高中數(shù)學(xué) 第11課時(shí) 點(diǎn)到直線的距離教學(xué)案（2）

1、2.1.6第二節(jié) 點(diǎn)到直線的距離（）【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 點(diǎn)到直線的距離公式兩條平行直線之間的距離公式直接運(yùn)用公式求值對(duì)稱問題的運(yùn)用平面幾何中的運(yùn)用學(xué)習(xí)要求 1鞏固點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行直線間的距離公式；2掌握點(diǎn)、直線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱（或關(guān)于直線成軸對(duì)稱）的點(diǎn)、直線的求解方法； 3能運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行直線間的距離公式靈活解決一些問題【課堂互動(dòng)】自學(xué)評(píng)價(jià)1.若與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則,2. 若與關(guān)于直線對(duì)稱,則與的中點(diǎn)落在直線上,且與的連線與垂直.【精典范例】例1：在直線上找一點(diǎn),使它到原點(diǎn)和直線的距離相等分析：直線 與直線平行，即可算出它們之間的距離，然后利用兩點(diǎn)之間的距離公式算出該

2、點(diǎn)的坐標(biāo)聽課隨筆【解】直線與之間的距離為：設(shè)直線上的點(diǎn)滿足題意，則，解得或，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或點(diǎn)評(píng):本題主要利用兩條平行直線之間的距離公式解決問題，是對(duì)上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的一個(gè)復(fù)習(xí)與鞏固例2：求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程分析：解題的關(guān)鍵是中心對(duì)稱的兩直線互相平行，并且兩直線與對(duì)稱中心的距離相等【解】設(shè)所求直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，（舍去）或，所以，所求直線的方程為點(diǎn)評(píng):本題也可以利用點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱，設(shè)直線上任意一點(diǎn)（在直線上，所以）與對(duì)稱的點(diǎn)為則，解得，然后將，的值代入求出所求直線，比較而言，此法注重軌跡的推導(dǎo)過程，而前面的方法比較簡(jiǎn)便，為求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程的基本方法（直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)

3、稱的問題）例3：已知直線：，：，求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程分析：直線關(guān)于直線對(duì)稱，可以在上任意取兩個(gè)點(diǎn)，再分別求出這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，最后利用兩點(diǎn)式求出所要求的方程這里可以通過求出交點(diǎn)這個(gè)特殊點(diǎn)以簡(jiǎn)化計(jì)算【解】由，解得：，過點(diǎn)，又顯然是直線上一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，即，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)、，所以由兩點(diǎn)式得它的方程為：點(diǎn)評(píng): 本題為求直線關(guān)于第三條直線對(duì)稱的直線方程的基本方法（兩條直線關(guān)于第三條直線對(duì)稱的問題）注意：這里有一種特殊情況：直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為：例4：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，證明：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高分析：要證明的結(jié)論中涉

4、及的都是點(diǎn)到直線的距離，故可考慮用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算距離，因此必須建立直角坐標(biāo)系.【證明】設(shè)是等腰三角形，以底邊所在直線為軸，過頂點(diǎn)且垂直與的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖）設(shè)，(，)，則直線的方程：，即：直線的方程：，聽課隨筆即：設(shè)底邊上任意一點(diǎn)為（），則到的距離，到的距離，到的距離 故原命題得證點(diǎn)評(píng):本題主要利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何證明方面的運(yùn)用，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題.追蹤訓(xùn)練一 點(diǎn)在軸上,若它到直線的距離等于，則的坐標(biāo)是或直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為3. 光線沿直線1：照射到直線2：上后反射，求反射線所在直線的方程【解】由，解得：，過點(diǎn)，又顯然是直線上一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線

5、的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，即，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)、，所以由兩點(diǎn)式得它的方程為求證：等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)到兩腰（所在直線）的距離的差的絕對(duì)值等于一腰上的高分析：要證明的結(jié)論中涉及的都是點(diǎn)到直線的距離，故可考慮用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算距離，因此必須建立直角坐標(biāo)系【證明】設(shè)是等腰三角形，以底邊所在直線為軸，過頂點(diǎn)且垂直于的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，直線方程為：，即：，直線方程為：，即：，設(shè)或是底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，則到距離為，到距離為，到距離為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，故原命題得證【選修延伸】一、數(shù)列與函數(shù) 例:分別過兩點(diǎn)作兩條平行線，求滿足下列條件的兩條直線方程：（1）兩平行線間的距離

6、為；（2）這兩條直線各自繞、旋轉(zhuǎn)，使它們之間的距離取最大值聽課隨筆分析：（）兩條平行直線分別過，兩點(diǎn),因此可以設(shè)出這兩條直線的方程之間(注意斜率是否存在)，再利用兩條平行直線之間的距離公式，列出方程，解出所要求的直線的斜率；（）這兩條平行直線與垂直時(shí)，兩直線之間距離最大【解】（1）當(dāng)兩直線的斜率不存在時(shí)，方程分別為，滿足題意當(dāng)兩直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程分別為與，即： 與，由題意：，解得，所以，所求的直線方程分別為：， 綜上：所求的直線方程分別為：，或（2）結(jié)合圖形，當(dāng)兩直線與垂直時(shí)，兩直線之間距離最大，最大值為，同上可求得兩直線的方程此時(shí)兩直線的方程分別為，點(diǎn)評(píng):（）設(shè)直線方程時(shí)一定要先考慮直線的斜率是否存在，利用平行直線之間的距離公式列出相應(yīng)的方程，解出相應(yīng)的未知數(shù)；（）體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)思維點(diǎn)拔：對(duì)稱問題在遇到對(duì)稱問題時(shí)關(guān)鍵是分析出是屬于什么對(duì)稱情況，這里大致可以分為：點(diǎn)關(guān)與點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱這四種情況，一旦確定為哪種情況后對(duì)應(yīng)本節(jié)課的四種基本方法進(jìn)行求解追蹤訓(xùn)練二1兩平行直線，分別過，（），之間的距離為，求兩直線方程；（）若，之間的距