修改 第十一講阿波羅尼奧斯與圓錐曲線ppt課件

1、,第十一講阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論,斐波那契數(shù)是大自然的模式之一。 圓錐曲線是宇宙的基本形式 人類用數(shù)學(xué)刻畫大自然和宇宙！,3,知識(shí)的邏輯順序與歷史順序有時(shí)是不同的.學(xué)與教都應(yīng)該重視這一點(diǎn)：在注意知識(shí)的邏輯順序時(shí)，同時(shí)注意知識(shí)的歷史順序,阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論,切竹筍圓錐曲線的模型,圓,橢圓,拋物線,雙曲線,伸開你的雙手，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 會(huì)與你曾經(jīng)學(xué)過的“圓錐曲線”有關(guān)嗎？,手掌指關(guān)節(jié)分布特點(diǎn)的數(shù)學(xué)研究,你對(duì)“圓錐曲線”還有多少回憶？ “圓錐曲線”的例子你還能舉出一些嗎？,圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標(biāo)系，它們又與二次方程對(duì)應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是

2、幾何學(xué)研究的重要課題之一，在我們的實(shí)際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。,一、圓錐曲線的由來與阿波羅尼奧斯,對(duì)于圓錐曲線的最早發(fā)現(xiàn)，眾說紛法。 有人說，古希臘柏拉圖學(xué)派的梅內(nèi)赫莫斯為了解決當(dāng)時(shí)的一個(gè)著名難題立方倍積問題，即用圓規(guī)直尺作圖的方法，把任意正立方體的體積擴(kuò)大一倍。 在求解“立方倍積”問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：設(shè)x、y為a和2a的比例中項(xiàng)，即。a：xx：yy：2a，則 這就是立方倍積。,他用直角三角形旋轉(zhuǎn)得到直角圓錐曲面，再用 想用“直角圓錐曲線”在理論上解決“立方倍積問題”，但未獲成功。 此后，他便撇開“立方倍積問題”，專門研究圓錐曲線。 【思考】值得我們學(xué)習(xí)，必要時(shí)在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上

3、調(diào)整研究方向。,設(shè)直角圓錐的軸三角形VBC是等腰直角三角形，頂角V是直角，過母線VB上一點(diǎn)A用垂直于VB平面圓錐面，其交線QAR為直角圓錐截線。 過交線QAR 上任一點(diǎn)P作平面垂直于軸VO，它與軸截面VBC交于DE，與圓錐交于以DE為直徑的圓DPE，由于平面DEP和AQR均垂直于平面BVC,故交線PNDE于是NP2 = DNNE。 作AF/DE,FG DE,如圖。 因?yàn)锳FG NAD。于是 FAND = AGAN, 又NE = AF, 于是NP2 = DNNE = DNFA = AGAN. 記AN = x,NP = y，AG是與點(diǎn)A 位置有關(guān)的定線段記為b。于是上式可寫為 y2 = bx,用解

4、析幾何的說法便是：曲線上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方等于相應(yīng)的橫坐標(biāo)乘上一個(gè)正數(shù)(正焦距)，這正是拋物線的性質(zhì)。 若設(shè)VA=a，那么 AG = AF= VA= 2a。 這樣就得到 y2 = 2ax, 這也正是解析幾何學(xué)中拋物線的解析式,鈍角圓錐面； 鈍角圓錐曲線 （雙曲線的一支）。,銳角圓錐面； 銳角圓錐曲線（橢圓）,直角圓錐面； 直角圓錐曲線（拋物線）,思考：橢圓、拋物線、雙曲線在古代分別稱為？,他分別得到銳角、鈍角圓錐曲面，同樣用垂直于母線的平面去截圓錐曲面，得到的截線分別稱為銳角圓錐曲線（橢圓），鈍角圓錐曲線（雙曲線的一支）。 【注意】梅內(nèi)赫莫斯得到的三種圓錐曲線分別以三種不同的圓錐曲面為基礎(chǔ)

5、得到。這就給后人留下了繼續(xù)研究的余地。 收獲1：我們看到了由體到面到線的例子，小學(xué)數(shù)學(xué)先安排認(rèn)識(shí)“體”，再認(rèn)識(shí)“面”。為何？ 收獲2：“體面”新說？,這引起了許多希臘數(shù)學(xué)家的興趣，他們開始對(duì)圓錐曲線作深入的研究，其中包括阿里斯泰奧斯、歐幾里得、阿基米德等人。他們的研究為系統(tǒng)的圓錐曲線理論的最終形成積累了大量的資料， 將圓錐曲線理論進(jìn)行整理、深化的任務(wù)歷史性的落在了阿波羅尼奧斯身上 （聯(lián)想：站在巨人的肩膀上?。?阿波羅尼奧斯(Apollonius，約公元前262年-公元前190年)，希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。阿波羅尼奧斯年輕時(shí)曾在亞歷山大求學(xué)，后來長(zhǎng)期在那里生活。他將前人研究圓錐曲線取得的成果加以總

6、結(jié)，在自己進(jìn)一步思考的基礎(chǔ)上，寫成圓錐曲線論這一經(jīng)典名著，被稱為古希臘研究幾何學(xué)的登峰造極之作。阿拉伯和西歐的許多數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)長(zhǎng)期將它奉為必讀經(jīng)典。,還有現(xiàn)實(shí)意義！,阿波羅尼奧斯不拘泥于古已有之的內(nèi)容和方法， 富于想像， 大膽創(chuàng)新， 正如他自己所說的： “模仿只會(huì)仿制他所見到的事物， 而想像則能創(chuàng)造他所沒有見過的事物。,阿波羅尼奧斯以前的數(shù)學(xué)家研究圓錐曲線都是從三個(gè)頂角不同的圓錐出發(fā)來考慮的。梅內(nèi)赫莫斯在嘗試解決倍立方體問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。他將圓錐分為三類： 若兩條母線的最大交角是銳角，圓錐稱為銳角圓錐； 若兩條母線的最大交角為直角，圓錐稱為直角圓錐； 若為鈍角，圓錐稱為鈍角圓錐。 用一個(gè)

7、垂直于一條母線的平面截圓錐，所得截線，分別稱為銳角圓錐曲線、直角圓錐曲線和鈍角圓錐曲線。,啟示：創(chuàng)新意識(shí)和能力,阿波羅尼奧斯改進(jìn)了梅內(nèi)赫莫斯的方法，他從一個(gè)圓錐出發(fā)，用一個(gè)平面與圓錐的母線成不同角度截圓錐，就可以得到三種圓錐曲線： 截面與所有母線都相交，截線為橢圓； 截面與一條母線平行，截線為拋物線； 截面與軸線平行就可以使得截線為雙曲線的一支。他分別將這三種圓錐曲線命名為：“齊曲線”(拋物線)、“虧曲線”(橢圓)、“超曲線”(雙曲線)。阿波羅尼奧斯首先注意到了雙曲線有兩支，并且是有心曲線。另外，他還研究了二次曲線的切線問題和點(diǎn)的軌跡問題。 【思考】阿波羅尼奧斯為什么會(huì)這樣去改進(jìn)？是否與數(shù)學(xué)思

8、維方法：“特殊化與一般化”，“一般化精神”有關(guān)？,考察不同傾斜角的平面截圓錐其切口所得到的曲線，也就是說如果切口與底面所夾的角小于母線與底面所夾的角，則切口呈現(xiàn)橢圓；若兩角相等，則切口呈現(xiàn)拋物線；若前者大于后者，則切口呈現(xiàn)雙曲線。,阿波羅尼奧斯將圓錐曲線的性質(zhì)總結(jié)得如此全面，以致使得后人在很長(zhǎng)一段時(shí)間里沒有可以突破的余地，直到17世紀(jì)，帕斯卡、笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，用新的方法進(jìn)行研究才打破了這一僵局，將圓錐曲線研究作了實(shí)質(zhì)性的推進(jìn)。 思考：高中所學(xué)圓錐曲線從何開始？,早期對(duì)圓錐曲線進(jìn)行系統(tǒng)研究成就最突出的可以說是古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼（Apollonius,前262前190）。他與歐幾里得是同時(shí)代

9、人，其巨著圓錐曲線與歐幾里得的幾何原本同被譽(yù)為古代希臘幾何的登峰造極之作。在圓錐曲線中，阿波羅總結(jié)了前人的工作，尤其是歐幾里得的工作，并對(duì)前人的成果進(jìn)行去粗存精、歸納提煉并使之系統(tǒng)化的工作，在此基礎(chǔ)上，又提出許多自己的創(chuàng)見。全書8篇，共487個(gè)命題，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，以致后代學(xué)者幾科沒有插足的余地達(dá)千余年。,阿波羅尼奧斯還作了論切觸一書，在書中，他提出了著名的“阿波羅尼奧斯切圓問題”：給定三個(gè)圓（或圓的變種：點(diǎn)和直線，但三個(gè)點(diǎn)必須不共線，三條直線不能平行)，求作一圓，使之與它們?nèi)枷嗲小Ｔ谔煳膶W(xué)方面，阿波羅尼奧斯也作出了許多貢獻(xiàn)。他是定量地研究天文學(xué)的早期學(xué)者之一。為了解釋行星的運(yùn)動(dòng)，

10、他引進(jìn)了偏心圓運(yùn)動(dòng)和本輪運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。另外，他還曾經(jīng)找到了一種確定行星在運(yùn)動(dòng)軌道上停下來作逆行運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的方法。 偉大的古代數(shù)學(xué)家！,焦點(diǎn)名稱的由來,阿波羅尼奧還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡反射的光線全部通過另一個(gè)焦點(diǎn)F。熱也和光一樣發(fā)生反射，所以這時(shí)便會(huì)被烤焦，這也就是焦點(diǎn)名稱的由來。據(jù)說這一發(fā)現(xiàn)是他在研究橢圓的作法（也就是現(xiàn)行教材中一開始介紹的作法）時(shí)得出的。,我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運(yùn)行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。如果這些行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物

11、線或雙曲線運(yùn)行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個(gè)原理。相對(duì)于一個(gè)物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道了。 因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。 （猜想1：圓錐曲線可以轉(zhuǎn)化！拋物線也有兩個(gè)焦點(diǎn)！ 猜想2：火箭的發(fā)射速度應(yīng)該與欲送入太空的航天器運(yùn)行軌道有關(guān)！ （聯(lián)想：斐波那契數(shù)是大自然的一種模式！）,圓錐曲線真正從后臺(tái)走上前臺(tái)，從學(xué)術(shù)的象牙塔中進(jìn)入現(xiàn)實(shí)生活的世界里，應(yīng)歸功于德國天文學(xué)家開普勒（公元1571年1630年），開普勒在長(zhǎng)期的天文觀察及對(duì)記錄的數(shù)據(jù)分析中，發(fā)現(xiàn)了著名的“開普勒三定律”，其中第一條是：“行星在包含太陽的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)

12、，劃出以太陽為焦點(diǎn)的橢圓”， 就這樣，梅納赫莫斯和阿波羅尼奧斯出于數(shù)學(xué)愛好而研究的曲線在近2000年之后于天文學(xué)的舞臺(tái)上登場(chǎng)了。 后來哈雷又利用圓錐曲線理論及計(jì)算方法準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到哈雷彗星與地球最近點(diǎn)的時(shí)刻，1758年在哈雷逝世16年之后，哈雷彗星與地球如期而遇，這引起了全歐洲、乃至全世界的轟動(dòng)，也進(jìn)一步推動(dòng)人們對(duì)圓錐曲線研究興趣的提升。 聯(lián)想：還有那顆星的發(fā)現(xiàn)是與數(shù)學(xué)有關(guān)的,由拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，可得到一個(gè)叫做旋轉(zhuǎn)拋物面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個(gè)軸上有一個(gè)具有奇妙性質(zhì)的焦點(diǎn)，任何一條過焦點(diǎn)的直線由拋物面反射出來以后，都成為平行于軸的直線。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋

13、物面的道理。由雙曲線繞其虛軸旋轉(zhuǎn)，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內(nèi)母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。人們?cè)谠O(shè)計(jì)高大的立塔時(shí)，就采取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅(jiān)固。由此可見，對(duì)于圓錐曲線的價(jià)值，無論如何也不會(huì)估計(jì)過高。,二、圓錐曲線的定義,從分開定義到尋找統(tǒng)一定義尋求“統(tǒng)一美”。 教材中是從平面曲線走向空間曲線，而歷史上是從空間曲線走向平面曲線的。 教材中有些知識(shí)的邏輯順序與發(fā)現(xiàn)它的歷史順序是不同的 學(xué)習(xí)本段的意義？,又一次欣賞數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一美”！ 回憶：前面介紹過哪些數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美？,三、圓錐曲線的方程和性質(zhì),高中已經(jīng)學(xué)習(xí),圓錐曲線的轉(zhuǎn)化及實(shí)際意義！ 拋物線

14、有沒有第二個(gè)焦點(diǎn)？,圓錐曲線的應(yīng)用,1.在天文學(xué)方面的應(yīng)用,宇宙論的演變,十五世紀(jì)前后，歐洲人普遍認(rèn)為地球是位于宇宙的中心的。,地球就被十一層天球所包圍。,宇宙論的演變,在 1543 年，哥白尼提出了日心說的理論。,開普勒的行星定律,開普勒（1571 1630）,開普勒的行星定律,開普勒的行星定律是以布拉赫數(shù)十年對(duì)于行星運(yùn)行的觀察數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，,再花十多年功夫才找到一個(gè)吻合布拉赫數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型。 他終于在 1609 年完成了火星運(yùn)行的數(shù)學(xué)理論。,開普勒的行星定律,第一定律：行星沿橢圓軌道道繞太陽運(yùn)行，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)之上。,第二定律：在相等時(shí)間內(nèi)，連接每顆行星與太陽的向徑所掃過的面積皆相等

15、。 （怎么證明？） 第三定律：每顆行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期的平方與它們到太陽的平均距離的立方成正比。,發(fā)射速度與軌道形狀的關(guān)系,開普勒的行星定律,開普勒的發(fā)現(xiàn)，為圓錐曲線的研究加添上一層實(shí)際的意義。,圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),即橢圓的光學(xué)性質(zhì)、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)和拋物線的光學(xué)性質(zhì)。1：橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過橢圓周上反射后，反射都經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)。在圓錐曲線的定義中的定點(diǎn)，之所以稱作為焦點(diǎn)，是源于它們的光學(xué)上聚焦性質(zhì)設(shè)一個(gè)鏡面的軸截面的廓線是橢圓，那么當(dāng)你把一個(gè)射線源置于定點(diǎn)F1處，所有射線通過橢圓反射后，都會(huì)集中到另一個(gè)定點(diǎn)F2；反過來也是一樣射線集中現(xiàn)象在光學(xué)上稱

16、為聚焦，因此自然稱這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2為焦點(diǎn)了橢圓的這種光線特性，常被用來設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在F1處放置一個(gè)熱源，那么紅外線也能聚焦于F2處，對(duì)F2處的物體加熱,2.在光學(xué)方面的應(yīng)用,2：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：如果光源或聲源放在雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2處，光線或聲波射到雙曲線靠近F2的一支上，經(jīng)過反射以后，就從另一個(gè)焦點(diǎn)F1處射出來一樣。 雙曲線的光學(xué)性質(zhì)同樣也有聚焦性質(zhì)，但它是反向虛聚焦，即置于雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)處的射線源，被雙曲線反射后，其反射線的反向延長(zhǎng)線，必定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用,拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或

17、聲波在經(jīng)過拋物線周上反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸。把拋物線看作為一個(gè)焦點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處的“橢圓”，橢圓從一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的射線，聚焦到另一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓的光學(xué)特性，表現(xiàn)在拋物線上，形式就與橢圓大不相同了：設(shè)想射線源在位于無窮遠(yuǎn)處的那個(gè)焦點(diǎn)處，無窮遠(yuǎn)處出發(fā)的射線，經(jīng)拋物線反射后，到達(dá)位于有限位置的另一個(gè)焦點(diǎn)，但無窮遠(yuǎn)處出發(fā)的射線，在處于有限位置的你看來，只能是平行于對(duì)稱軸的射線束(例如太陽雖然離開地球很遙遠(yuǎn)，但畢竟還沒有在無窮遠(yuǎn)處，就這樣，我們都已經(jīng)覺得太陽光線是平行的，而不是像燈泡那樣是散射的光線),因此平行于對(duì)稱軸的射線經(jīng)拋物線反射，必定聚焦于焦點(diǎn)反之把射線源置于拋物線的焦點(diǎn)(它在有限位置處

18、)，經(jīng)拋物線反射后，所有的射線也要聚到在無窮遠(yuǎn)處的那個(gè)焦點(diǎn)去，因此反射射線也只能是平行于對(duì)稱軸的，即從焦點(diǎn)發(fā)出的射線，經(jīng)拋物線反射后成為平行于對(duì)稱軸的射線束,拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線的對(duì)稱軸方向，控制照射方向衛(wèi)星通訊像碗一樣的接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號(hào)射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點(diǎn)，把

19、對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的,這三個(gè)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在生活中有著很廣泛的應(yīng)用。一只小燈泡發(fā)出的光，會(huì)分散地射向各方，但把它裝在手電筒里，經(jīng)適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)，就能射出一束比較強(qiáng)的平行光，這是為什么呢？原因就是手電筒內(nèi)，在小燈泡后面有一個(gè)反光鏡，它的形狀是拋物面，而它的作用就是能把由焦點(diǎn)發(fā)出的光線，以平行光（平行拋物面的軸）射出。探照燈也是利用這個(gè)原理做的。,再根據(jù)光的可逆性，可以設(shè)計(jì)出用于加熱水和食物的太陽灶。在太陽灶上裝有一個(gè)可旋轉(zhuǎn)拋物面形的反光鏡，當(dāng)它的軸與太

20、陽光線平行時(shí)，太陽光線經(jīng)反射后集中于焦點(diǎn)處，這一點(diǎn)的溫度就會(huì)很高。其他如聚光燈、雷達(dá)天線、衛(wèi)星天線、射電望遠(yuǎn)鏡等也都是利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)原理制成的。,還有，電影放映機(jī)的聚光燈有一個(gè)反射鏡，它的形狀是旋轉(zhuǎn)橢圓面。為了使片門（電影膠片通過的地方）處獲得最強(qiáng)的光線，聚光燈泡與片門應(yīng)分別對(duì)應(yīng)于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)處，,由于水波、聲波和光波都是波的一種形式，因此有很多類似的性質(zhì)。如對(duì)水波遇到橢圓面、雙曲線線面及拋物面的反射情況進(jìn)行分析：為了使在展覽廳走動(dòng)的游客們都能聽清講解員的解說，根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及聲波的相關(guān)原理，展覽廳常設(shè)計(jì)為橢圓形；圓錐曲線因其方程簡(jiǎn)單，線型多變美觀，且具有某些很好的力學(xué)性質(zhì)，因此在建筑方面也不乏應(yīng)用；特別是流行于當(dāng)前的大型薄殼頂棚建筑，其縱剖線很多就是圓錐曲線 圓錐曲線