2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定義,1. 隱函數(shù)的定義,的形式給出，則稱這種形式所確,的形式稱為,顯函數(shù).,如果函數(shù)y與自變量x之間的關(guān)系由二元方程,定的函數(shù)為隱函數(shù).,隱函數(shù)的顯化.,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),多數(shù)情況下隱函數(shù)不能顯化.,例如，,隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時如何求導(dǎo)?,2. 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).,問題,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例1,解,，代入方程,將此等式兩邊同時對x求導(dǎo),得,用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確

2、定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例2,解,將上面方程兩邊再對,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例3,解,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線斜率就 是橢圓方程確定的隱函數(shù)在（3，4）點 處的導(dǎo)數(shù)值.,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),3. 對數(shù)求導(dǎo)法,(1) 許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).,有些函數(shù)雖然是顯函數(shù)，但直接求導(dǎo)比較困難，可以利用對數(shù)性質(zhì)使函數(shù)的求導(dǎo)變得更為簡單. 例如形式,對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例4,解,等式兩邊取對數(shù)得,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解,例5,等式兩邊取對數(shù)得,2

3、.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例6,設(shè) ，求 .,解,等式兩邊取對數(shù)得,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在研究植物生長情況時，有時需要考察相關(guān)變量如植物質(zhì)量、植物高度、土壤水分等之間的關(guān)系，而這些變量都是隨著時間變化的，可以看作時間的函數(shù)，因此，我們就可以通過時間變量來分析這些變量之間的關(guān)系.,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一般地，變量x、y的關(guān)系由參數(shù)方程,確定，,為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).,例如,消去參數(shù),消參困難如何求導(dǎo)？,問題,稱由此關(guān)系所確定的函數(shù),2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),則,單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)

4、,利用復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法得,或,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),不必記公式，重點理解求導(dǎo)過程！,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例7,求橢圓參數(shù)方程 所確定,的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，并求曲線在,處的切線方程與法線方程.,解,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),處的切線斜率,故所求的切線方程為,法線方程為,即,即,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例8,已知拋射物體的初始運動速度,與水平夾角為 ，,的運動速度的大小和方向.,求物體在任意時刻t時,解,運動方程為,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),所以在時刻 t 物體的運動速度大小為,物體的運動方向就是物體的運動軌跡的切線方向.,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，傾角 可用切線斜率反映，,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),物體運動達(dá)到最高點時，,墜落地面時，y=0，,得,得,又,此時，,2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),內(nèi)容小結(jié),1.隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,直接對方程兩邊求導(dǎo);,2.對數(shù)求導(dǎo)法,實質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則.,對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);,3.參數(shù)方程求導(dǎo),2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù)的