應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 隨機(jī)過程-0.ppt

1、隨機(jī)過程,主講教師 段禪倫 2008年秋季學(xué)期,碩士研究生學(xué)位課程應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ),(演示文稿),(Random process),序言:天道酬勤求真務(wù)實(shí),追求卓越,接天蓮葉無窮碧，亭亭玉立荷花紅。 扎實(shí)自信、開拓自尊，獨(dú)立自主、自強(qiáng)不息。 人生大計(jì)，學(xué)業(yè)為本；國家興旺，學(xué)子有責(zé)。 基礎(chǔ)不固，木凋樹枯；基礎(chǔ)堅(jiān)牢，大廈凌霄。 博覽群書，尋真取識(shí)，學(xué)以致用，唯求創(chuàng)新。 形而上（深入思考）謂之道，形而下（知識(shí)基礎(chǔ)） 謂之器（周易系辭）。 提其要，鉤其玄（韓愈勸學(xué)解）；悠然心會(huì)， 妙處難與君說（張孝祥，南宋）。 昨夜西風(fēng)凋碧樹,獨(dú)上高樓,望盡天涯路（晏殊）。 眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處

2、(辛棄疾)。 衣帶漸寬終不悔,為伊消得人憔悴（柳詠）。,有 教,無 類,上善若 水，厚 德載物,境 界,楊叔子 院士語,課程內(nèi)容,碩士研究生課程應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主要討論隨機(jī)過程,包括: 隨機(jī)過程的基本概念; 泊松過程; 馬爾可夫過程; 平穩(wěn)隨機(jī)過程. 為了教學(xué)的方便, 對(duì)概率論的一些有關(guān)知識(shí),也作了必 要的回顧. 在馬爾可夫過程中介紹:馬爾可夫鏈和連續(xù)時(shí)間的馬爾 可夫鏈;在平穩(wěn)隨機(jī)過程中介紹:平穩(wěn)隨機(jī)過程,平穩(wěn)過 程的譜分析以及時(shí)間序列分析. 主參考書目: 陸大銓編著,隨機(jī)過程及其應(yīng)用,清華版, 1986; S.M.Ross著, 何聲武等譯,隨機(jī)過程, 統(tǒng)計(jì)版, 1997; 劉次華編著, 隨機(jī)過程

3、, 華中理工版, 2001.,第一章 預(yù)備知識(shí),1.1 概率空間 隨機(jī)試驗(yàn) 試驗(yàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)言,但具有特性 (1) 可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行; (2) 每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè),但預(yù)先知道試驗(yàn)的所有 可能的結(jié)果; (3) 每次試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn). 樣本空間 由隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果組成的集合(). 樣本點(diǎn)或基本事件 中的元素e. 事件 的子集A. 稱必然事件;空集稱不可能事件. -代數(shù)F, F上的概率,獨(dú)立事件族G : 定義1.1 設(shè)是一個(gè)集合,F 是的某些子集組成的集合 族. 如果,概率空間,(1) F ; (2) 若AF ,則A=AF ; (3) 若AnF ,n=1,2,則

4、 F , 那么F 稱為-代數(shù)(Borel域).(,F )稱為可測空間,F中 的元素稱為事件. 由定義1.1且有: (4) F ; (5) 若A,BF ,則ABF ; (6) 若AiF ,i=1,2,則 , , F . 定義1.2 設(shè)(,F )是可測空間,P()是定義在F 上的實(shí)值 函數(shù).若 (1) 任意AF ,0P(A)1; (2) P()=1;,概率空間,(3) 對(duì)兩兩互不相容事件A1,A2,(當(dāng)ij時(shí),A1A2= ),有P( )= P(Ai), 則稱P是(,F )上的概率. (,F ,P)稱為概率空間,P(A) 為事件A的概率. 由定義1.2且有: (4) P()=0; (5) 若A,BF

5、 ,A B,則P(BA)=P(B)-P(A),即概率具 有單調(diào)性; (6) 設(shè)AnF ,n=1,2,則 P(An)= 定義1.3 設(shè)(,F ,P)是概率空間,G F,若對(duì)于任意的A1, A2,AnG,n=1,2,有P( )= ,則稱G為 獨(dú)立事件族.,P( ),A1 A2 ,P( ),A1 A2 ,隨機(jī)變量及其分布,1.2 隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量是概率論的主要研究對(duì)象,隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī) 律用分布函數(shù)來描述. 定義1.4 設(shè)(,F ,P)是概率空間. X=X(e)是定義在上 的實(shí)函數(shù), 若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,e:X(e)xF,則稱X(e) 是F上的隨機(jī)變量,簡記為X. 稱 F(x)=P(e:X(e

6、)x), -x+ 為隨機(jī)變量X的分布函數(shù). 分布函數(shù)F(x)具有性質(zhì): (1) F(x)是非降函數(shù),即當(dāng)x1x2時(shí),F(x1)F(x2); (2) F(-)= F(x)=0, F(+)= F(x)=1; (3) F(x)右連續(xù),即F(x+0)=F(x).,隨機(jī)變量的分布函數(shù),重要事實(shí):定義在R=(-,+)上的實(shí)值函數(shù)F(x),如果 具有上述三個(gè)性質(zhì), 則必存在一個(gè)概率空間(,F ,P)及 該概率空間上的隨機(jī)變量X, X的分布函數(shù)是F(x). 常用的隨機(jī)變量有兩種類型: 離散型隨機(jī)變量,連續(xù)型 隨機(jī)變量. 離散型隨機(jī)變量X的概率分布用分布列描述: pk=P(X=xk), k=1,2, ; 其分布

7、函數(shù)F(x)= pk . 連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率分布用概率密度f(x)描述, 其 分布函數(shù)F(x)= . 常見隨機(jī)變量的分布見下頁的表:,常見隨機(jī)變量的分布,分布 分布律或概率密度 期望 方差 特征函數(shù) 0-1 分布 二項(xiàng)分布 泊松分布 幾何分布 均勻分布 正態(tài)分布 指數(shù)分布,P(X=1)=p, P(X=0)=q, 0p1, p+q=1.,p pq q+peit,P(X=k)= pkqn-k,k=0,1, ,n; 0p1, p+q=1.,np npq (q+peit)n,P(X=k)= ,0, k=0,1, ,P(X=k)=pqk-1,0p1, p+q=1,k=1,2,1/(b-a),axb

8、0, 其它,f(x)=,f(x)= ,-x+, 2,f(x)= ,0,e-x,x0,0, x0,n維隨機(jī)變量及其概率分布,定義1.5 設(shè)(,F,P)是概率空間,X=X(e)=(X1(e),Xn( e)是定義在上的n維空間Rn中取值的向量函數(shù).如果 對(duì)任意x=(x1,x2,xn)Rn,e: X1(e)x1,X2(e)x2, ,Xn(e)xnF,則稱X=X(e)為n維隨機(jī)變量或n維隨 機(jī)向量. 稱 F(x)=F(x1,x2,xn)=P(e: X1(e)x1,X2(e)x2, Xn(e)xn), x=(x1,x2,xn)Rn 為X=(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù). n維聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2

9、,xn)具有性質(zhì): (1)對(duì)于每一個(gè)變?cè)獂i(i=1,2,n),F(x1,x2,xn)都 是非降函數(shù); (2)對(duì)于每一個(gè)變?cè)獂i(i=1,2,n),F(x1,x2,xn)都,n維隨機(jī)變量及其概率分布,是右連續(xù)函數(shù); (3)對(duì)于Rn中的任意區(qū)域(a1,b1;an,bn),其中aibi, i=1,2,n, 成立 F(b1,b2,bn)- F(b1,bi-1,ai,bi+1,bn) + F(b1,bi-1,ai,bi+1,bj-1,aj,bj+1,bn) +(-1)nF(a1,a2,an)0 ; (4) F(x1,x2,xi,xn)=0, i=1,2,n , 而 F(x1,x2,xn)=1. 重要事

10、實(shí):定義在Rn上的實(shí)值函數(shù)F(x1,x2,xn),如果 具有上述四個(gè)性質(zhì), 則必存在一個(gè)概率空間(,F ,P)及 其上的n維隨機(jī)變量X=(X1,X2,Xn),X的聯(lián)合分布函數(shù)為,n維隨機(jī)變量及其概率分布,F(x1,x2,xn). 在應(yīng)用中,常見的n維隨機(jī)變量也有兩種類型: (1)若隨機(jī)向量X=(X1,X2,Xn)的每個(gè)分量Xi, i=1,2, ,n都是離散型隨機(jī)變量,則稱X是離散型隨機(jī)向量. 離散型隨機(jī)向量X=(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布列為: =P(X1=x1,X2=x2,Xn=xn) 其中xiIi, Ii是離散集,i=1,2,n. X的聯(lián)合分布函數(shù) F(y1,y2,yn)= (y1,y2

11、,yn)Rn. (2)若存在定義在Rn上的非負(fù)函數(shù)f(x1,x2,xn),對(duì)于 任意(y1,y2,yn)Rn,隨機(jī)向量X=(X1,X2,Xn)的聯(lián)合 分布函數(shù)F(y1,y2,yn)= 則稱X是連續(xù)型隨機(jī)向量, f(x1,x2,xn)稱為X的聯(lián)合概,n維隨機(jī)變量及其概率分布,率密度. 定義1.6 設(shè)Xt,tT是一族隨機(jī)變量,若對(duì)任意的n2, t1,t2,tnT, x1,x2,xnR, 有 P( x1, x2, xn)= 則稱Xt,tT是獨(dú)立的. 若Xt,tT是一族獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量, 則上式等 價(jià)于P( =x1, =x2, =xn)= ; 若Xt,tT是一族獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量, 則上式等 價(jià)

12、于 (x1,x2,xn)= , 其中 (x1, x2,xn)是隨機(jī)向量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合概率密度且 是隨機(jī)變量 的概率密度,i=1,2,n. 獨(dú)立性是概率論中的重要概念,獨(dú)立性的判斷通常是根 據(jù)經(jīng)驗(yàn)或具體情況來決定的.,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,1.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 隨機(jī)變量的的概率分布完全由其分布函數(shù)描述,但分布函數(shù)的確定卻是不容易的.在實(shí)際問題中往往只需要知道隨機(jī)變量的某些特征值就足夠了. 定義1.7. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),若 ,則稱 為X的數(shù)學(xué)期望或均值,記為E(X). 也稱Lebesgue-Stieltjes積分. 若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度為f(x),則E(

13、X)= ; 若X是離散型隨機(jī)變量,分布列pk=P(X=xk),k=1,2,則 E(X)= , 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的取值依概率的平均.,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì): (1)設(shè)a,b,c是常數(shù),則有E(c)=c, E(aX+bY)=aEX+bEY; (2)設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有E(XY)=E(X)E(Y); (3)(單調(diào)收斂定理)若0XnX,則 EXn=EX; (4)(Fatou引理)若Xn0,則 E( Xn) E(Xn) E(Xn)E( Xn).,注: 設(shè)R是實(shí)數(shù)集,若存在一個(gè)實(shí)數(shù),對(duì)任意的正數(shù)有 (1) R中的元素x滿足-x的只有有限個(gè)(+,); (2) R中

14、的元素x滿足+x的有無窮多個(gè)(-,), 則稱是R的下(上)極限.,定義1.8. 設(shè)X是隨機(jī)變量, 若EX2,則稱E(X-EX)2為X 的方差,記為D(X)或Var(X).,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,方差及二階矩的重要性質(zhì): (1)設(shè)c是常數(shù),則D(c)=0, D(cX)=c2D(X); (2)設(shè)a,b是常數(shù),隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立,則D(aX+bY)=a2D(X) +b2D(Y); (3)D(X)=0 X以概率1取常數(shù)c(=E(X),即PX=c=1; (4)(Schwarz不等式)若EX2,EY2,則E(XY)2 EX2EY2. 隨機(jī)變量的方差反映隨機(jī)變量取值的離散程度. 定義1.9. 設(shè)X,Y是隨機(jī)變

15、量,EX2,EY2,則稱 EX-E(X)Y-E(Y)為X與Y的協(xié)方差, 記為BXY或Cov (X,Y). 稱XY=BXY/( )為X、Y的相關(guān)系數(shù). 若XY=0,則稱X,Y不相關(guān).XY反映X,Y之間的線性相關(guān),隨機(jī)變量的數(shù)字特征,程度的大小. XY是一個(gè)無量綱的量; |XY|1. 對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y,成立等式: D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y). 將Cov(X,Y)的定義式:Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y) 展開,有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(協(xié)方差的計(jì)算式). 協(xié)方差具有性質(zhì): (1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2) 設(shè)

16、a,b是常數(shù),則Cov(aX,bY)=abCov(X,Y); (3) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y). k階矩. 設(shè)X和Y是隨機(jī)變量.若E(Xk),k=1,2,存在,則 稱之為X的k階原點(diǎn)矩(簡稱k階矩);若EX-E(X)k,k= 1,2,存在,則稱之為X的k階中心矩.,分布函數(shù),概率密度函數(shù)的函數(shù)曲線,均勻分布的分布函數(shù)與概率密度: F(x)= 正態(tài)分布的分布函數(shù)及其概率密度: 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)= , -x,其中,(0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù) 為,的正態(tài)(或高斯Gaoss)分布,記為XN(,). 特別,當(dāng)=0,=1時(shí),稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

17、布. F(x)= .,f(x),x,a,b,xa,axb,xb,F(x),x,a,b,1,F(x),x,o,0.5,f(x),x,o,-,+,特征函數(shù)和母函數(shù),1.4 特征函數(shù)和母函數(shù) 特征函數(shù)是研究隨機(jī)變量分布律的一個(gè)重要工具.由于 分布律與特征函數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此在得知 隨機(jī)變量的特征函數(shù)之后,就可以知道它的分布律. 用 特征函數(shù)求分布律比直接求分布律容易得多,而且特征 函數(shù)具有良好的分析性質(zhì). 定義1.10 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),則稱 g(t)=E(eitX)= , -x+ 為X的特征函數(shù). 特征函數(shù)g(t)是實(shí)變量t的復(fù)值函數(shù),由于|eitX|=1, 故 隨機(jī)變量

18、的特征函數(shù)總存在. 當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量,分布列pk=P(X=xk),k=1,2,時(shí),特征函數(shù),g(t)= ; 當(dāng)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度為f(x)時(shí), g(t)= . 隨機(jī)變量的特征函數(shù)具有性質(zhì): (1)(有界性). 設(shè)g(t)是特征函數(shù),則g(0)=1;|g(t)|1;g(-t)=g(t). (2)(一致連續(xù)性). 特征函數(shù)g(t)在(-,+)上一致連續(xù). (3)(非負(fù)定性). g(t)是非負(fù)定函數(shù). 即對(duì)任意的正整數(shù)n及任意實(shí)數(shù)t1, t2,tn和復(fù)數(shù)z1,z2,zn有 0.,特征函數(shù),證明: = =E =E 0. (4) 若X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則X=X1+X2+

19、+Xn的特征函數(shù)g(t)=g1(t)g2(t)gn(t).其中g(shù)i(t), i=1,2,n是隨機(jī)變量Xi的特征函數(shù). 證明: 因?yàn)閄1,X2,Xn相互獨(dú)立,所以 也相互獨(dú)立. 因而 g(t)=EeitX=E =E( ),特征函數(shù),=E E E =g1(t)g2(t)gn(t). (5) 若隨機(jī)變量X的n階原點(diǎn)矩EXn存在,則X的特征函數(shù) g(t)的n階導(dǎo)數(shù)存在,且當(dāng)kn時(shí),有g(shù)(k)(0)=ikEXk. (6)(惟一性). 隨機(jī)變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)惟一確定(相互).當(dāng) X為連續(xù)型隨機(jī)變量,且有F(x)=f(x)及 ,則 如何求指數(shù)分布的g(t)?設(shè)f(x)= ,求g(t).,e-x,x0

20、,0, x0,(Laplace變換),特征函數(shù),因?yàn)?g(t)=EeitX= eitxf(x)dx= eitxe-xdx = e-x(costx+isintx)dx = e-xcostxdx+i e-xsintxdx = +i =(1- )-1. 對(duì)n維隨機(jī)變量也可定義特征函數(shù), 且有類似于一維隨 機(jī)變量的特征函數(shù)的性質(zhì). 定義1.11 設(shè)X=(X1,X2,Xn)是n維隨機(jī)量,t=(t1,t2, tn)Rn,則稱g(t)=g(t1,t2,tn)=E( )為n維隨 機(jī)變量X的特征函數(shù).,特征函數(shù),例1.1 設(shè)X服從B(n,p),求X的特征函數(shù)g(t)及EX,EX2和DX. 解: X的分布列為:P

21、(X=k)= pkqn-k,q=1-p,k=0,1,2,n. g(t)= eitk pkqn-k= (peit)kqn-k=(peit+q)n. 由性質(zhì)(5)知 EX=-ig(0)=-i (peit+q)n|t=0=np ; EX2=(-i)2g(0)=(-i)2 (peit+q)n|t=0=npq+n2p2. DX=EX2-(EX)2=npq. 例1.2 設(shè)XN(0,1),求X的特征函數(shù)g(t). 解: g(t)= .由| |=|x| , 知, 對(duì)g(t)的表出式可在積分號(hào)下求導(dǎo). 求導(dǎo)得:,特征函數(shù),g(t)= = =- - =-tg(t). 于是得微分方程: g(t)+tg(t)=0.

22、這是一個(gè)可分離變量的方程,故有: =-tdt. 兩邊積分得:lng(t)=-t2/2+c,因而通解g(t)= . 由于g(0)=1,所以c=0. 于是X的特征函數(shù):g(t)= . 例1.3 (特征函數(shù)具有線性性) 設(shè)隨機(jī)變量X的特征函數(shù)為gX(t),Y=aX+b,其中a、b為任 意實(shí)數(shù).證明隨機(jī)變量Y的特征函數(shù)gY(t)=eitbgX(at).,特征函數(shù),證明: gY(t)=Eeit(aX+b)=Eei(at)Xeibt=eibtEei(at)X =eitbgX(at). 例1.4 設(shè)隨機(jī)變量XN(a,2),求Y=X+a的特征函數(shù). 解: 設(shè)XN(0,1),則由例1.2知X的特征函數(shù)gX(t)

23、= . 令Y=X+a,則YN(a,2).由例1.3知,Y的特征函數(shù)為 gY(t)=eiatgX(t)=eiat = . 例1.5 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布,求X的特征 函數(shù). 解: 因?yàn)镻X=k= ,k=0,1,2,故g(t)= eitk =e- = .,特征函數(shù),例1.6 證若隨機(jī)變量X的n階原點(diǎn)矩EXn存在,則X的特征函 數(shù)g(t)的n階導(dǎo)數(shù)存在,且當(dāng)kn時(shí)有g(shù)(k)(0)=ikEXk.(5) 證明: X的n階矩存在, , X的特征函數(shù) gX(t)= ,由于 =|x|k, 所以有 = = = . 于是得 即g(k)(0)=ikEXk. 在常見隨機(jī)變量分布表右欄中,給出了相應(yīng)的特征函

24、數(shù). 例1.7 求X2分布的特征函數(shù),數(shù)學(xué)期望和方差. 解:首先:設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1),求X2的特征函數(shù).由定義,特征函數(shù),有: = = = = = . 接著:求X2分布的特征函數(shù),數(shù)學(xué)期望和方差. 設(shè)X1,X2,Xn相互獨(dú)立且同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1), 則X2= 服從自由度為n的卡方分布.由上證已知 的特征函數(shù)為 ,j=1,2,n. X1,X2,Xn相互獨(dú)立, 也相互獨(dú)立. 由特征函數(shù)性質(zhì)4得X2的特征函數(shù):,特征函數(shù),由 的表達(dá)式,易知: , ; , . 再由特征函數(shù)的性質(zhì)5,便得X E(X2)=g(0)/i=in/i=n; E(X2)2=g(0)/i2=i2n(n+2)/i2=

25、n(n+2), 從而有 D(X2)=E(X2)2-E(X2)2=n(n+2)-n2=2n.,.,(t),概率母函數(shù),母函數(shù)是研究非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量非常方便的工具. 定義1.12 設(shè)X是非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量,分布列 pk=P(X=k), k=0,1,2, 當(dāng)|s|1時(shí), 則稱P(s)=E(sX)= pksk為X的概率母函數(shù),簡稱母函數(shù). 母函數(shù)具有以下性質(zhì): (1)非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量的分布列由其母函數(shù)唯一確定. (2)設(shè)P(s)是X的母函數(shù). 若EX存在,則EX=P(1); 若DX存在,則DX=P(1)+P(1)-P(1)2. (3)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的母函數(shù)等于母函數(shù)之積. (4)若X1,X2,是

26、相互獨(dú)立且同分布的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī) 變量, N是與X1,X2,獨(dú)立的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量, 則 Y= Xk的母函數(shù)H(s)=G(P(s),其中G(s),P(s)分別,概率母函數(shù),是N,X1的母函數(shù). 證明: (1)P(s)= pksk= pksk+ pksk,n=0,1,. 上式兩邊對(duì)s求n階導(dǎo)數(shù),得 P(n)(s)=n!pn+ k(k-1)(k-n+1)pksk-n. 令s=0,則P(n)(0)=n!pn ,故pn=P(n)(0)/n!, n=0,1,2,. (2)由P(s)= pksk知,P(s)= kpksk-1. 令s1,得 EX= kpk=P(1). 又由P(s)= k(k-1)pksk

27、-2= k2pksk-2- kpksk-2知, 當(dāng)s1時(shí),P(1)=EX2-EX .但 DX=EX2-(EX)2,所以有 DX=P(1)+EX-(EX)2=P(1)+P(1)-P(1)2.,概率母函數(shù),(3)設(shè)隨機(jī)變量X=X1+X2+Xn, 且X1,X2,Xn相互獨(dú)立.因而 也相互獨(dú)立. 由數(shù)學(xué)期望重要性質(zhì)(2)即知 PX(s)=E(sX)=E( ) =E( ) =E( )E( )E( ) = (s) (s) (s). (4)H(s)= P(Y=k)sk= P(Y=K, N=t)sk = P(N=t)P(Y=k)sk = P(N=t) P(Y=k)sk,概率母函數(shù),= P(N=t) P( Xj

28、=k)sk = P(N=t)P(s)t=GP(s). 由EX1=P(1),EY=H(1),EN=G(1)及H(s)=GP(s)知 H(s)=GP(s)P(s)=P(s)GP(s) 令s1, 得H(1)=P(1)GP(1),但P(1)=E( )=E(1) =1, 故有 EY=ENEX1(). 例1.8 設(shè)商店在一天的顧客數(shù)N服從參數(shù)=1000人的泊 松分布,而每位顧客所花的錢Xi服從N(100,502).求商店 的日銷售額Y的平均值. 解: 由題設(shè)知EN=1000, EX1=100, 再由()式得 EY=ENEX1=1000100=100000(元).,概率母函數(shù),概率母函數(shù)的例 概率母函數(shù)的概

29、念在19世紀(jì)初由拉普拉斯引入,是概率 論中第一個(gè)被系統(tǒng)應(yīng)用的變換方法.運(yùn)用于處理整值隨機(jī) 變量的場合,既簡單也方便. 從 pk=1及|s|1知,概率母函數(shù)對(duì)任何整值隨機(jī)變 量都存在. 二項(xiàng)分布的概率母函數(shù) P(s)= C(n,k)pkqn-ksk=(q+ps)n. 泊松分布的概率母函數(shù) P(s)= =e-es=e(s-1). 幾何分布的概率母函數(shù) P(s)= qk-1psk=ps (qs)k-1=ps/(1-qs).,概率母函數(shù),對(duì)概率母函數(shù)性質(zhì)的簡釋 1.惟一性 由概率分布及P(s)= pksk所確定的母函數(shù)顯然是惟一 的.反過來,由概率母函數(shù)也能惟一確定隨機(jī)變量的概率分 布.事實(shí)上,如果p

30、k與qk分別具有概率母函數(shù)G(s),H(s) 且若G(s)=H(s),因G(s)和H(s)均為冪級(jí)數(shù),在|s|1的條 件下絕對(duì)收斂,故G(s)與H(s)的k次導(dǎo)數(shù)存在,于是有: k!pk=G(k)(0)=H(k)(0)=k!qk 所以,對(duì)k=0,1,2,成立pk=qk,即pk=qk. 2.概率母函數(shù)與數(shù)字特征間成立 P(s)|s=1=E(X); P(s)|s=1=E(X2)-E(X). 由此式及二 項(xiàng)分布,泊松分布等的概率母函數(shù)很容易求其期望和方差.,概率母函數(shù),3.求取二項(xiàng)分布的概率母函數(shù). 解:設(shè)在貝努利試驗(yàn)中,A事件出現(xiàn)的概率為p.用Xi=1表 示事件A出現(xiàn),Xi=0表示事件A不出現(xiàn),其

31、概率q=1-p.于是 得到一相互獨(dú)立的隨機(jī)序列X1,X2,Xn.設(shè)Y=X1+X2+ +Xn,則Y服從二項(xiàng)分布. Xi的概率母函數(shù)P(s)=q+sp,所 以Y的母函數(shù)為P(s)=(q+ps)n. 從中可以看出,利用概率母函數(shù)解決一些古典概型問題 往往是很便捷的. 設(shè)X1,X2,Xn是列非負(fù)整值隨機(jī)變量, PXi=k=fk, 其母函數(shù)F(s)= fksk.又若是正整數(shù)的隨機(jī)變量, P=n=gn,其母函數(shù)G(s)= gnsn且與X1,X2,Xn, 相互獨(dú)立.,概率母函數(shù),定義=X1+X2+X,是隨機(jī)個(gè)獨(dú)立同分布非負(fù)整值 隨機(jī)變量之和. 求的概率母函數(shù)及其數(shù)字特征. 解: 記P=r=hr,由條件概率公

32、式及與Xi相互獨(dú)立, 有hr=P=r= P=nP=r|=n = P=nPX1+X2+X=r|=n = P=nPX1+X2+Xn=r 由于X1+X2+Xn是n個(gè)相互獨(dú)立同分布非負(fù)整值隨機(jī)變 量之和,故其母函數(shù)為 PX1+X2+Xn=rsr=F(s)n. 記的母函數(shù)為H(s)= hrsr,則,概率母函數(shù),H(s)= P=nPX1+X2+Xn=rsr = P=n PX1+X2+Xn=rsr = P=nF(s)n =GF(s). 可見,隨機(jī)個(gè)相互獨(dú)立同分布非負(fù)整值隨機(jī)變量之和的概 率母函數(shù)是原來兩個(gè)母函數(shù)的復(fù)合. 于是從 H(s)=GF(s)F(s)知: 當(dāng)EXi和E存在時(shí),在上式中令s1,即有E=E

33、EXi.而 從 H(s)=GF(s)F(s)2+GF(s)F(s)及令s=1,得 D=E2-(E)2=H(1)+H(1)-H(1)2 =(EXi)2(D)+(E)(DXi).,概率母函數(shù),其具體的運(yùn)算過程是: D=H(1)+H(1)-H(1)2 =G(1)F(1)2+G(1)F(1)+G(1)F(1)-G(1)2F(1)2 =F(1)2G(1)+G(1)-G(1)2+ G(1)F(1)+F(1)- F(1)2=(EXi)2(D)+(E)(DXi). 考慮若服從參數(shù)為的泊松分布,Xi的母函數(shù)為F(s),則 如何求 =X1+X2+X 的母函數(shù)的表示式呢? 由的母函數(shù)G(s)=e(s-1)知的 母函

34、數(shù) H(s)=eF(s)-1. 在正文的討論中,將用到此結(jié)果,即H(s)為復(fù)合泊松分布的 母函數(shù),亦即服從復(fù)合泊松分布. 特別,F(s)=q+ps時(shí),H(s)=ep(s-1),仍服從泊松分布.,矩母函數(shù),定義1.13 設(shè)X是隨機(jī)變量,則稱隨機(jī)變量函數(shù) (t)=E(etX) 為X的矩母函數(shù). 由定義1.13知 (1)若X有任意階原點(diǎn)矩k(k=1,2,),則X的矩母函數(shù) (t)=1+ tk; k=(k)(0). (2)若X是離散型隨機(jī)變量,其可能的取值為 x1,x2, PX=xk=pk,則(t)= pk. (3)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其分布密度函數(shù)為f(x),則 (t)= etxf(x)dx. 概

35、率母函數(shù),矩母函數(shù)和特征函數(shù)之間的關(guān)系: P(et)=(t); P(eit)=g(t); (it)=g(t).,條件期望,1.5 條件期望 設(shè)X,Y是離散型隨機(jī)變量,對(duì)一切使PY=y0的y,定義 給定Y=y時(shí),X的條件概率為 PX=x|Y=y= , 給定Y=y時(shí),X的條件分布為 F(x|y)=PXx|Y=y, 給定Y=y時(shí),X的條件期望為 E(X|Y=y)= xdF(x|y)= xPX=x|Y=y. 若X,Y是連續(xù)型隨機(jī)變量,其聯(lián)合概率密度為f(x,y),則 對(duì)一切使fY(y)0的y,給定Y=y時(shí),X的條件概率密度定義 f(x|y)= ,為,條件期望,給定Y=y時(shí),X的條件分布為 F(x|y)

36、=PXx|Y=y= f(x|y)dx, 給定Y=y時(shí),X的條件期望定義為 E(X|Y=y)= xdF(x|y)= xf(x|y)dx. E(X|Y=y)是y的函數(shù),y是Y的一個(gè)可能值. 若在已知Y的條 件下,全面地考慮X的均值,需要以Y代替y, E(X|Y)是隨機(jī) 變量Y的函數(shù),也是隨機(jī)變量,稱為X在Y下的條件期望. 條件期望在概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程的討論中是一 個(gè)十分重要的概念,而以下是它的一個(gè)極其有用的性質(zhì): 性質(zhì).若隨機(jī)變量X與Y的期望存在,則 EX=EE(X|Y)= E(X|Y=y)dFY(y)(); 如果Y是離散型隨機(jī)變量,則()式為,條件期望,EX= E(X|Y=y)PY=y;

37、 如果Y是連續(xù)型隨機(jī)變量,則()式為 EX= E(X|Y=y)f(y)dy. 證明: 以下就X與Y都是離散型的隨機(jī)變量證明()式. E(X|Y=y)PY=y= xPX=x|Y=yPY=y = xPX=x,Y=y = x PX=x,Y=y = xPX=x =EX.,條件期望,從()式看出,EX是給定Y=y時(shí),X的條件期望的一個(gè)加 權(quán)平均值,每一項(xiàng)E(X|Y=y)所加的權(quán)是作為條件的事件的 概率PY=y. 若先對(duì)一個(gè)適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量取條件,則不僅使我們能求 得期望,也可以用這種方法計(jì)算事件的概率: 設(shè)A為一個(gè)任意事件,A的示性函數(shù) IA(e)= 是一個(gè)二值隨機(jī)變量,顯然 EIA(e)=P(A), E

38、(IA(e)|Y=y)=P(A|Y=y). 對(duì)任意的隨機(jī)變量Y,用()式,有P(A)= P(A|Y=y)dFY(y).,1,eA, 0,eA.,條件期望,例1.9 設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其分布函數(shù)分別是 FX(x)和FY(y),記(X+Y)的分布函數(shù)為FX*FY,則 FX*FY(a)=PX+Ya= PX+Ya|Y=ydFY(y) = PX+yadFY(y) = FX(a-y)dFY(y). 例1.10(選票問題)在一次選舉中,候選人A得到n張選票而 候選人B得到m張選票,這里nm. 假定選票的一切排列 次序是等可能的,證明,在計(jì)票過程中A的票數(shù)始終領(lǐng)先 的概率為(n-m)/(n+m).

39、 證明: 記所求概率為Pn,m. 以得到最后那張選票的后選人 為條件,有,條件期望,Pn,m=PA始終領(lǐng)先|A得到最后一票PA得到最后一票 +PA始終領(lǐng)先|B得到最后一票PB得到最后一票 =PA始終領(lǐng)先|A得到最后一票 +PA始終領(lǐng)先|B得到最后一票 . 注意到,在A得到最后一票的條件下,A始終領(lǐng)先的概率與A 得到(n-1)票而B得到m張票的概率一樣;以及在B得到最后 一票的條件下,A始終領(lǐng)先的概率與B得到(m-1)票而A得到 n張票的概率一樣. 因而有 Pn,m= Pn-1,m+ Pn,m-1 .() 以下采用數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)n+m做歸納證明Pn,m= .,條件期望,當(dāng)n+m=1時(shí),1=P1,

40、0= ,結(jié)論為真. 假設(shè)n+m=k時(shí)結(jié)論真, 則當(dāng)n+m=k+1時(shí),由()式及歸納假設(shè),有 Pn,m= Pn-1,m+ Pn,m-1 = + = . 例1.11(匹配問題)設(shè)有n個(gè)人,將他們的帽子寄放之后,離 開時(shí)每人隨機(jī)地選取一頂. 求恰好有k個(gè)人選到自己帽 子的概率. 解: 記E為全不匹配的事件.M為某一個(gè)人選取到自己帽子 的事件,自然M是某一個(gè)人沒有選取到自己帽子的事件.,條件期望,令 Pn=P(E), 則Pn與n有關(guān). 取條件概率,有 Pn=P(E|M)P(M)+P(E|M)P(M). 由于P(E|M)=0,所以 Pn=P(E|M) . () 而P(E|M)是n-1個(gè)人從n-1頂帽子中

41、,各取一頂都不匹配 的概率,且其中有一個(gè)人的帽子不在這n-1頂帽子中.該 事件由兩個(gè)互不相容的事件所組成:一個(gè)事件是都不匹 配且多余的那個(gè)人(即他的帽子已被第一個(gè)人取走的那 個(gè)人)未能選中多余的帽子(即第一個(gè)人的帽子); 另一 個(gè)事件是都不匹配,但多余的那人選取到了那頂多余的 帽子.前一個(gè)事件的概率是Pn-1(此時(shí)視多余的那帽子為 多余人的);注意到多余的人是任意的,所以第二個(gè)事件,條件期望,的概率是 Pn-2,因而有 P(E|M)=Pn-1+ Pn-2. 從而有(由()式) Pn= Pn-1+ Pn-2, 等價(jià)地,有: Pn-Pn-1=- (Pn-1-Pn-2). 由于P1=0, P2= ,

42、 故P3-P2=- (P2-P1)=- =- . 從而有: P3=P2- = - . 一般地有 Pn= - + -+(-1)n .(錯(cuò)排問題解),條件期望,對(duì)于固定的k個(gè)人,只有他們選中自己帽子的概率為: Pn-k= Pn-k, 其中Pn-k是其余n-k個(gè)人,從他們自己的那些帽子中選取 但全不匹配的概率. 考慮到k個(gè)人的選擇法有 種, 故恰有k個(gè)匹配的概率 為: Pn-k= - + . 顯然,當(dāng)n充分大時(shí),上式近似地等于: .,數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),總體與個(gè)體.被研究對(duì)象的全體稱總體; 組成總體的每一 基本單位稱個(gè)體. 樣本和樣本容量.從總體中抽出若干個(gè)個(gè)體而成的集體稱 樣本;樣本中所含個(gè)體的個(gè)數(shù)稱樣

43、本容量. 簡單隨機(jī)抽樣.滿足(1)樣本具有代表性; (2)樣本具有獨(dú) 立性的有放回重復(fù)抽樣. 于是,所謂總體其實(shí)是一個(gè)隨機(jī)變量X, 樣本是n個(gè)相互 獨(dú)立且與總體具有相同分布的隨機(jī)變量X1,X2,Xn;一 次抽樣所得的觀測值(x1,x2,xn)稱抽樣結(jié)果; X1,X2, ,Xn獨(dú)立且與總體X同分布,稱之為容量為n的簡單隨機(jī) 樣本(簡稱樣本);由(x1,x2,xn)的所有值組成的集合 稱樣本空間.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),總體與樣本的分布和密度之間的相互聯(lián)系. 設(shè)總體X有分 布函數(shù)F(x), 則X的樣本(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù) F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn= F(xi).

44、 若總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量且有密度函數(shù)(x), 則X的 樣本(X1,X2,Xn)為n維連續(xù)型隨機(jī)變量且其密度函數(shù) (x1,x2,xn)= (xi).(離散型時(shí)為分布列) 統(tǒng)計(jì)量.設(shè)X1,X2,Xn為總體X的一個(gè)樣本,f(x1,x2,xn) 為x1,x2,xn的n維連續(xù)函數(shù), 且其內(nèi)不含有任何未知 參數(shù),則稱f(X1,X2,Xn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量. 五個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量(設(shè)X1,X2,Xn為總體X的樣本). 1.樣本均值: . 2.修正樣本方差: .,數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),3.樣本方差: . 4.樣本k階原點(diǎn)矩: ,k=1,2,3,. 5.樣本k階中心矩: ,k=1,2,3,. 順序統(tǒng)計(jì)量.設(shè)(X1,X2,Xn

45、)為總體X的樣本,(x1,x2,xn) 為樣本觀測值.建立樣本(X1,X2,Xn)的n個(gè)函數(shù): X(k)=fk(X1,X2,Xn),k=1,2,n. 式中X(k)為這樣的統(tǒng)計(jì)量:其觀測值為x(k),而x(k)為樣本 觀測值x1,x2,xn的不減序x(1)x(2)x(n)中第k 個(gè)數(shù)值,同時(shí)相應(yīng)作隨機(jī)變量排序并得X(1),X(2),X(n), 稱之為樣本X1,X2,Xn的順序統(tǒng)計(jì)量.稱X(k)為第k個(gè)順,數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),序統(tǒng)計(jì)量. 顯然X(1)=min(X1,X2,Xn),X(n)=max(X1,X2, ,Xn).記R=X(n)-X(1);X=X(n+1)/2)(n奇數(shù)),X=X(n/2)+X(n

46、 /2+1)/2(n偶數(shù)),并分別稱之為樣本極差和樣本中位數(shù). 設(shè)F(x)為總體X的分布函數(shù),X1,X2,Xn是X的樣本,X(1), X(2),X(n)為樣本的順序統(tǒng)計(jì)量,F(1)(x),F(n)(x)分別是 X(1),X(n)的分布函數(shù).則對(duì)任意實(shí)數(shù)x有 F(n)(x)=F(x)n ; F(1)(x)=1-1-F(x)n . 當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量且有密度函數(shù)(x)時(shí),則X(1),X(n) 也是連續(xù)型隨機(jī)變量,并有 (n)(x)=nF(x)n-1(x); (1)(x)=n1-F(x)n-1(x). 下面是樣本分布函數(shù)的兩種近似求法.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),1.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) (用來近似描述總體的分布函數(shù)

47、,樣本 容量n越大,近似程度越好). 設(shè)X1,X2,Xn是總體X的樣本,X(1),X(2),X(n)為樣本 的順序統(tǒng)計(jì)量,x1,x2,xn為樣本觀值,x(1),x(2),x(n) 為順序統(tǒng)計(jì)量的觀測值.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,定義 稱之為總體X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù). 2.直方圖(用來近似描述連續(xù)型總體的密度函數(shù),容量n 越大,近似程度越好).1求樣本觀測值的極差;2定組距,小 區(qū)間數(shù)m=1.87(n-1)0.4;3算入組點(diǎn)數(shù)和頻率;4描直方圖.,數(shù)學(xué)分析知識(shí)-第二類Eulei積分,Gamma函數(shù)(s)(第二類Eulei積分) (s)= (當(dāng)s0時(shí)收斂). 第二類歐拉積分 具有性質(zhì): (1)(s+1)= = =

48、s(s). (2)(n+1)=n(n)=n(n-1)(n-1)=n!(1)=n!,因?yàn)?(1)= =1. (3)對(duì)積分(s)= 作變換x=u2, 得(s)= .于是有( )= = .這一個(gè) 廣義積分稱Euler-Poisson積分,其值由概率積分 = 以及變換x= ,經(jīng)計(jì)算 = 而得.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),四個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的分布 1.Gamma分布 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為(x)= , 0,0,則稱X服從參數(shù)為和的 伽瑪分布,記為X(,). 且X的k階(原點(diǎn))矩E(Xk)= ,作變換x= t,便= =(+k)/k().進(jìn)而知X 的期望E(X)=(+1)/()=/;再由X的2階矩 E(X2)=(+

49、2)/2()=(+1)/2又得X的方差 D(X)=E(X2)-E(X)2=/2. 若X(1,),Y(2,)且X與Y獨(dú)立,則X+Y (1+2,).另外當(dāng)=1時(shí)即(1,)為指數(shù)分布E().,數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),2.卡方分布 設(shè)X1,X2,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 且都服從標(biāo) 準(zhǔn)正態(tài)分布.記X 2= ,則稱X 2所服從的分布是自由度 為n的卡方分布,記為X 2= X 2(n). 卡方分布的概率密度函數(shù)為:(x)= . 卡方分布的數(shù)學(xué)期望和方差是: E(X 2)=n; D(X 2)=2n. 與伽瑪分布的密度函數(shù)相比較,其實(shí)X 2(n)=( ). 卡方分布具有性質(zhì): 若XX 2(m),YX 2(n),如

50、果X與Y 相互獨(dú)立,則X+YX 2(m+n). 3.t分布(亦稱student分布) 設(shè)XN(0,1),YX 2(n),且X與Y相互獨(dú)立,記T= ,數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),則稱T所服從的分布是自由度為n的t分布,記為Tt(n). t分布的密度函數(shù) (x)= , -x+. (x)是偶函數(shù). 當(dāng)n1時(shí),E(T)=0;當(dāng)n2時(shí),D(T)= .當(dāng)n=1時(shí),T的 密度函數(shù)為(x)= ,稱這時(shí)的T服從標(biāo)準(zhǔn)哥 西(Cauchy)分布;當(dāng)n+時(shí),(x) ,近似 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 4.F分布 設(shè)XX 2(m),YX 2(n)且X與Y相互獨(dú)立,記F= = , 則稱F所服從的分布是自由度為m與n的F分布.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),F

51、分布記為FF(m,n). F分布的密度函數(shù)(x)= . F分布具有性質(zhì): (1)FF(m,n), F(n,m);(2)若Tt(n),則T2F(1,n). 兩類七個(gè)抽樣分布定理 1.設(shè)總體XN(,2),X1,X2,Xn是總體X的樣本,X,S2, S2分別是樣本均值,樣本方差和修正樣本方差,則 (1)XN(,2/n), N(0,1). (2) (= )X2(n-1). (3)X與S2相互獨(dú)立.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí),(4) t(n-1). (5)E(S2)= ,D(S2)= . 2.設(shè)總體XN(1, ),X1,X2,Xm是總體X的樣本,總體 YN(2, ),Y1,Y2,Yn是總體Y的樣本,且兩樣本相 互獨(dú)

52、立, , ; , 分別是X;Y的樣本均值和樣本方差, 則 (6)F= F(m-1,n-1).特別,當(dāng) 時(shí),有 (7)T= t(m+n-2).,第二章 隨機(jī)過程的概念與基本類型,1.1 隨機(jī)過程的基本概念 初等概率論研究的主要對(duì)象是一個(gè)或有限個(gè)隨機(jī)變量 (或隨機(jī)向量). 盡管有時(shí)也討論隨機(jī)變量序列,但它們之 間是被假定相互獨(dú)立的. 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,我們必須 對(duì)一些隨機(jī)現(xiàn)象的變化過程進(jìn)行研究,因而就要考慮無窮 多個(gè)且相互有關(guān)的隨機(jī)變量,記為X(t),tT, 其中T是 一個(gè)無窮集合. X(t)是一族隨機(jī)變量稱之為隨機(jī)過程. 例2.1(生物群體的增長問題) 在描述群體的發(fā)展或演變過程中, 以Xt表

53、示在時(shí)刻t的 群體個(gè)數(shù),則對(duì)每一個(gè)t, Xt是一個(gè)隨機(jī)變量. 假設(shè)從t=0 開始我們每隔24小時(shí)對(duì)群體的個(gè)數(shù)觀測一次,則X(t),t= 0,1,2,是隨機(jī)過程.,隨機(jī)過程的基本概念,例2.2 某電話交換臺(tái)在時(shí)間段0,t內(nèi)接到的呼叫次數(shù)是 與t有關(guān)的隨機(jī)變量X(t). 對(duì)于固定的t,X(t)是一個(gè)取非 負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量. 故X(t),t0,)是隨機(jī)過程. 例2.3 在天氣預(yù)報(bào)中, 若以X(t)表示某地區(qū)第t次統(tǒng)計(jì)所 得到的該天最高氣溫,則X(t)是隨機(jī)變量. 為了預(yù)報(bào)該地 區(qū)未來的氣溫,我們必須研究隨機(jī)過程X(t),t=0,1,2, 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性. 例2.4 在海浪分析中,需要觀測某固定點(diǎn)處海平

54、面的垂直 振動(dòng). 設(shè)X(t)表示在時(shí)刻t該處的海平面相對(duì)于平均海平 面的高度,則X(t)是隨機(jī)變量, 而X(t),t0,)是隨 機(jī)過程. 從上述4例看出:實(shí)際問題要求擴(kuò)大概率論研究范圍,進(jìn),隨機(jī)過程的基本概念,而討論隨機(jī)過程的有關(guān)性質(zhì). 定義2.1 設(shè)(,F,P)是概率空間,T是給定的參數(shù)集.若對(duì) 每個(gè)tT, 有一個(gè)隨機(jī)變量X(t,e)與之對(duì)應(yīng),則稱隨機(jī) 變量族X(t,e),tT是(,F,P)上的隨機(jī)過程, 簡記 為隨機(jī)過程X(t,e),tT. T稱參數(shù)集,一般表示時(shí)間. 通常將隨機(jī)過程X(t,e),tT解釋為一物理系統(tǒng).X(t) 表示系統(tǒng)在時(shí)刻t所處的狀態(tài). X(t)的所有可能狀態(tài)構(gòu) 成的集

55、合稱為狀態(tài)空間(或相空間),記為I. 參數(shù)t可以指通常的時(shí)間,也可以別指其它.為簡單起見, 一般認(rèn)為t指時(shí)間,且tT R=(-,+). 特別,當(dāng)t是向量時(shí),稱此時(shí)的隨機(jī)過程為隨機(jī)場. 從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)說,隨機(jī)過程X(t,e),tT是定義在T,隨機(jī)過程的基本概念,上的二元函數(shù).對(duì)固定的t,X(t,e)是(,F,P)上的隨機(jī) 變量;對(duì)固定的e,X(t,e)是定義在T上的普通函數(shù),稱為 隨機(jī)過程X(t,e),tT的一個(gè)樣本函數(shù)(或軌道), 樣 本函數(shù)的全體稱為樣本函數(shù)空間. 根據(jù)參數(shù)T和狀態(tài)空間I是至多可列集或非至多可列集, 隨機(jī)過程被分為四種類型: . T與I都至多可列; . T非至多可列,I至多可列

56、; . T至多可列,I非至多可列; . T與I都非至多可列. 例2.1, 2.2, 2.3, 2.4分別與之相對(duì)應(yīng). 隨機(jī)過程也根據(jù)Xt之間的概率關(guān)系進(jìn)行分類,如獨(dú)立增 量過程, 馬爾可夫過程, 平穩(wěn)過程, 鞅過程等.,T至多可列的隨機(jī)過程稱 隨機(jī)序列,或稱時(shí)間序列 記為Xt,t=0,1,2,I至多可列的隨機(jī) 過程,稱可列過程,隨機(jī)過程的基本概念,例2.5(熱噪聲電壓)在無線電通訊中接收機(jī)在接收信號(hào)時(shí), 機(jī)內(nèi)的熱噪聲電壓要對(duì)信號(hào)產(chǎn)生持續(xù)的干擾,為消除這 種干擾,必須考慮熱噪聲電壓隨時(shí)間變化的過程. 為此, 通過某種裝置,對(duì)電阻兩端的熱噪聲電壓進(jìn)行長時(shí)間的 測量,并把結(jié)果自動(dòng)記錄下來,作為一次試驗(yàn)結(jié)果,得到 一個(gè)電壓-時(shí)間函數(shù)(即電壓關(guān)于時(shí)間t的函數(shù))ve(t): 在相同條件下獨(dú)立地再進(jìn)行的測量,所得到的記錄是不 同的. 由于熱騷動(dòng)的隨機(jī)性,這相同條件下的每次測量 都將產(chǎn)生不同的電壓-時(shí)間函數(shù). 熱噪聲電壓的變化過 程,即觀測得到的電壓-時(shí)間函數(shù),就是一個(gè)隨機(jī)過程.,o,o,o,v1(t),v2(t),vk(t),t,t,t,隨機(jī)過程的基本概念,這里的熱噪聲電壓變化過程,是用電阻所產(chǎn)生的一族 電壓-時(shí)