第1章建立數(shù)學(xué)模型.ppt

1、第一章建立數(shù)學(xué)模型，1.1從真實物體到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的意義1.3數(shù)學(xué)建模的例子1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型的特征和分類1.6如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，玩具，照片，飛機(jī)，火箭模型，物理模型，水箱中的船，風(fēng)洞中的飛機(jī)，物理模型，地圖，電路圖，分子結(jié)構(gòu)圖，符號模型，以及模型是為了某種目的而簡化，抽象和提煉一部分客觀事物的原型的替代品。模型反映了人們在原型中需要的特征。1.1從實物到數(shù)學(xué)模型，我們常見的模型，你們遇到的數(shù)學(xué)模型，“航行問題”，用X表示船速，用Y表示船速，并列出方程式：甲：船速為20公里/小時，甲、乙雙方的距離為750公里。船舶從甲方航行到乙方需要30小時，逆水航行需要50小

2、時。這艘船的速度是多少？X=20 y=5，建立航行問題數(shù)學(xué)模型的基本步驟，并作出簡化假設(shè)(船速和水速是常數(shù))；用符號表示相關(guān)量(x，y代表船速和水速)；用物理學(xué)定律(勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以時間)來列出數(shù)學(xué)公式(二元線性方程)；得到數(shù)學(xué)解(x=20，y=5)；回答原來的問題(船的速度是20公里/小時)。數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模，對于一個真實的對象，為了一個特定的目的，根據(jù)其內(nèi)在的規(guī)律，做出必要的簡化假設(shè)，并使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來獲得一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程(包括表達(dá)、求解、解釋、檢驗等。)，數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)建模，1.2數(shù)學(xué)建模的意義，電子計算機(jī)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展；數(shù)學(xué)以前所未有的廣度和深度滲透

3、到所有領(lǐng)域。人們越來越重視數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模在一般工程和技術(shù)領(lǐng)域仍然有很大的用處。數(shù)學(xué)建模幾乎是高科技領(lǐng)域不可或缺的工具；數(shù)學(xué)進(jìn)入了一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的三大應(yīng)用領(lǐng)域：數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用，分析與設(shè)計，預(yù)測與決策，控制與優(yōu)化，規(guī)劃與管理，數(shù)學(xué)建模，計算機(jī)技術(shù)，知識經(jīng)濟(jì)，1.3數(shù)學(xué)建模實例，1.3.1四腿椅能在不平的地面上穩(wěn)定嗎，問題分析，模型假設(shè)，通常三只腳接觸地面，四只腳穩(wěn)定地接觸地面，四只腳接觸地面，地面高度不斷變化，可視為數(shù)學(xué)連續(xù)面；地面相對平坦，因此椅子至少有三英尺可以同時接觸地面的任何位置。椅子位置和四只腳落地之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)語言表達(dá)。椅子位置由正方形的對稱

4、性(椅子腳的連線)和對角線與X軸之間的角度來表示。距離是一個函數(shù)，四個距離(四英尺)，A和C英尺與地面之間的距離之和(F)，以及B和D英尺與地面之間的距離之和(G)。正方形ABCD圍繞O點旋轉(zhuǎn)，椅子位置和四英尺落地之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)語言表示。f()和G()是連續(xù)函數(shù)。對于任何一個，F(xiàn)()和G()中至少有一個是0。數(shù)學(xué)問題，眾所周知，F(xiàn)()和G()是連續(xù)函數(shù)；F() g()=0表示任何。g(0)=0，f(0) 0。證明了存在0，所以f(0)=g(0)=0。模型是由地面構(gòu)成的，地面是一個連續(xù)的曲面，椅子在任何位置至少有三英尺接觸地面。對模型進(jìn)行了求解，給出了一種簡單而粗略的證明方法，即將椅子旋轉(zhuǎn)90

5、0，對角的交流和直流互換。從g(0)=0，f(0) 0，f(/2)=0，g(/2)0。讓h()=f()g()，然后h(0)0和h(/2)0。從F和G的連續(xù)性，我們知道H是一個連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)，因此，f(0)=g(0)=0。評論和思考，建模的關(guān)鍵，假設(shè)的本質(zhì)和非本質(zhì)，四腿矩形椅子的研究，f()的確定，g()的確定，1.3.2商人如何安全過河，問題(拼圖游戲)，三個商人和三個跟隨者，以及跟隨者在河中的秘密，問題分析，多步?jīng)Q策過程，決策的每一步(從甲到乙，或從乙到甲)，船上的人員， 在安全的前提下(海峽兩岸追隨者的數(shù)量不超過商人的數(shù)量)，讓所有的工作人員通過有限的步驟從甲到乙過河。A，B，模型

6、組成，xk渡河前A岸上的交易者數(shù)量，yk渡河前A岸上的追隨者數(shù)量。K=1，2，SK=(xk，yk)，S=(x，y) x=0，y=0，1，2，3；x=3，y=0，1，2，3；X=y=1，2，S允許狀態(tài)集，在英國的第kth渡輪上的商數(shù)，在vk的第kth渡輪上的追隨者數(shù)，dk=(英國，vk)決策，D=(u，v) u v=1，2允許決策集，英國，vk=0，1，2；K=1，2，sk 1=sk dk，(-1)k，狀態(tài)轉(zhuǎn)移定律，dkD(k=1，2，n)，skS，并根據(jù)從s1=(3，3)到sn 1=(0，0)的轉(zhuǎn)移定律，多步?jīng)Q策問題，模型求解，窮舉法K奇，向左下移；k偶數(shù)，向右移動。s1，sn 1，d1，d1

7、1給出一個安全的過江方案，注釋和思考，標(biāo)準(zhǔn)化的方法，便于推廣，考慮到四個商人各帶一個跟隨者的情況，允許狀態(tài)，S=(x，y) x=0，y=0，1，2，3；x=3，y=0，1，2，3；X=y=1，2，模型是原型的替代品，原型是為了某種目的從一部分客觀事物中簡化、抽象和提煉出來的。1.1從真實對象到數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型：根據(jù)真實對象的內(nèi)在規(guī)律為特定目的做出必要的簡化假設(shè)，并使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具獲得數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型的全過程，第一章建立數(shù)學(xué)模型，1.2數(shù)學(xué)建模的意義，數(shù)學(xué)建模在一般工程技術(shù)領(lǐng)域中仍然非常有用；數(shù)學(xué)建模幾乎是高科技領(lǐng)域不可或缺的工具；數(shù)學(xué)進(jìn)入了一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處

8、女地。，數(shù)學(xué)建模的3個主要應(yīng)用領(lǐng)域：具體應(yīng)用方面：分析與設(shè)計，預(yù)測與決策，控制與優(yōu)化，規(guī)劃與管理，1.3數(shù)學(xué)建模實例，1.3.1四腿椅能在不平的地面上穩(wěn)定嗎，1.3.2商人如何安全過河，關(guān)鍵是形成一個數(shù)學(xué)證明問題，確定f()和g()決策量dk=(uk，vk)，形成一個多步?jīng)Q策問題，背景，世界人口增長概況， 中國人口增長概況，研究人口變化規(guī)律，控制人口過度增長，1.3.3如何預(yù)測人口增長，馬爾薩斯(1798)提出的指數(shù)增長模型，常用的計算公式，在x(t)時間t的人口，以及3360人口的基本假設(shè)。今年的人口x0，年增長率r，k年后的人口，隨著時間的增加，人口按照指數(shù)規(guī)律無限增長。 指數(shù)增長模型的應(yīng)

9、用和局限性可以用來預(yù)測短期的人口增長，但不能預(yù)測長期的人口增長過程。人口增長到一定數(shù)量后增長率下降的原因是：(1)資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯；隨著人口的增加，發(fā)育遲緩變大。假設(shè)r (x)的固有增長率很小，xm(資源和環(huán)境所能容納的最大數(shù)量)的人口容量，x(t)S的曲線，x的增長是先快后慢，而增長阻滯模型(Logistic模型)，參數(shù)估計，要用指數(shù)增長模型或增長阻滯模型進(jìn)行人口預(yù)測，必須先估計模型參數(shù)r或r。(1)利用現(xiàn)有的統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合，例如，美國的人口數(shù)據(jù)(以百萬計)；(2)專家估計，根據(jù)實際經(jīng)驗，給出一些估計值，分塊增長模型(Logistic模型)，模型檢驗，利用該模型計算

10、出美國2000年的人口，與實際數(shù)據(jù)相比，實際為2.814億(百萬)，并將該模型應(yīng)用于預(yù)測美國2010年的人口。在加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)，邏輯斯蒂模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的銷售量)，阻塞增長模型(Logistic模型)，數(shù)學(xué)建模的基本方法，機(jī)理分析，檢驗分析，根據(jù)對客觀事物特征的理解找出反映內(nèi)在機(jī)理的定量規(guī)律，把對象作為一個“黑箱”，通過對實測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析找出最適合數(shù)據(jù)的模型，而機(jī)理分析是不統(tǒng)一的。以下建模主要是指機(jī)理分析。將二者結(jié)合起來，通過機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)，通過試驗分析確定模型參數(shù)，1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟，數(shù)學(xué)建模的一般步驟，模型的準(zhǔn)確準(zhǔn)備，了解實際背景

11、，明確建模目的，收集相關(guān)信息，掌握對象特征，形成清晰的問題，根據(jù)問題特征和建模目的做出合理簡化的假設(shè)，在合理性和簡化之間做出折衷，建模，用數(shù)學(xué)語言和符號描述問題，發(fā)揮想象力，運(yùn)用類比法， 盡可能采用簡單的數(shù)學(xué)工具，數(shù)學(xué)建模的一般步驟，模型求解，各種數(shù)學(xué)方法，軟件和計算機(jī)技術(shù)，如結(jié)果的誤差分析，統(tǒng)計分析，模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析，模型分析，模型檢驗，與實際現(xiàn)象和數(shù)據(jù)的比較，檢查模型的合理性和適用性，其應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模的一般步驟，數(shù)學(xué)建模的全過程，現(xiàn)實對象的信息，數(shù)學(xué)模型， 現(xiàn)實物體和數(shù)學(xué)模型的解，(歸納)，(演繹)，表達(dá)，求解，解釋和驗證，根據(jù)建模目的和信息將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并選擇合適的數(shù)學(xué)方法獲得數(shù)學(xué)模型的解。 將用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的解翻譯回實際對象，并用真實對象、實踐、真實世界、數(shù)學(xué)世界的信息測試該解，1.5數(shù)學(xué)模型的特征和分類、其保真度和可行性、其漸進(jìn)性、其健壯性、其可移植性、其非預(yù)制性、其組織性、其技術(shù)性、其局限性、其特征和其特征人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、數(shù)學(xué)方法、初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、性能特征、描述、優(yōu)化、預(yù)測、決策、建模目的、理解程度、 白盒，灰盒，黑盒，確定性和隨機(jī)性，靜態(tài)和動態(tài)，線性和非線性，離散和連續(xù)，1.6如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模與其說是一門學(xué)科。 藝術(shù)不能概括