《鬼臉物理課.經典物理學》素材節(jié)選15.光程迷蹤

1、鬼臉物理課素材節(jié)選15光程迷蹤270多年過去了。費馬猜想，仍然是猜想，更是一個挑戰(zhàn)。如果有一種愛，是用恨來表達的，那么，幾百年來，費馬就沐浴在數(shù)學家們這種連綿不絕的愛里。1908年，德國的實業(yè)家佛爾夫斯克終于忍無可忍，他決定跟費馬拼了，拿出10萬馬克家產懸賞：在他逝世后100年內，誰第一個證明費馬猜想，獎金就歸誰。一時間應者云集，卻都毫無懸念地折戟而歸。一戰(zhàn)后，馬克大幅貶值，懸賞的魅力也跟著貶值了。* * * * * * * *要討論時間問題，光是無法回避的。它倆關系相當瓷實。所以我特佩服咱祖先的先見之明，老早就給咱們預備了一個將二者緊密關聯(lián)的詞：時光。 另外，光不僅與時間的關系分不開，它和我

2、們今后要探討的幾乎所有問題都分不開。因此，在我們修正時間問題之前，現(xiàn)在首先要做的是，認識一下光，它的家庭出身、本人成分、社會關系、政治面目總之，它究竟是一種什么東西？它是不是東西？說起來，光的確是一種很奇怪的東西。它能從那遙遠的地方瞬間到達我們的眼睛，速度如此之快，撞到身上卻一點感覺也沒有。堅硬的隕石進入我們的大氣層，由于速度太快，會與空氣摩擦至燃燒，多數(shù)會消失。而速度比隕石快n的n次方倍的光，卻能夠輕易穿越大氣層，實現(xiàn)“軟著陸”。我們剛要感嘆光的霸氣，卻在不經意間，輕輕一抬手，不費吹灰之力就擋住了它的腳步。還沒來得及得意，又驚奇地發(fā)現(xiàn)，從手指縫漏出去的那束光，毫不費力地穿透了比我們的手硬n倍

3、的玻璃透光天天見，天天納悶，是一件超級糾結的事。于是，人類從成為人類開始，就一直在研究光，直到今天?；厥淄?，這是一條曲折坎坷甚至硝煙彌漫的探索之路。古希臘流行“四元素說”的時期，認為光是火的一種傳遞形式，而火是四元素之一，是一種又輕又小的微粒。也就是說，光，是一種無比細微的粒子流。但他們也就是一說，既沒有理論依據(jù)也沒有觀測依據(jù)。可圈可點的是，他們把對光的觀測，還有猜測，都盡量用數(shù)學來處理。歐幾里得總結了這些成果，比如：光線是直線；反射光線與入射光線、法線在同一平面上，反射光線與入射光線分居法線兩側，反射角等于入射角。但是，即使是這些今天看起來十分小兒科的討論，也只是停留在經驗上，沒有上升到理

4、論高度。公元2世紀，托勒密請陳家村的王木匠做了一個工具：在一個圓盤上釘兩把尺，就像鐘盤和指針。但他沒把這玩意兒掛在墻上，而是把它一半泡進水里，一半露在外面，讓一束光線順著盤面，由空氣射入水中。托勒密讓那兩把尺子分別與入射光線（空氣里那束）和折射光線（入水后偏折的那束）重合各種測，得到了一系列精確的數(shù)據(jù)，并從中發(fā)現(xiàn)，入射角和折射角之間有一定的規(guī)律，但是很遺憾，這個規(guī)律就像夢中那朵花，感覺很清晰，但走近它，卻什么也看不見。公元16世紀，莫洛利克（意大利物理學家、天文學家、數(shù)學教師、牧師）興致勃勃地加入了“觀光”隊伍，他先是擺弄各種鏡子，平面的、球面的、柱面的、錐面的鑒定了它們對光反射的不同表現(xiàn)。他

5、還指出，凸透鏡能把光聚在一起，而凹透鏡卻能把光散開?？上麤]試試，讓光一次通過這兩個透鏡會怎么樣，不然，望遠鏡就提前誕生了。但是透鏡原理也沒白研究，他意識到，光在眼睛的晶狀體（我們天生的兩個凸透鏡）中產生折射，聚在視網膜上，這就產生了視覺。他由此斷定， 近視或遠視的原因，是我們的凸透鏡出了問題，曲率過大或太小，造成聚光不能精確地投射到視網膜上。莫洛利克還喜歡看彩虹，他最早指出，彩虹有7種顏色。這好像沒什么了不起，現(xiàn)在小朋友們都知道嘛。但事實是，此前，人們普遍認為，彩虹只有3種顏色。1567年，莫洛利克寫了一本書：論光。但這本書直到他去世30多年后，在1611年才出版。1611年，開普勒也出版了

6、一本書：折射光學。那時望遠鏡已經誕生3年了，開普勒在書中剖析了望遠鏡的原理，還更準確地解釋了視覺的原理，搞清了晶狀體和視網膜的合作關系，并進一步指出，視力是大腦對視網膜受光刺激的一種感覺。大家歪歪腦袋眨眨眼睛一想，是這么回事，都欣然接受了。只是，還有一件事，大家一直感到奇怪：太陽光穿過各種形狀的小孔，投射到屏幕上的圖像形狀總是圓的！沒道理?。∈遣皇?？ 大家都表示是。但是沒道理的事經常結結實實地擺在我們面前，怎么辦？開普勒有個好辦法：動手，不動口。他做了個實驗。他拿了本書代替發(fā)光體，用黑板代替屏幕，書和黑板間放了一個帶角孔的屏，在書的一角系上一根線，代表光線，線的另一端系一根粉筆，穿過角孔，拉到

7、黑板上，拉直這根線，讓線擦著角孔的邊繞行，猜猜粉筆在黑板上畫出了啥形狀？當然是角孔的形狀了！沿著角孔的邊繞行嘛。這說明，書角這個點發(fā)出的光，穿過角孔投射到屏幕上，應該是角孔的形狀。然后，開普勒解開系在書角上的線，在書的另一個位置系上，再重復上面這套規(guī)定動作，這回，黑板上又出現(xiàn)了一個角孔的形狀，只不過位置不一樣了。要說開普勒也夠無聊，他把線在書的每個位置都系了一遍！那套規(guī)定動作當然也重復了n遍（有人開始打呼嚕了）。你猜怎么著？當然是粉筆在黑板上畫出了密密麻麻的角孔的形狀。大家正在為圍觀這種無聊的事情后悔，卻突然發(fā)現(xiàn)，這些角孔的形狀重疊成了一個總的形狀就是那本書的形狀！咦？哦！眾人皆恍然大悟：那么

8、，太陽光穿過小孔，投射的當然是太陽的形狀了！開普勒還繼承了托勒密未竟的事業(yè)，想要找出光的折射定律，功夫不負有心人，他還真找到了一些規(guī)律：光從一種介質射入另一種介質，當入射角小于30時，與折射角成近似固定的比，注意是“近似固定”哦。比方說，光從空氣射入玻璃或水晶，這個比大約就是32。開普勒還總結出，如果入射角很大，比方說接近直角，這個比就不成立了。這種好像既有規(guī)律，又沒規(guī)律的規(guī)律，讓開普勒欲罷不能，他做了很多實驗，想找到精確的折射定律，雖然實驗方法正確，但沒得到正確的結果。1621年，事情終于有了轉機，威里布里德斯涅耳加入到測光的隊伍，他是荷蘭著名數(shù)學家、物理學家。是什么家不重要，重要的是，他的

9、特長正是實驗和測量。1615年（一說1617年），他用第谷提出的三角測量法，測量出緯度相差1的兩個荷蘭小鎮(zhèn)之間的距離是107 km，這個值乘以360，得出地球圓周為38 520 km，換算成半徑是6 134 km，只比地球的平均半徑6 371 km偏差3.7%，比前人測得的數(shù)據(jù)精確多了。斯涅耳測完地球后跑去玩水，發(fā)現(xiàn)了一個所有人都發(fā)現(xiàn)過的有趣現(xiàn)象：水里的東西看上去比它的實際位置要高一點。于是他興致勃勃地開始研究光的折射現(xiàn)象。實驗的常用介質，當然是價格便宜量又足的空氣和水。他順著托勒密、開普勒等前人的目光看過去，沒有更多的收獲，于是就轉移視線，終于發(fā)現(xiàn)了前人沒有看到的東西。光線從空氣到達水面，在

10、交界處發(fā)生偏折，在這個轉折點上，斯涅耳畫一條垂直于水面的線，叫“法線”。因為法線與入射光線都是直線，并且經過同一個點，所以這兩條線決定了一個平面。斯涅耳發(fā)現(xiàn)，無論光線以什么角度入射，它的折射光、反射光都在這個平面上。這是第一個發(fā)現(xiàn)。第二個發(fā)現(xiàn)是兩條線長度的比例，一條線是光從那個轉折點走到垂直的容器壁上的實際路程，另一條線是如果光不發(fā)生偏折，保持原始方向走到容器壁的虛擬路程，這兩個路程的長度成一定的比例。順著“兩條線長度的比例”這根藤，斯涅耳一路摸去，終于摸到一個藏了千百年的瓜：對一對介質來說，入射角、折射角這兩個角的正弦之比，是一個常數(shù)（對不同的介質來說，這個常數(shù)是不同的，它跟介質有關系，是一

11、個反映介質的光學性質的物理量，稱為介質的折射率）。他總結出的光的折射定律，也叫斯涅耳定律。注意，這個定律是通過實驗和精確測量“總結”出來的，雖然結果正確，但沒有任何理論推導，所以斯涅耳把它寫在手稿里，沒有公布。后來惠更斯看了他的手稿，這才揭了秘。到這里，光線傳播的四條基本定律已經出臺：直線傳播定律、獨立傳播定律（兩束光相遇時，互不干擾，仍按各自的路徑行走）、反射定律和折射定律。其中，折射定律的難度最大，技術含量最高，所以出現(xiàn)最晚。斯涅耳的發(fā)現(xiàn)，為幾何光學的發(fā)展奠定了理論基礎，有力推進了光學的發(fā)展。后來，一個強人的加入，使幾何光學變得完美起來費馬，國家干部中超牛的數(shù)學家，數(shù)學家中鮮有的國家干部。

12、為什么要用“超?！焙汀磅r有”，而不用“最?！蹦兀恳驗檫@個位置被牛頓占了。1657年，費馬發(fā)現(xiàn)，光在任何均勻的介質中，從一個點傳播到另一點時，只走耗時最短的路徑。并且，如果光反方向傳播，不管折射或反射的路徑有多復雜，它一定還走這條路。 用一句話概括：光走最短的路徑。這就是著名的費馬原理，它規(guī)定了光線傳播的唯一的路徑。從費馬原理還可以推導出幾何光學的四條基本定律（光的直線傳播定律、獨立傳播定律、反射定律和折射定律）。人類對光程十幾個世紀的探索，被費馬一句話給概括了。從此幾何光學走上了成熟和諧的康莊大道。這不是費馬最牛的一件事。這個天才一生做了很多牛事，不說出來，實在對不起自己的良心。所以在這里順便

13、八卦一下，權當是茶余飯后的消遣。費馬費馬作為國家干部，雖然政績不突出，但在業(yè)余愛好方面，卻玩出了國際水平。和大多數(shù)干部不同的是，人家馬干部玩的是尖端學術。在微積分方面，他的貢獻僅次于牛頓和萊布尼茨；他還是解析幾何、概率論的創(chuàng)立人之一；在數(shù)論上，他更是碩果累累。馬領導的業(yè)余愛好，成了多數(shù)職業(yè)數(shù)學家心中永久的痛。原因并不僅僅在于他玩出的巨大成就難以超越，更在于他玩出的花樣讓人牙根癢癢卻又無計可施。他得出很多舉世聞名的結論，卻不肯發(fā)表，即使發(fā)表了，也惡作劇般地不肯拿出證明不管你們能不能證明，反正我是證明出來了！他就像一個殘忍的制謎帝，只負責出謎面，不負責給謎底，得意揚揚地俯視著焦頭爛額的解謎者。十分

14、渴望知道，卻又肝腸寸斷也算不出來，這次第，怎一個“愁”字了得！于是，一些資質一般般的數(shù)學家就說費馬撒謊。但每道謎題最終的結果，總是讓那些說費馬撒謊的數(shù)學家感到臉紅，他提出的結論后來都被優(yōu)秀的數(shù)學家證明是正確的。于是，一道亮麗的風景線呈現(xiàn)在我們眼前：解開這個業(yè)余數(shù)學家的謎題，成了職業(yè)數(shù)學界的一種榮耀。其中最著名的是費馬猜想。1637年，馬干部在研究算術時，突然想到一個命題，就順手寫在這本書的頁邊空白處：一個高于2次冪的數(shù)，不可能是同樣次冪的兩個數(shù)的和。翻譯成公式就是，在n大于2的情況下，zn不可能等于xn+yn（無整數(shù)解）。乍一看，這個結論好像相當不靠譜，數(shù)字是無限的，就找不出幾個數(shù)，讓這個簡單

15、的等式成立一次？令人氣急敗壞的是，還真找不出來！最氣人的不是這個結論本身，而是費馬在命題后面接著寫的一句話：對這個命題，我已經有了一個非常美妙的證明，可惜頁邊空白太小，寫不下。每個數(shù)學家看到這句話時，都跳了起來。然而，跳是不能解決問題的。對于科學問題，最好的解決辦法是安靜地坐下來一步步研究。于是，n在取很多不同值的情況下，這個命題都被證明成立了。但就是沒人找得到普遍的證明n取所有值時，這個命題都成立。連史上最偉大的數(shù)學家之一萊昂哈德歐拉都對這個命題癡迷不已。在數(shù)學世界攻城略地、所向披靡的歐拉沒能拿下這個命題，他太想知道那個答案了。據(jù)聞，歐拉甚至買下費馬所有的遺產，包括住宅，想要找到那個寫不下的

16、證明，結果一無所獲。270多年過去了。費馬猜想，仍然是猜想，更是一個挑戰(zhàn)。如果有一種愛，是用恨來表達的，那么，幾百年來，費馬就沐浴在數(shù)學家們這種連綿不絕的愛里。1908年，德國的實業(yè)家佛爾夫斯克終于忍無可忍，他決定跟費馬拼了，拿出10萬馬克家產懸賞：在他逝世后100年內，誰第一個證明費馬猜想，獎金就歸誰。一時間應者云集，卻都毫無懸念地折戟而歸。一戰(zhàn)后，馬克大幅貶值，懸賞的魅力也跟著貶值了。但是，對于真正的數(shù)學家來說，費馬猜想的魅力沒有貶值，它成了數(shù)學家心中的一個夢。通往謎底的崎嶇小路上，擠滿了前赴后繼的數(shù)學家。他們的努力沒有白費，雖然沒有得出費馬猜想的證明，卻得出了很多稀奇古怪的數(shù)學成果，甚至數(shù)學分支，比如代數(shù)數(shù)論等。這些副產品也是我們的寶貴財富。1994年9月，英國數(shù)學家懷爾斯在諸多前人工作的基礎上，終于證明了費馬猜想，從此這個猜想有了一個真正的如雷貫耳的大名：費馬大定理。整個數(shù)學界長舒了一口氣，陽光頓時燦爛起來。懷爾斯為此獲獎無數(shù)，當然也包括佛爾夫斯克獎金。但是，懷爾斯的證明論