏心率。解是由正弦定理得到的=，e=.對(duì)這個(gè)問題的評(píng)論可以推廣到如果mf1 F2=，mf2 f1=，那么橢圓e=的偏心率。3使用解決移動(dòng)點(diǎn)軌跡、偏心、最大值等問題時(shí)。在雙曲線中，如果雙曲線的定義能靈活運(yùn)用

7、，大問題就能變成小問題，事半功倍。1.找到移動(dòng)點(diǎn)的軌跡例1移動(dòng)圓c外接兩個(gè)固定圓C1: x2 (y-5) 2=1，C2:x2(y-5)2=16，得到移動(dòng)圓心c的軌跡方程。假設(shè)運(yùn)動(dòng)圓的中心是C(x，y)，半徑是r，因?yàn)橐苿?dòng)的圓c被兩個(gè)固定的圓包圍，因此即| cc2 |-| cc1 |=3 | c1c2 |=10，因此，點(diǎn)c的軌跡是雙曲線的上分支，聚焦于C1 (0，5)和C2 (0，5)，a=，c=5，所以B2=。因此，運(yùn)動(dòng)圓的中心c的軌跡方程是-=1(y1)。備注：根據(jù)運(yùn)動(dòng)圓與外切兩個(gè)固定圓的關(guān)系，可以很容易地得到| cc2 |-| cc1 |=3 | c1c2 |從而判斷C的軌跡是雙曲線的一個(gè)

8、分支，最后求出A和B就可以寫出軌跡方程。在這里，我們必須注意所尋找的軌跡是雙曲線的一個(gè)分支還是兩個(gè)分支。2.找到焦點(diǎn)三角形的周長例2:如果左焦點(diǎn)F1的直線穿過雙曲線-=1，左分支穿過點(diǎn)a和b，弦AB的長度為6，那么ABF2(F2是右焦點(diǎn))的周長為_ _ _ _ _ _。根據(jù)雙曲線的定義，| af2 |-| af1 |=8，| bf2 |-| bf1 |=8，這兩個(gè)公式相加得到| af2 | | bf2 |-(| af1 | | bf1 |)=| af2 | | bf2 |-| ab |=16。因此，| af2 | | bf2 |=16 6=22，因此，ABF2的周長為| af2 | | bf2

9、 | | ab |=22 6=28。答案28與焦點(diǎn)相關(guān)的三角形周長問題的注釋通常用雙曲線的定義來解決，在解決問題時(shí)要注意拼綴技巧。3.最大值問題例3眾所周知，f是雙曲線的右焦點(diǎn)-y2=1，p是雙曲線右分支上的一個(gè)移動(dòng)點(diǎn)，而不動(dòng)點(diǎn)m (4，2)用來求| pm | | pf |的最小值。讓雙曲線的左焦點(diǎn)為F，然后f (-2，0)，根據(jù)雙曲線的定義：| PF|-| PF |=2a=2，因此，| pf |=| pf |-2，因此，| pm | | pf |=| pm | | pf |-2，若要獲取| pm | | pf |的最小值，只有| pm | | pf |需要獲取最小值。從圖中可以看出，當(dāng)P，F(xiàn)

10、 和M共線時(shí)，| pm | | pf |的最小值為| MF |=2。因此，| pm | | pf |的最小值為2-2。關(guān)于這個(gè)問題，f的位置通過雙曲線的定義來轉(zhuǎn)換，然后根據(jù)共線性可以很容易地得到最小值。此外，學(xué)生可能會(huì)想：如果m坐標(biāo)變?yōu)閙 (1，1)，其他條件不變，如何求解？如果P是雙曲線左支上的一個(gè)移動(dòng)點(diǎn)，如何求解？4.找到偏心范圍例4:眾所周知，雙曲線的左右焦點(diǎn)-=1 (A0，b0)分別是F1和F2，點(diǎn)P在雙曲線的右分支上，并且| PF1 |=4 | PF2 |，所以試著找出雙曲線的偏心值范圍。解決方法是因?yàn)閨 pf1 |=4 | pf2 |，點(diǎn)p在雙曲線的右分支上，因此，如果| pf2

11、|=m，| pf1 |=4m，根據(jù)雙曲線的定義，| pf1 |-| pf2 |=4m-m=2a，因此，m=a .和| pf1 | | pf2 | | f1f2 |，即4m m 2c，所以mc，即ac，所以e=。和e1，所以雙曲偏心率的取值范圍是(1，)。關(guān)于這個(gè)問題的評(píng)論，利用雙曲線的定義和三角形的兩個(gè)邊的和與第三個(gè)邊的關(guān)系，建立了雙曲線的基本量A和C之間的不相等關(guān)系，從而可以巧妙地轉(zhuǎn)化和解決這個(gè)問題。拋物線的4個(gè)焦點(diǎn)弦例1如圖所示，ab是穿過焦點(diǎn)f的拋物線y2=2px (P0)的弦。如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB穿過A，M和B的中點(diǎn)M(x0，y0)垂直于拋物線的準(zhǔn)線l，并且垂直

12、的腳分別是A1，M1和B1，則可以得出以下重要結(jié)論：(1)直徑為AB的圓必須與準(zhǔn)線相切；(2) | ab |=2 (x0)(焦距與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系)；(3)| AB |=x1+x2+p；(4)點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的乘積是一個(gè)固定值，即x1x2=，Y1y2=-P2；(5)a1fb1f；(6)、和B1共線；(7)+=。以下第(7)條結(jié)論為例加以證明：證明了當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，也就是說，垂直于x軸，|FA|=|FB|=p，+=+=.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，直線AB的方程是y=k，并替換為y2=對(duì)這一結(jié)論的評(píng)論是拋物線穿過焦點(diǎn)的一個(gè)重要性質(zhì)。在解決問題時(shí)，我們不能忽視ABx軸心。例2假設(shè)f是

13、拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，a、b和c是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)。如果=0，則| | | |=_ _ _ _ _ _ _ _。分析上，讓A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)和F(1，0)。From=0，(x1-1) (x2-1) (x3-1)=0。即x1 x2 x3=3，|+|+|+| |=x1+x2+x3+p=6?；卮?求解曲線方程的5種常用方法曲線方程的求解方法是解析幾何的重要內(nèi)容，也是高考的一個(gè)常見考點(diǎn)。在求解曲線方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同的背景和曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇不同的思路和方法，以便簡單形象地解決問題。下面的文章探討了它的方法。1.定義方法在求解曲線方程時(shí)，如果運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足已知曲線

14、的定義，則可以根據(jù)設(shè)計(jì)條件和圖形的特點(diǎn)，利用平面幾何的知識(shí)找到定量關(guān)系，然后由曲線定義直接寫出方程。這種方法稱為定義方法。例1如圖所示，點(diǎn)a是一張圓形紙上的固定點(diǎn)，它不同于圓c的中心，移動(dòng)點(diǎn)m在圓周上。折疊紙張，使點(diǎn)m與點(diǎn)a重合，并設(shè)置折痕m與點(diǎn)n處的線CM相交?，F(xiàn)在將圓形紙張放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，并設(shè)置圓c: (x 1) 2 y2=4a2 (a1)，a (1，0)，并記下點(diǎn)n。(1)證明曲線e是橢圓，寫出a=2時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)讓直線L通過點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B，點(diǎn)A相對(duì)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)q .如果橢圓E的偏心率E，求點(diǎn)q的縱坐標(biāo)的取值范圍.(1)根據(jù)問題的含義，直線m是線段A

15、M的垂直平分線，|NA|=|NM|.|nc|+|na|=|nc|+|nm|=|cm|=2a2=|ac|，N軌跡是以c和a為焦點(diǎn)的橢圓，長軸長度為2a，焦距為2。當(dāng)a=2時(shí)，長軸長度為2a=4，焦距為2c=2。b2=a2-c2=3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是=1。(2)假設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1 (Ab0)。根據(jù)c (-1)，a2-B2=1，C(-1，0)，B(0，B)，直線l的方程是=1，即bx-y b=0。讓Q(x，y)，*點(diǎn)Q和點(diǎn)a (1，0)關(guān)于直線l對(duì)稱， y=消除了x。*偏心率e，e2，也就是說，。a24. B2 1 4，即b,* y=2，當(dāng)且僅當(dāng)b=1時(shí)，取等號(hào)。當(dāng)b=，y=。Y=。當(dāng)b=時(shí)，

16、 y 2。點(diǎn)q的縱坐標(biāo)的取值范圍是，2。2.直接法如果條件之間存在明顯的等價(jià)關(guān)系，或者等價(jià)關(guān)系可以用平面幾何知識(shí)導(dǎo)出，則調(diào)度點(diǎn)的軌跡方程可以通過“建立系統(tǒng)、設(shè)置點(diǎn)、制定公式、簡化和校核”五個(gè)步驟直接得到。這種“五步法”可以稱為直接法。例2:已知直線l1: 2x-3y 2=0，l2: 3x-2y 3=0。移動(dòng)圓m(中心和半徑在變化)與l1和l2相交，并且L1和L2在圓中切割的兩條線段的長度分別是固定值26和24。解如下：設(shè)M(x，y)，圓的半徑為r，M到l1和l2的距離分別為d1和d2。然后d 132=R2，d 122=R2，d-d=25，也就是說，2-2=25，中心m的簡化軌跡方程是(x 1)

17、 2-y2=65。備注：如果運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是某些幾何量的等價(jià)關(guān)系，通常用直接法求解，即這些關(guān)系可以直接轉(zhuǎn)化為包含運(yùn)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x和y的方程。3.待定系數(shù)法如果已知曲線(軌跡)的形狀，可以用待定系數(shù)法求解曲線(軌跡)方程。例3眾所周知，橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，f是焦點(diǎn)，a是頂點(diǎn)。如果橢圓的長軸為6，cosOFA=，則得到橢圓方程。解橢圓的長軸是6，cosOFA=，因此，點(diǎn)a不是長軸的頂點(diǎn)，而是短軸的頂點(diǎn)。所以| of |=c，| af |=a=3，=，因此c=2，B2=32-22=5。因此，橢圓的方程是=1或=1。4.相關(guān)點(diǎn)法(或替代法)如果點(diǎn)P的軌跡或曲線是已知的，并且某個(gè)關(guān)系可以是b例4如圖所示，從雙曲線x2-y2=1上的點(diǎn)q開始，引出垂直線l: x y=2，垂直腳為n，得到線段QN中點(diǎn)p的軌跡方程。分析假設(shè)P(x，y)，因?yàn)镻是QN的中點(diǎn)，所以q點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示，然后代入雙曲方程。假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(x0，y0)