2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明學(xué)案 理 北師大版

1、第二節(jié)不等式的證明【教材傳真】(教師專用)通過一些簡(jiǎn)單的問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法和分析法。(對(duì)應(yīng)于學(xué)生手冊(cè)的第206頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1.基本不等式定理1:假設(shè)a，bR，那么a2 B2 2ab。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。定理2:如果A和B是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)，等號(hào)成立。定理3:如果A，B a=b=c是正數(shù)，那么。當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C時(shí)，等號(hào)成立。定理4:(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an是n個(gè)正數(shù)，那么,當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2=.=An，等號(hào)成立。2.柯西不等式(1)柯西不等式的代數(shù)形式：如果a，b，c和d都是實(shí)數(shù)，那么(a2 B2) (C2 D2)

2、(AC BD) 2(當(dāng)且僅當(dāng)ad=BC，等號(hào)成立)。(2)柯西不等式的向量形式：設(shè)和是兩個(gè)向量，那么| | | | | |，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或者有一個(gè)實(shí)數(shù)k，那么=k，等號(hào)成立。(3)柯西不等式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3R，然后。(4)柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，那么(a a a) (b b b) (a1b1 a2b2 anbn) 2當(dāng)且僅當(dāng)bi3.不等式的證明方法證明不等式的常用方法包括比較、綜合和分析。(1)比較法：比較法和差分法的基礎(chǔ)是：步驟A-B0AB是：“產(chǎn)生差異變形判斷差異的符號(hào)”。變形是手段，而變形的目的

3、是判斷符號(hào)的不同。比較法：如果B0，如果你想證明AB，你只需要證明a 1。(2)綜合分析方法：綜合方法：利用一些已證明的不等式和不等式的性質(zhì)，導(dǎo)出待證明的不等式。這種方法叫做綜合法，即“因勢(shì)利導(dǎo)”的方法。分析方法：從待驗(yàn)證的不等式出發(fā)，分析使該不等式成立的充分條件，并將證明不等式轉(zhuǎn)化為判斷這些充分條件是否成立的問題。如果你能確定這些充分條件是可用的，你就能判斷原來(lái)的不等式成立。這種方法叫做分析方法，即“抓住結(jié)果和原因”的方法?；灸芰ψ晕覝y(cè)試1.(思考和分析)判斷下列結(jié)論的對(duì)錯(cuò)。(正確輸入“”，錯(cuò)誤輸入“”)(1)比較法應(yīng)該判斷公式的符號(hào)并得出結(jié)論。()(2)綜合方法是從原因到結(jié)果的思維方法。

4、它從已知的條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最終得出有待證明的結(jié)論。()(3)分析方法，也稱為反推證明法或保果原因法，從要證明的結(jié)論開始，逐步尋找結(jié)論成立的必要條件，最終達(dá)到已知條件或已證明的事實(shí)。()(4)在使用反證的方法時(shí)，“反假設(shè)”不能作為推理的條件。()回答 (1) (2) (3) (4)2.(教科書改編)如果A B 1，X=A，Y=B，那么X和Y之間的大小關(guān)系是()xy B.xyC.xyD.xyA x-y=a+-=a-b+=。ab 1，a-b 0表示a 1，所以 0，即x-y 0，所以x Y3.如果甲=-，乙=-，丙=-，那么甲，乙和丙的大小關(guān)系是()A.abcB.acbC.bcaD.cabA

5、 a=，b=，c=，這可以通過“分子”的物理化學(xué)得到。所以abc。假設(shè)a 0，b 0并且ln (a b)=0，則的最小值為_ _ _ _ _。TutorialNo。4從問題的含義來(lái)看，a b=1，a 0，b 0，所以=(a b)=22+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立。5.已知x 0和y 0，證明了(1 x y2) (1 x2 y) 9xy。證明因?yàn)閤 0和y 0，因此1 x2 y23 0，1 x2 y 3 0，因此，(1 x y2) (1 x2 y) 33=9xy。(對(duì)應(yīng)于學(xué)生手冊(cè)的第207頁(yè))用比較法證明不等式假設(shè)a 0和b 0，驗(yàn)證：。證明方法1:-()=+=+=0，+.方法2:因?yàn)?

6、-1-1=1。和a 0，b 0， 0，+.正則方法利用差分比較法證明不等式的步驟：(1)差分；(2)變形；(3)判斷差異的象征；(4)得出結(jié)論，其中“變形”是關(guān)鍵。通常，差被形成為因子相乘或平方和的形式，然后通過結(jié)合不等式的性質(zhì)來(lái)判斷差。注：商的比較方法有相似的步驟，但要注意它比較兩個(gè)正數(shù)的大小，商和“1”的大小應(yīng)該在步驟(3)中判斷?！靖櫯嘤?xùn)】(臨川一中，2018)甲乙，并驗(yàn)證：A4 6A2b2 B44AB (A2 B2)。證明因?yàn)锳4 6a2b2 B4-4ab (A2 B2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4。和ab，所以(a-b

7、) 40，因此a4 6a2b2 b44ab (a2 B2)。不等式證明的綜合方法(2017年國(guó)家卷二)已知a0，b0，A3 B3=2。證據(jù)：(1)甲(乙)(A5 B5)4；(2)a+b2。證明 (1)(甲)(乙)(A5 B5)=A6 AB5 A5B B6=(a3+B3)2-2 a3 B3+ab(a4+B4)=4+ab(a2-B2)24。(2)因?yàn)?a b) 3=a3 3a2b 3ab2 B3=2 3ab (a b)2+(a+b)=2+，因此，(a b) 3 8，所以a b 2。常規(guī)方法 1。綜合方法的本質(zhì)是從原因中引出結(jié)果。證明的邏輯關(guān)系是ab1b2 bnb (a是已知的條件或數(shù)學(xué)定義、定理和

8、公理，b是待證明的結(jié)論)，其常用的書面表達(dá)是“、”或“.2.用綜合方法證明不等式，應(yīng)著重分析已知與已驗(yàn)證之間的區(qū)別和聯(lián)系，以及不等式的左右兩端之間的區(qū)別和聯(lián)系。合理的變換和已知不等式的恰當(dāng)選擇是證明的關(guān)鍵。跟蹤訓(xùn)練知道a0，b0，a b=1，驗(yàn)證：(1)+8；(2)9。證明(1)*甲乙=1，a0，b0，+=+=2=2=2+44+4=8(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=，等號(hào)成立)， 8。(2)=1，從(1)開始 8。9.用解析法證明不等式(1)讓a、b、c0和ab BC ca=1，并驗(yàn)證a b c ;(2)設(shè)x1，y1，證明x y xy。TutorialNo。因?yàn)閍、b、c0、因此，有必要證明，只要證明(a

9、b c) 2 3。即a2 B2 C2 2 (ab BC ca) 3。和ab BC ca=1，因此，應(yīng)證明a2 B2 C2 2 (ab BC ca) 3 (ab BC ca)。也就是說，a2 B2 C2 ab BC ca。ab BC ca =a2 B2 C2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立)。因此，原來(lái)的不等式成立。(2)因?yàn)閤1和y1，為了證明x y xy，僅證明xy (x y) 1 y x (xy) 2。因?yàn)閥 x (xy) 2-xy (x y) 1=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y)=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(

10、x-1)(y-1)，X1，y1，因此，(xy-1) (x-1) (y-1) 0，因此，要證明的不等式是有效的?！境Ｒ?guī)方法】用解析法證明不等式的注意事項(xiàng)：用解析法證明不等式時(shí)，不要把“反求”誤認(rèn)為“反推”。分析方法的過程只需要尋求充分條件，而不是充分必要條件。也就是說，分析方法的思維是逆向思維，所以在證明問題時(shí)，要正確使用“證明”和“只需要證明”等連接性“關(guān)鍵詞”。跟蹤培訓(xùn) (2018廣州綜合測(cè)試(2) (1)已知A B C=1，證明：(A 1) 2 (B 1) 2 (C 1) 2 ;(2)如果不等式| x-a | | 2x-1 | 2適用于任意實(shí)數(shù)x，則得到實(shí)數(shù)a的取值范圍。證明 (1)方法1

11、:因?yàn)榧滓冶?1，因此，(a1)2(B1)2(C1)2=a2 B2 C2 2(a b c)3=a2 B2 C2 5。因此，有必要證明(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 ,只要證明A2 B2 C2 即可。因?yàn)锳2 B2 C2=(公元前)2-2(公元前公元前)(a+b+c)2-2(a2+b2+c2)，因此，3 (a2 B2 C2) (a b c) 2。因?yàn)榧滓冶?1，A2 B2 C2 。因此，(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 。方法2:因?yàn)閍 b c=1，因此，(a1)2(B1)2(C1)2=a2 B2 C2 2(a b c)3=a2 B2 C2 5。因此，有必要證明(a

12、 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 ,只要證明A2 B2 C2 即可。因?yàn)閍2 a，B2 b，C2 c，因此，a2 B2 C2(a b c)。因?yàn)榧滓冶?1，A2 B2 C2 。因此，(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 。方法3:因?yàn)?a 1) 2 (a 1)，(b+1)2+(b+1)，(c+1)2+(c+1)，因此，(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 (a 1) (b 1) (c 1)。因?yàn)閍 b c=1，因此，(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 。(2)讓f (x)=| x-a | | 2x-1 |，那么“不等式| x-a | | 2x-1 |

13、2適用于任何實(shí)數(shù)x”等價(jià)于“f (x) min 2”。當(dāng)a，f (x)=此時(shí)，f (x)最小值=f=-a，要保持| x-a | | 2x-1 | 2，需要-a 2。解決方案是-。當(dāng)a=，f (x)=| 2x-1 |=3 2，即不能成立。當(dāng)a，f (x)=此時(shí)，f (x)最小值=f=a，要保持| x-a | | 2x-1 | 2，需要一個(gè)- 2。解決方案是a。綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?？挛鞑坏仁降膽?yīng)用x，y和z都是實(shí)數(shù)。(1)如果x y z=1，驗(yàn)證：3；(2)如果x 2y 3z=6，求x2 y2 z2的最小值。解決方案 (1)證明：因?yàn)?2)(12 12 12)(3x 1 3Y 2 3Z 3)=27。So 3。當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=，z=0時(shí)，取等號(hào)。(2)因?yàn)?=x 2y 3z ,因此，x2 y2 z2 當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=，y=，z=，x2 y2 z2具有最小值。法律方法 1。用柯西不等式證明的關(guān)鍵是適當(dāng)變形，使之成為它的結(jié)構(gòu)形式。當(dāng)一個(gè)公式的形式與柯西不等式的左側(cè)或右側(cè)相同時(shí)