第20講 數(shù)學(xué)命題.ppt

1、第20講 數(shù)學(xué)命題,數(shù)信學(xué)院 羅天琦,數(shù)學(xué)命題概述 數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的心理分析 命題教學(xué)的基本要求和教法探討,一、數(shù)學(xué)命題概述,（一）判斷的意義和種類 1.數(shù)學(xué)判斷 對(duì)思維對(duì)象有所肯定或否定的思維形式叫做“判斷”。 數(shù)學(xué)判斷是關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象及其屬性的判斷。 按照思維對(duì)象的量，判斷可分為：全稱判斷、特稱判斷、單稱判斷； 按判斷的質(zhì)來(lái)分有：肯定判斷、否定判斷； 按判斷的關(guān)系來(lái)分有：定言判斷、選言判斷和假言判斷。,2.常用的判斷形式及其之間的關(guān)系 如果用S表示判斷的對(duì)象，P表示性質(zhì) （1）全稱肯定判斷 “所有的S是P” （2）全稱否定判斷 “所有的S都不是P” （3）特稱肯定判斷 “有的S是P” （4）特

2、稱否定判斷 “有的S不是P” S也叫做判斷的“主項(xiàng)”，P也叫做“謂項(xiàng)”， “所有的”或“有的”表示主項(xiàng)的數(shù)量，叫做“量詞”，在全稱判斷中量詞常常省略不寫； “是”或“不是”稱為聯(lián)結(jié)詞，表示肯定或否定。,（二）數(shù)學(xué)命題的意義 在數(shù)學(xué)中，用來(lái)表示數(shù)學(xué)判斷的陳述句或符號(hào)的組合叫做“數(shù)學(xué)命題”。通常用“p,q,r,s,t”來(lái)表示，并且稱為命題變量（變項(xiàng)）。 對(duì)于無(wú)法判斷其真假的語(yǔ)句，稱為開(kāi)（語(yǔ)）句。 注：形式邏輯專門研究判斷的形式，而不管判斷的內(nèi)容，只從真值的角度研究命題的形式及各種命題之間的關(guān)系。但在數(shù)學(xué)中，既研究命題的內(nèi)容，又研究命題的形式，把內(nèi)容和形式統(tǒng)一起來(lái)研究數(shù)學(xué)命題。 例：在形式邏輯中，命

3、題“如果13,那么1+23+2.” 但在數(shù)學(xué)中,請(qǐng)大家判斷以下語(yǔ)句是否是數(shù)學(xué)命題： （1）數(shù)學(xué)是一門科學(xué)； （2） ； （3）67; （6）你在干什么？ （7）禁止吸煙！ （8）2比3大嗎？ （9）哎呀！那還得了！,（三）復(fù)合命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞 數(shù)學(xué)命題一般可分為簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題兩大類。簡(jiǎn)單命題就是不包含其他命題的命題，又可分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題兩種。 象“一切矩形都是平行四邊形”、“自然數(shù)不是無(wú)理數(shù)”、“有些奇數(shù)是素?cái)?shù)”等都是性質(zhì)命題； 象“一切正數(shù)都大于零”、“直線a平行于直線b”等都是關(guān)系命題。 復(fù)合命題是由兩個(gè)或兩個(gè)以上簡(jiǎn)單命題通過(guò)邏輯聯(lián)結(jié)詞結(jié)合起來(lái)而構(gòu)成的命題。 常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有以

4、下五種： 否定、合取、析取、蘊(yùn)涵、等價(jià),1.否定（非） ，其真值表如下：,2.合?。ㄅc，且）,3.析?。ɑ颍?4.蘊(yùn)涵（如果，則）,P:a和b都是偶數(shù)， Q:a+b也是偶數(shù)。,當(dāng)前件為假時(shí)，無(wú)論后件為真還是假，都不與原來(lái)的命題矛盾。,對(duì)“蘊(yùn)涵”的真值表中后兩行的理解,當(dāng)P為假時(shí)，無(wú)論后件Q為真為假，都不與原來(lái)所給的命題矛盾?！癙 Q”的真值都為真。,P：明天不下雨 Q：我去旅行,P：兩個(gè)加數(shù)都能被3整除 Q：這兩個(gè)數(shù)的和能被3整除,數(shù)學(xué)上P蘊(yùn)涵Q，滿足的條件：,1）P、Q符合數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)際情況，都存在，而且P、Q之間在內(nèi)容、意義上聯(lián)系著。,2）P、Q之間存在著實(shí)際關(guān)系，在前件P為真的條件下，后

5、件Q也是真的。,條件命題（是什么？）,5.等價(jià)（當(dāng)且僅當(dāng)）,（四）復(fù)合命題的值,求復(fù)合命題的值，可先窮盡地列出p、q取值可能，然后再根據(jù)聯(lián)結(jié)詞的強(qiáng)弱順序，逐步得出各層復(fù)合命題的值，直到最后求出整個(gè)復(fù)合命題的值。 聯(lián)結(jié)詞的強(qiáng)弱順序：,1 0 1 1 1 0 1 1,1 1 1 1 0 1 0 1,1 1 1 1 1 0 0 1,1 0 1 1 0 0 0 1,1 1 1 1 1 1 1 1,（五）邏輯等價(jià),如果兩個(gè)復(fù)合命題A、B的真值表相同，我們就稱A、B邏輯等價(jià)。 記為“ ”,可以驗(yàn)證下列邏輯等價(jià)式：,冪等律,（條件命題）假言命題的四種形式及其之間的關(guān)系,例子： 1.原命題：如果兩個(gè)三角形全等

6、，則這兩個(gè)三角 形等積。,逆命題：如果兩個(gè)三角形等積，則這兩個(gè)三角 形全等。,否命題：如果兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三 角形不等積。,逆否命題：如果兩個(gè)三角形不等積，則這兩個(gè) 三角形不全等。,真,假,假,真,2.原命題：如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，則它 的對(duì)角線互相平分。,逆命題：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，則它是平行四邊形。,否命題：如果一個(gè)四邊形不是平行四邊形，則它的對(duì)角線不互相平分。,逆否命題：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線不互相平分，則它不是平行四邊形。,真,真,真,真,3.原命題：如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，則它的對(duì)角線互相垂直。,逆否命題：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線不互相 垂直，則它不是平

7、行四邊形。,逆命題：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直， 則它是平行四邊形。,否命題：如果一個(gè)四邊形不是平行四邊形， 則它的對(duì)角線不互相垂直。,假,假,假,假,互為逆否命題的兩個(gè)條件命題必定同真或同假。,逆否命題的等效原理,它們之間的關(guān)系可以用真值表來(lái)證明：,（六）偏逆命題及其否命題（略）,把原命題中數(shù)目相同的部分前提和結(jié)論互換后得到的命題稱為原命題的偏逆命題。 例如原命題：如果a和b都是偶數(shù)，則a+b也是偶數(shù)。,真,真,(a是偶數(shù))(b是偶數(shù))(a+b是偶數(shù)),偏逆1：(a是偶數(shù)) (a+b是偶數(shù)) (b是偶數(shù)),偏逆2：(a+b是偶數(shù)) (b是偶數(shù)) (a是偶數(shù)),請(qǐng)大家作出下面這個(gè)命題的偏逆

8、命題： 如果四邊形ABCD是平行四邊形，則它的對(duì)邊 相等。,(ABCD)(BCAD)(AB=CD)(BC=AD),(ABCD)(AB=CD)(BCAD)(BC=AD),(AB=CD)(BCAD)(ABCD)(BC=AD),(ABCD)(BC=AD)(AB=CD)(BCAD),(BC=AD)(BCAD)(AB=CD)(ABCD),（七）充分條件和必要條件,如果命題“pq”為真，那么，p就稱為使q成立的充分條件，q就稱為使p成立的必要條件。 充分而非必要條件：pq真但qp假. 必要而非充分條件：pq假但qp真. 充分必要條件：pq和qp均真，簡(jiǎn)稱充要條件.,（八）同一性命題,1) 同一性命題,一個(gè)

9、定理如果是同一性命題，那么這個(gè)命題與它的逆命題等價(jià)。,2) 同一原理,如果一個(gè)命題的前提和結(jié)論都唯一存在，則此命題稱為同一命題。,例 等腰三角形頂角的平分線是底邊上的中線,（九）公理和定理,公理：作為證明其他一切命題的基礎(chǔ)，而不加證明就承認(rèn)其真實(shí)性的一組命題。 公理化方法：從盡可能少的原始概念和公理出發(fā)，應(yīng)用形式邏輯的演繹推理，建立數(shù)學(xué)各分支理論體系的一種方法。 如：歐氏幾何公理體系 公理的選取必須滿足：相容性、獨(dú)立性、完 備性,定理：根據(jù)已知概念和真命題，遵照邏輯規(guī)律，運(yùn)用正確邏輯方法來(lái)證明其真實(shí)性的命題。 逆定理：一個(gè)定理的逆命題若為真，則稱其為該定理的逆定理。 判定定理：用來(lái)確定某個(gè)對(duì)象

10、存在的充分條件的定理。 性質(zhì)定理：確定某個(gè)對(duì)象存在的必要條件的定理。 引理：為證明一個(gè)主要定理作準(zhǔn)備，先證明的一個(gè)或幾個(gè)“小定理”。 推論（或系）：從公理或定理直接推出來(lái)的定理。 證明題：在教材中通常列入例題或習(xí)題，作為推理 論證的練習(xí)。,分?jǐn)嗍矫}和配套定理,在ABC中， 如果ABAC，那么CB； 如果ABAC，那么CB； 如果ABAC，那么CB. 象上例，一個(gè)命題是由幾個(gè)命題總合而成，而 它們的條件和結(jié)論有相同的特點(diǎn)：所含事項(xiàng)互 不相容，又包括了一切可能的情形，則把這樣 的命題稱為“分?jǐn)嗍矫}”.,分命題,二、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)命題的心理分析,對(duì)公理、定理、公式的學(xué)習(xí)很大程度上依賴于直接感知 難以從條件與結(jié)論的關(guān)系上把握條件命題 孤立地學(xué)習(xí)定理、公式,三、公理、定理、公式的教法探討,公理的教法 采用學(xué)生熟知的具