幾何光學(xué)的基本原理3.3[光學(xué)教程]第四版姚啟鈞

1、1,第3章 幾何光學(xué)的基本原理 （Principles of Geometrical Optics ）,3.3 光在球面上的反射 和折射,單獨一個球面不僅是一個簡單的光學(xué)系統(tǒng)，而且光學(xué)儀器中透鏡的表面都是球面的，因而球面是組成光學(xué)儀器的最基本單元。研究光經(jīng)球面反射和折射是研究一般光學(xué)系統(tǒng)成像的基礎(chǔ)。,2,物空間和像空間,物空間 未經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)變換的光束所在的幾何空間稱為物空間或者說，入射光線所行進(jìn)的空間為物空間。它包括所有的實物點所在幾何空間的折射率，稱為物方折射率,像空間 經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)變換后的光束所在的幾何空間稱為像空間，或者說，反射或折射光線所行進(jìn)的空間為像空間。它包括所有的實像點所在幾何空間

2、的折射率，稱為像方折射率,3.3.1 符號法則,為了研究光線經(jīng)由光學(xué)系統(tǒng)反射或折射后的光路，首先需要介紹幾個概念和有關(guān)的符號法則。,3,如圖，一部分球面的中心為O，稱為球面的頂點。,連接頂點和曲率中心的直線CO，稱為主軸。通過主軸的平面，稱為主截面。,橫向線段 以光軸為起點，向上為正，向下為負(fù).,縱向線段以球面頂點O為原點，光線和主軸的交點在頂點右方的，線段長度的數(shù)值為正；反之為負(fù)。,（）線段的長度,符號法則（新迪卡爾符號法則）,4,以光軸或法線為始邊，沿小于/2 的方向旋轉(zhuǎn)，順時針為正，逆時針為負(fù),（2） 角度,圖中只標(biāo)記角度和線段的絕對值若某線段的值是負(fù)的，圖中其表示字母的前面加負(fù)號。,（

3、3）圖中各量的表示方法,5,3.3.2 球面反射對光束單心性的破壞,從點光源P發(fā)出的光波，從左到右入射到曲率中心為C，頂點為O，曲率半徑為r的凹球面上，,光線經(jīng)球面反射后，在P點與主軸相交。令,半徑AC與主軸的夾角為，則光程PAP 為：,6,在PAC 和ACP 中，由余弦定理：,因此，光線PAP 的光程可寫成，,7,由于當(dāng)A點在鏡面上移動時，半徑r是常量，而角度才是位置的變量。,根據(jù)費馬原理，物象間的光程應(yīng)取極值或常量，上式對求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)等于零，即,由此可得：,上式還可以寫成,8,如果發(fā)光點P至O點的距離s為已知，用上式即可算出任一反射光線和主軸的交點P 到O點的距離s 。,顯然， s 將隨

4、著入射線的傾角u（亦即角度）的變化而變化。這就是說，從物點發(fā)散的單心光束經(jīng)球面發(fā)射后，將不再保持單心性（平行光例外）。,9,則（1）式變?yōu)椋?在上式中，對于r一定的球面，只有一個s和給定的s對應(yīng)。存在確定的像點。這個像點是一個理想的像點，叫做高斯像點。這是因為高斯最先建立起光線理想成像的定律。,s稱為物距， s 稱為像距,3.3.3 近軸光線條件下球面反射的物象公式,在近軸光線條件下，很小，在一級近似下，cos1，,因此,10,焦距可寫為,則有：,球面反射的成像公式,上式不僅適用凹面反射鏡，而且也適用于凸面反射鏡。,當(dāng) s時，,即沿著主軸方向的平行光束入射經(jīng)球面反射后，成為會聚（或發(fā)散）的光束

5、，其頂點在主軸上，稱為反射面的焦點。焦點到頂點的距離稱為焦距 f 。,11,3.3.4 球面折射對光束單心性的破壞,如圖，AOB是折射率分別為n和n 兩種介質(zhì)的球面分界面。設(shè)n n , 光線從P點發(fā)出經(jīng)球面折射后與主軸相交于P 。,光線PAP 的光程為：,12,由余弦定理可得：,因此：,與反射情況類似，由費馬原理，,由,13,整理得：,或,由此可見，s也和的大小有關(guān)，從物點P發(fā)出的單心光束經(jīng)球面折射后，單心性也被破壞。,14,3.3.5 近軸光線條件下，球面折射的物象公式,則（2）式變?yōu)椋?在近軸光線條件下，很小，在一級近似下，cos1，,因此,稱為單球面折射成像公式,15,上式右端僅與介質(zhì)的

6、折射率及球面的曲率半徑有關(guān)，因而對于一定的介質(zhì)及一定形狀的表面來講是一個常量。,定義,稱為球面的光焦度,單位：m1，稱為屈光度，用D表示。1D100度,由于球面的曲率半徑可正、可負(fù)也可以為無窮大，物方折射率可以大于也可以小于像方折射率，因此光焦度可正、可負(fù), 也可以為零., 0 為會聚系統(tǒng)， 0 為發(fā)散系統(tǒng)， = 0 為無焦系統(tǒng).,16,如果發(fā)光點的位置在P點，它的像便在P點，即如果P和P 之一為物，則另一點為其相應(yīng)的像。物點和像點的這種關(guān)系稱為共軛。,若光線自左向右進(jìn)行，對于實物 s0 ,若成實像 s 0 ，若成虛像 s 0 .,在球面反射的情況下，物空間和像空間重合。實物 s0,若成實像

7、s 0 .,相應(yīng)的點稱為共軛點。相應(yīng)的光線稱為共軛光線。實際上，物像共軛是光路可逆原理的必然結(jié)果。,17,如果平行光平行于主軸入射，即s，則,此時s 稱為像方焦距，用f 表示。對應(yīng)的像點叫做像方焦點。用F 表示。即,如果主軸上的物點發(fā)出的光經(jīng)球面折射后平行于主軸出射，即s ，可得,此時s 稱為物方焦距，用f 表示。對應(yīng)的物點叫做物方焦點。用F 表示。即,18,f 與 f 之比為：,對于單球面折射的情況，由于n n ，則| f | f | 。,3.3.6 高斯公式和牛頓公式,將焦距公式帶入單球面折射成像公式，可得：,或,高斯公式,上式為普通的物象公式，對于一般的光學(xué)系統(tǒng)都成立。,19,如果物距和

8、像距均不以球面頂點作為基準(zhǔn)點，而分別以焦點作為基準(zhǔn)點，如圖,即,代入高斯公式：,整理得,牛頓公式,20,3.3.7 球面折射的放大率,1. 橫向放大率,在上圖的折射系統(tǒng)中,由幾何關(guān)系,得,近軸條件下，在入射點 O 處，由折射定律:,21,定義橫向放大率為：,因此,上式為球面折射的橫向放大率公式,22,可以用橫向放大率 的值辨別物像性質(zhì)：, 0 物像互為倒立，實物實像或虛物虛像, 0物像互為正立, 實物虛像或虛物實像., 1, 像放大；,= 1 , 物象等大.,1，像縮小；,(1) 物和像的虛實,(2) 像的放大和縮小,23,2. 角放大率,24,因為,所以,因此有,上式稱為拉格郎日不變式.,橫

9、向放大率與角放大率的關(guān)系是,由上圖可得,由上式可見，要獲得較大的橫向放大率，就應(yīng)以縮小角放大率為代價。,25,3. 平面折射和球面反射成像是單球面折射成像的特例,當(dāng)r時，球面折射過渡到平面折射成像，則球面折射的成像公式變?yōu)椋?或,26,對于球面反射,如圖，由反射定律和符號法則可得：,再由折射定律，,可得,（這里只有計算意義）,將 n n 代入單球面折射成像公式，得,根據(jù)光焦度的定義：,27,令,得,令,得,因此球面鏡物方焦點與像方焦點重合 .,凹面鏡,凸面鏡,高斯公式仍成立：,28,在笛卡兒坐標(biāo)系下,反射系統(tǒng)的實象和虛象對應(yīng)的像距的正負(fù)與折射系統(tǒng)恰相反. 對于反射系統(tǒng),S0 為虛像; 對于折射系統(tǒng), S0 為實像.,由單球面折射系統(tǒng)橫向放大率關(guān)系式, 在 條件下, 可得球面鏡橫向放大率公式,注意 ：,29,例題3.4 P133,一個折射率為1.6的玻璃啞鈴，長為20cm，兩端的曲率半徑為2cm，若在玻璃啞鈴?fù)饷骐x啞鈴左端5cm處的軸上有一物點，試求像的位置和性質(zhì)。,解：（1）啞鈴左端的折射面相當(dāng)于一個凸球面，由符號法則及題意，有：,30,由球面折射成像公式：,代入數(shù)值并求解，得,因為S10,則像在頂點右側(cè)，是實像。如圖,31,對于啞鈴右端的界面