向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性.ppt

1、,哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 矩陣論教學(xué)團(tuán)隊(duì),Department of Mathematics, College of Sciences,書后要求的習(xí)題,主動(dòng)自覺做,抽查和不定時(shí)收取,使用教材, 矩陣論教程國(guó)防工業(yè)出版社 2012,其他輔導(dǎo)類參考書（自選）,課 程 要 求,作業(yè)要求,矩陣論網(wǎng)站,授課預(yù)計(jì) (10學(xué)時(shí)),第二章 內(nèi)積空間與賦范線性空間,歐氏空間與酉 空 間,標(biāo)準(zhǔn)正交基與向量的正交化,正交子空間,酉(正交)變換與正交投影,向量范數(shù)與矩陣范數(shù),向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性,教 學(xué) 內(nèi) 容 和 基 本 要 求,2, 理解內(nèi)積空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，會(huì)用施密特正交化方法構(gòu) 造標(biāo)準(zhǔn)正交基；,3, 理解

2、正交子空間及其正交補(bǔ)的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交變換的概念，熟練掌握正交矩陣的性質(zhì)；,1，熟練掌握內(nèi)積的計(jì)算方法，知道度量矩陣及其基本性質(zhì)， 理解內(nèi)積空間的概念；,在矩陣范數(shù)中,相容性 尤為重要，那么 矩陣范數(shù)與向量范數(shù)之間有類似的性質(zhì)？,若 是 上的矩陣范數(shù)， 是 上的向量范數(shù)，由于 仍是 上的向量， 所以：,設(shè) 是 上的矩陣范數(shù)， 是 上的向量范數(shù)。如果對(duì)任意的 都有： 則稱矩陣范數(shù) 與向量范數(shù) 是相容的,例1 證明矩陣范數(shù) 與向量范數(shù) 是相容的。,證明：設(shè) ，,例2 證明矩陣范數(shù) 與向量范數(shù) 是相容的。,證明：設(shè) ，,|A|F 與 |x|2 相容的性質(zhì)反映了 |A|F 是像 A

3、x 的2-范數(shù) |Ax|2 與原像 x 的2-范數(shù)之比的最大值，即,因此，可以用|A|F來刻畫變換A 的結(jié)果。,對(duì)于給定的某種向量是否一定存在與它相容的矩陣范數(shù)？,任意一個(gè)矩陣范數(shù)都有與之相容的向量范數(shù)嗎？,給定 上的向量范數(shù) ， 定義,則 是 上與向量范數(shù) 相容的矩陣范數(shù)，稱 為由向量范數(shù) 導(dǎo)出的算子范數(shù)或從屬于向量范數(shù) 的矩陣范數(shù),從屬于向量范數(shù)的矩陣范數(shù),定理1,定理1表明，由給定的向量范數(shù)按照上式定義的實(shí)值函數(shù)是一種矩陣范數(shù)，它與已給的向量范數(shù)是相容的。,證明 (1) 當(dāng)A為非零矩陣時(shí)，一定可以找到非零向量 x ，使 Ax0 ，從而有,即|A|滿足正定性；另外，顯然|A|=0當(dāng)且僅當(dāng)A

4、=0。,(2) 對(duì)任意的常數(shù)kC，,即|A|滿足齊次性。,(3) 對(duì)任意的方陣A，BCnn，,即|A|滿足三角不等式。,(4) 對(duì)任意的方陣A，BCnn，,即|A|滿足相容性。,再證|A|與| x |v的相容性。,由向量范數(shù)誘導(dǎo)的矩陣的算子范數(shù)還有另外幾個(gè)不同的計(jì)算公式。,定理2: 設(shè) 是 上的向量范數(shù),則,(1),證(1),(2) 顯然,由(1)可知，,故有，,例3 證明由n維向量的1-范數(shù)， -范數(shù)和2-范數(shù)所誘導(dǎo)的算子范數(shù)分別是(設(shè)A=(aij)nn),列模和之最大者：列和范數(shù),為從屬于向量2-范數(shù)的矩陣范數(shù)，也稱譜范數(shù)。,為A的最大正奇異值。,(3),行模和之最大者：行和范數(shù),證明 (

5、1) 設(shè)A的各列向量為i，即,則 ，且有 ，于是,另外，設(shè) ，并取單位向量,且,即有,即|Ax|1在單位球面 x | |x|1=1 上的極大值點(diǎn)為ek，,(2) 假設(shè)i=k時(shí)， 取得最大值，即,則對(duì)于滿足|x|=1的任意n維向量x，有,取x0的第j個(gè)分量xj為,則有|x0|=1， 且Ax0的第k個(gè)分量為,設(shè)與之對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為 ，即有,(3) 任取 ，且 | x |2=1，則,作酉陣 ，則有AHA=UHDU，其中,令 ，則,由于AHA為Hermite陣且正定，故可設(shè)AHA的特征值為,從而有,故得,即 ，從而證得,因?yàn)?，所以,又由x的任意性可得,若取 x=u1 ，則顯然有,設(shè) 是定義在

6、 上的一種矩陣范數(shù)，則在 上必存在與它相容的向量范數(shù),證明：用構(gòu)造法證明。取定 ,則 就是 上與 相容的向量范數(shù)。 首先, 證明 是 上的范數(shù)：,與矩陣范數(shù)相容的向量范數(shù)的存在性,三角不等式,3, 正定性,2, 絕對(duì)齊性,再證 與 的相容性,由矩陣范數(shù)定義中的第4條,定理3 設(shè)A為n階方陣，則,證明 (1) 由于,而|A|2為|Ax|2在|x|2=1上的最大值，因此，存在x0，使得,取,故,(2) 因?yàn)?又由于,且對(duì)任意,存在,故,又由于,故有,(3) 由矩陣范數(shù)定義和(2)，有,故有,(4) 由(2)和(3)，可得,故有,矩陣ACnn的譜半徑(A)是,是A的特征值,證明 設(shè)為矩陣A的一個(gè)特征值，相應(yīng)的特征向量 為x0，則,定理4 如果| |是任意的矩陣范數(shù)，且ACnn，則,若