期權(quán)中希臘字母的含義

1、第7章期權(quán)的希臘字母,Greeks,2,教學(xué)內(nèi)容,Delta Theta Gamma Vega Rho Portfolio Insurance,Greeks,3,希臘字母,希臘字母度量期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)，用于期權(quán)頭寸的風(fēng)險(xiǎn)管理 期權(quán)做市商 金融機(jī)構(gòu)地期權(quán)交易員 期權(quán)價(jià)值的決定因素包括股價(jià)、到期時(shí)間、波動(dòng)率、無風(fēng)險(xiǎn)利率以及執(zhí)行價(jià)格，其中易變的因素有四個(gè)： 股價(jià)：Delta, Gamma 到期時(shí)間：Theta 波動(dòng)率：Vega 無風(fēng)險(xiǎn)利率：Rho,Greeks,4,Delta,Delta是期權(quán)價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)，度量了期權(quán)價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的敏感性 圖示,Greeks,5,Delta歐式股票期

2、權(quán),利用BS公式，可以推導(dǎo)出 Delta與股價(jià)的關(guān)系 1 X,Greeks,6,Delta歐式股票期權(quán),Delta與到期時(shí)間的關(guān)系,Greeks,7,Delta其它歐式期權(quán),股指期權(quán) 外匯期權(quán) 期貨期權(quán) 股票遠(yuǎn)期,Greeks,8,Delta線性,考慮一個(gè)期權(quán)投資組合，其中所有期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)都是同一種資產(chǎn)，則，組合的Delta等于每種期權(quán)的Delta的線性和 其中， 表示組合包含第I中期權(quán)的數(shù)量,Greeks,9,Delta對(duì)沖,定義：建立對(duì)沖工具頭寸，使得對(duì)沖工具頭寸與要保護(hù)的頭寸的Delta等于零 Delta中性：資產(chǎn)(或者組合)的Delta等于零 動(dòng)態(tài)對(duì)沖 由于資產(chǎn)的Delta通常是時(shí)間

3、的函數(shù)，因此，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)沖目標(biāo)，通常必須動(dòng)態(tài)調(diào)整對(duì)沖工具頭寸的數(shù)量 例子：BSM隨機(jī)微分方程的推導(dǎo) 1個(gè)單位衍生工具空頭， 份股票 BS采用Delta對(duì)沖方法，建立起包含期權(quán)的Delta中性頭寸,Greeks,10,Delta對(duì)沖使用期貨,實(shí)踐中，對(duì)沖工具多選用期貨 期貨流動(dòng)性好、交易成本低 符號(hào) 期貨到期時(shí)間： Delta對(duì)沖需要的標(biāo)的資產(chǎn)頭寸： Delta對(duì)沖需要的期貨頭寸： 期貨的Delta: 期貨合約的Delta v.s. 遠(yuǎn)期合約的Delta,Greeks,11,Delta對(duì)沖使用期貨,Delta對(duì)沖需要的期貨頭寸 標(biāo)的資產(chǎn)不分紅 標(biāo)的資產(chǎn)為股票指數(shù) 標(biāo)的資產(chǎn)為外匯,Greeks,1

4、2,Theta定義,Theta是期權(quán)價(jià)值對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，度量了期權(quán)價(jià)值隨時(shí)間衰減的速度 與股價(jià)呈隨機(jī)波動(dòng)不同，距離到期的時(shí)間是一個(gè)完全確定的量，無需進(jìn)行對(duì)沖,Greeks,13,Theta歐式股票期權(quán),歐式股票期權(quán)的Theta 買權(quán) 賣權(quán),Greeks,14,Theta歐式股票期權(quán),Theta與股價(jià)的關(guān)系 X,Greeks,15,Theta歐式股票期權(quán),Theta與時(shí)間的關(guān)系,Greeks,16,Gamma,Gamma是期權(quán)的Delta對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)，也是期權(quán)價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階偏倒數(shù) Gamma度量了期權(quán)Delta對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的敏感性，也度量了期權(quán)價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的凸性

5、Gamma中性與Gamma對(duì)沖 由于標(biāo)的資產(chǎn)及其遠(yuǎn)期、期貨合約的Gamma都等于零，因此，不能用來改變投資組合的Gamma 要改變投資組合的Gamma，必須使用那些價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格呈非線性關(guān)系的工具，例如期權(quán),Greeks,17,Gamma歐式股票期權(quán),歐式股票期權(quán)的Gamma,Greeks,18,Gamma歐式股票期權(quán),Gamma與股價(jià)的關(guān)系 X,Greeks,19,Gamma歐式股票期權(quán),Gamma與到期時(shí)間的關(guān)系,Greeks,20,Delta, Theta, Gamma的關(guān)系,從BSM方程容易推導(dǎo)出三者的關(guān)系 如果投資組合是Delta中性的，則 如果Theta是較大的正數(shù)，Gamma

6、就是很大的負(fù)數(shù)，因此，Theta可以作為Gamma的替代指標(biāo)使用,Greeks,21,Vega,Vega是期權(quán)的價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率的偏導(dǎo)數(shù)，度量了期權(quán)價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率的敏感性 Vega中性與Vega對(duì)沖 由于標(biāo)的資產(chǎn)及其遠(yuǎn)期、期貨合約的Vega都等于零，因此，不能用來改變投資組合的Vega 要改變投資組合的Vega ，必須使用那些Vega不等于零的工具，例如期權(quán) 歐式期權(quán)的Vega,Greeks,22,Vega與股價(jià)的關(guān)系,X,Greeks,23,Vega與到期時(shí)間的關(guān)系,Greeks,24,Rho,Rho是期權(quán)價(jià)值對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)利率的偏導(dǎo)數(shù)，度量了期權(quán)價(jià)值對(duì)利率變化的敏感性 標(biāo)的股票不支付紅

7、利的歐式期權(quán) 買權(quán) 賣權(quán),Greeks,25,Rho外匯期權(quán),外匯期權(quán)涉及本幣利率與外幣利率，因此，有兩個(gè)rho，一個(gè)對(duì)應(yīng)于本幣利率(見上一頁)，另一個(gè)對(duì)應(yīng)于外幣利率 買權(quán) 賣權(quán),Greeks,26,Rho歐式股票:與股價(jià)的關(guān)系,Greeks,27,Rho歐式股票買權(quán):與到期時(shí)間的關(guān)系,Greeks,28,投資組合保險(xiǎn)定義,投資組合保險(xiǎn)：用期權(quán)限制表的資產(chǎn)價(jià)格下跌的風(fēng)險(xiǎn) 股票投資組合+股票指數(shù)賣權(quán) P/L 股價(jià),Greeks,29,投資組合保險(xiǎn)合成期權(quán),投資組合保險(xiǎn)對(duì)期權(quán)的要求 流動(dòng)性 執(zhí)行價(jià)格 到期時(shí)間 基金經(jīng)理常常創(chuàng)建合成期權(quán)進(jìn)行投資組合保險(xiǎn) 期權(quán)合成技術(shù)動(dòng)態(tài)復(fù)制 似曾相識(shí)在推導(dǎo)BSM過程

8、中采用的Delta對(duì)沖就是用標(biāo)的股票與買權(quán)動(dòng)態(tài)復(fù)制無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 動(dòng)態(tài)復(fù)制 標(biāo)的資產(chǎn)+無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 股指期貨+無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),Greeks,30,投資組合保險(xiǎn)標(biāo)的資產(chǎn)+無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),歐式股票賣權(quán)=標(biāo)的資產(chǎn)+無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 股票空頭頭寸，數(shù)量等于賣權(quán)的Delta 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，數(shù)量等于賣空股票獲得的收入加上賣權(quán)的價(jià)值 股票頭寸： 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)頭寸： 在一定條件下，復(fù)制賣權(quán)的投資組合是自融資的,Greeks,31,投資組合保險(xiǎn)標(biāo)的資產(chǎn)+無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),Greeks,32,投資組合保險(xiǎn)標(biāo)的資產(chǎn)+無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),上圖有助于理解動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù) 曲線表示賣權(quán)與標(biāo)的股票價(jià)格的關(guān)系 切線的斜率表示賣權(quán)的Delta 截距表示復(fù)制投資組合在無

9、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資額 隨著股價(jià)的漲跌，切線的位置和方向?qū)l(fā)生改變，其斜率與截距都將發(fā)生變化 因此，動(dòng)態(tài)復(fù)制需要經(jīng)常性地調(diào)整頭寸 投資組合保險(xiǎn)(股票+賣權(quán))包含兩個(gè)頭寸 股票頭寸： 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)頭寸:,Greeks,33,投資組合保險(xiǎn)使用股指期貨,通過利用股指期貨，不用買賣股票進(jìn)行再平衡 通過在投資組合基礎(chǔ)上“覆蓋”股指期貨頭寸提供保險(xiǎn) 指數(shù)期貨顯著降低了交易成本 80年代末，美國股指期貨的雙向買、賣差價(jià)與傭金大約為股票的1/10 (8bp : 80bp),Greeks,34,投資組合保險(xiǎn)缺陷,投資組合保險(xiǎn)的機(jī)制決定了這種策略在股票市場或者股指期貨市場上必須“追漲殺跌” 動(dòng)態(tài)復(fù)制在理論上雖然是“自融

10、資策略”，但是，由于存在交易成本，實(shí)際上不可能是“自融資策略”?；鸾?jīng)理必須在交易成本與復(fù)制效果之間進(jìn)行平衡 交易成本越高，在平衡的頻率越低 在股市出現(xiàn)極端行情的時(shí)候，投資組合保險(xiǎn)的效果將大打折扣 股票、股指期貨交易困難 組合不是Vega中性的。然而，在極端行情中，波動(dòng)率會(huì)大幅度上升，因而顯著增加復(fù)制期權(quán)的成本 如果采用股指期貨進(jìn)行保險(xiǎn)，基點(diǎn)差風(fēng)險(xiǎn)也不容忽視 1987/10，股指期貨與S&P 500出現(xiàn)重大偏差,Greeks,35,投資組合保險(xiǎn)股價(jià)跳躍,Greeks,36,二叉樹模型,基于Cox and Ross (1976)提出的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)思想， Cox, Ross & Rubinstein (1979)提出了一種簡單地定價(jià)期權(quán)的辦法二叉樹模型 二叉樹模型是估計(jì)期權(quán)價(jià)值的主要數(shù)值方法之一 二叉述模型把股價(jià)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)過程離散化,Greeks,37,二叉樹模型離散化,把期權(quán)的期限分成若干等份，每一份的長度計(jì)作delta(t) 假設(shè)在