河南省南陽市2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中質(zhì)量評估試題 理（含解析）（通用）

1、河南省南陽市2020學(xué)年高二上期期中質(zhì)量評估數(shù)學(xué)（理）試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C.2. 設(shè)是非零實數(shù)，若，則下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由于，取，不能推出，又取，推不出，而，又是非零實數(shù)，則，則.選C.3. 在中，角的對邊分別為，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根據(jù)正弦定理，故為銳角，選A.4. 等比數(shù)列的前項和，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】時，時，要求，選

2、B.5. 甲、乙兩位采購員同去一家糧食銷售公司買了兩次糧食，兩次糧食的價格不同，兩位采購員的購糧方式也不同.其中，甲每次購糧用去元錢，乙每次購買的，誰的購糧方式更合算（ ）A. 甲 B. 乙 C. 一樣 D. 不能確定【答案】A【解析】設(shè)第一次采購時糧食價格為每千克元，第二次采購時糧食價格為每千克元，則甲的平均價格為，乙的平均價格為 ，所以乙的狗糧方式更合算.選A.6. 已知等比數(shù)列中，則其前三項的和的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，當(dāng)時， ，當(dāng)時， ， ，前三項的和的取值范圍是.選D.7. 一貨輪航行到處，測得燈塔在貨輪的北偏東，與燈塔相距海里，隨

3、后貨輪按北偏西的方向航行分鐘后，又得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為（ ）A. 海里/小時 B. 海里/小時C. 海里/小時 D. 海里/小時【答案】B【解析】設(shè)貨輪的速度為每小時海里，貨輪從M處航行30分鐘到達(dá)N處，則海里，海里，則，根據(jù)正弦定理得： ，海里/小時,選B.8. 已知均為正數(shù)，且，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，選B.9. 已知方程的一個實根在區(qū)間內(nèi)，另一個實根大于，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】設(shè)，利用一元二次方程的根的分布得： ，解得：，.選B.10. 小李年初向銀行貸款萬元用于購房，購房貸款的年利率為

4、，按復(fù)利計算，并從借款后次年年初開始?xì)w還，分次等額還清，每年次，問每年應(yīng)還（ ）萬元. （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】設(shè)每年應(yīng)還萬元，則，選.選B.11. 在中，角的對邊分別為，若有兩解，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】當(dāng) ，即時有兩解.選D.12. 設(shè)為等差數(shù)列，若，且它的前項和有最小值，那么當(dāng)取得最小正值時的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】為等差數(shù)列,有最小值，則，又，說明， ， ，則 ， ，則為最小正值.選C.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 已知滿足，則的最大值是_【答案】【

5、解析】畫出二元一次不等式所表示的可行域，目標(biāo)函數(shù)為截距型，直線的截距越大越大，根據(jù)圖形求出最優(yōu)解為，代入目標(biāo)函數(shù)，則的最大值是5.14. 設(shè)數(shù)列的通項公式為，則_【答案】【解析】 15. 設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，則_【答案】【解析】試題分析：因為，所以又成等差數(shù)列,所以即考點：等差數(shù)列性質(zhì)16. 在中，已知，是邊上一點，如圖，則_【答案】【解析】 ，根據(jù)余弦定理，根據(jù)正弦定理，則.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 已知，不等式的解集是.（1）求的解析式；（2）若對于任意，不等式恒成立，又已知，求的取值范圍.【答案】（1） ；（2）.【

6、解析】試題分析：已知一元二次不等式的解集求參數(shù)的方法是利用根與系數(shù)關(guān)系，一元二次不等式恒成立問題，首先研究二次項系數(shù)為0的情況，然后利用圖象觀察，不等式小于或等于零恒成立，只需二次項系數(shù)大于0，判別式小于或等于0，與t0求交集，就是參數(shù)t的取值范圍.試題解析：（1）由已知的解集是，所以是方程的兩個根，由韋達(dá)定理知， . （2）對任意不等式恒成立等價于對恒成立即對恒成立因為，所以只需所以所以的取值范圍是.【點睛】本題為解含參的一元二次不等式，若二次項的系數(shù)含有參數(shù)，先對二次項系數(shù)分類討論，先討論二次項系數(shù)為0的情況，再考慮二次項的系數(shù)不為0時，分二次項系數(shù)大于0，和小于0兩種情況，比較兩根的大小

7、，根據(jù)不等式的要求寫出不等式的解集；當(dāng)二次項的系數(shù)不含參數(shù)時，討論判別式的情況，若有根則求根，若兩根大小不定時，還要討論兩根的大小，根據(jù)不同情況，畫出拋物線屬性結(jié)合，寫出解集. ：已知一元二次不等式的解集求參數(shù)的方法是利用根與系數(shù)關(guān)系，一元二次不等式恒成立問題，首先研究二次項系數(shù)為0的情況，然后利用圖象觀察，不等式小于或等于零恒成立，只需二次項系數(shù)大于0，判別式小于或等于0.18. 在中，角所對的邊分別是，已知.（1）求；（2）若，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面積公式解斜三角形是高考高頻考點，利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊轉(zhuǎn)角或角轉(zhuǎn)邊是常

8、用的方法，本題利用正弦定理“邊轉(zhuǎn)角”后，得出角C，第二步利用余弦定理求出邊a，c，再利用面積公式求出三角形的面積.試題解析：（1）由正弦定理，得，因為，解得， （2）因為由余弦定理，得，解得的面積【點睛】利用正弦定理和余弦定理及三角形面積公式解斜三角形是高考高頻考點，利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊轉(zhuǎn)角或角轉(zhuǎn)邊是常用的方法，已知兩邊及其夾角求第三邊或已知三邊求任意角使用于心定理，已知兩角及任意邊或已知兩邊及一邊所對的角借三角形用正弦定理，另外含經(jīng)常利用三角形面積公式以及與三角形的內(nèi)切圓半徑與三角形外接圓半徑發(fā)生聯(lián)系，要靈活使用公式.19. 某工廠擬造一座平面為長方形，面積為的三級污水處理池.由于地

9、形限制，長、寬都不能超過，處理池的高度一定.如果池的四周墻壁的造價為元，中間兩道隔墻的造價為元，池底的造價為元，則水池的長、寬分別為多少米時，污水池的造價最低？最低造價為多少元？【答案】, .【解析】試題分析：應(yīng)用問題首先要認(rèn)真細(xì)致的審題，逐字逐句的讀題，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.首先根據(jù)提議設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)各項造價表示出總造價建立函數(shù)模型，根據(jù)實際需要寫出函數(shù)的定義域，由于，借助a，b關(guān)系進(jìn)行減元，化為只含有a的函數(shù)關(guān)系，再利用均值不等式求最值.試題解析：設(shè)污水處理水池的長、寬分別為，總造價為y元，則， ，易知函數(shù)是減函數(shù)，所以當(dāng)時總造價最低, 最低造價為45000元.【點睛】應(yīng)用問題首先要

10、認(rèn)真細(xì)致的審題，逐字逐句的讀題，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.首先根據(jù)提議設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)各項造價表示出總造價建立函數(shù)模型，根據(jù)實際需要寫出函數(shù)的定義域，當(dāng)把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題后，再利用數(shù)學(xué)知識解決函數(shù)問題，最后給出實際問題相應(yīng)的答案.20. 設(shè)是數(shù)列的前項和，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】試題分析：當(dāng)數(shù)列提供與、之間的遞推關(guān)系時，要數(shù)列是等差數(shù)列，只需利用，轉(zhuǎn)化為、之間的關(guān)系，證明某數(shù)列是等差數(shù)列，就是證明第n+1項與第n項的比是一個常數(shù)，這個分析給證明提供一個暗示，有了證明的目標(biāo)，從遞推關(guān)系式向著這個目標(biāo)進(jìn)行

11、等價變形，就可得出所要證明的式子，達(dá)到證明的目的；已知數(shù)列的前n項和，求通項公式分兩步，第一步n=1 時，求出首項，第二步，當(dāng)時利用前n項和與前n-1項和作差求出第n項，若首項滿足后者，則可書寫統(tǒng)一的通項公式，若首項不滿足，則通項公式要寫成分段函數(shù)形式，有關(guān)數(shù)列求和問題，主要方法有倒序相加法、錯位相減法、分組求和法、公式法等，要根據(jù)數(shù)列通項的形式特點采用相應(yīng)的方法求和.試題解析：（1）， 即，數(shù)列是等差數(shù)列 由上知數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，首項為， ， （或由得）,由題知，,綜上， . （2）由（1）知 ， ， 【點睛】證明某數(shù)列是等差數(shù)列，就是證明第n+1項與第n項的比是一個常數(shù)，這個分析

12、給證明提供一個暗示，有了證明的目標(biāo)，從遞推關(guān)系式向著這個目標(biāo)進(jìn)行等價變形，就可得出所要證明的式子，達(dá)到證明的目的；已知數(shù)列的前n項和，求通項公式分兩步，第一步n=1 時，求出首項，第二步，當(dāng)時利用前n項和與前n-1項和作差求出第n項，若首項滿足后者，則可書寫統(tǒng)一的通項公式，若首項不滿足，則通項公式要寫成分段函數(shù)形式，有關(guān)數(shù)列求和問題，主要方法有倒序相加法、錯位相減法、分組求和法、公式法等，要根據(jù)數(shù)列通項的形式特點采用相應(yīng)的方法求和.21. 在中，角所對的邊分別為，.已知.（1）求角的大小；（2）設(shè)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面積公式解

13、斜三角形是高考高頻考點，利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊轉(zhuǎn)角或角轉(zhuǎn)邊是常用的方法，本題利用余弦定理“邊轉(zhuǎn)角”后，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行恒等變形，求出角B，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出角A與角C的關(guān)系，代入后進(jìn)行減元，化為關(guān)于角A的三角函數(shù)式，借助輔助角公式化為的形式，根據(jù)角A的范圍，求出T的范圍.試題解析：（1）在ABC中， 因為，所以，所以， 因為，所以，因為，所以 （2） 因為，所以，故，因此，所以 . 【點睛】利用正弦定理和余弦定理及三角形面積公式解斜三角形是高考高頻考點，利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊轉(zhuǎn)角或角轉(zhuǎn)邊是常用的方法，利用余弦定理“邊轉(zhuǎn)角”后，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行恒等變形，求出角B；有關(guān)范圍問題的解決方法有兩種，一種是利用邊的關(guān)系借助基本不等式去解決，另一種方法是利用降冪公式和輔助角公式、減元等把函數(shù)化為性質(zhì)問題，利用 x的范圍，求出y 的范圍.22. 已知數(shù)列的前項和，是等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1） ；（2）.試題解析：（1）由題意知，當(dāng)時，,當(dāng)時，符合上