高考數(shù)學(xué)人教A理科大一輪復(fù)習(xí)配套課件第十一章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第9講

1、第9講離散型隨機(jī)變量的均值與方差,最新考綱1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念；2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題.,知 識(shí) 梳 理,1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為,x1p1x2p2xipixnpn,數(shù)學(xué)期望,平均水平,平均偏離程度,標(biāo)準(zhǔn)差,2.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aXb)_. (2)D(aXb)_(a，b為常數(shù)). 3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)_，D(X)_. (2)若XB(n，p)，則E(X)_，D(X)_.,aE(X)b,a2D(X),p,p(1p),np,np

2、(1p),診 斷 自 測(cè),1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān).() (2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量.() (3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小.() (4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事.(),解析均值即期望值刻畫了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差刻畫了離散型隨機(jī)變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不正確. 答案(1)(2)(3)(4),2.(選修23P68T1改編)已知X的分

3、布列為,答案A,3.已知某離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，則隨機(jī)變量X的方差D(X)等于(),答案B,答案8,5.(2015廣東卷)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，若E(X)30，D(X)20，則p_.,(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率； (2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望E()，方差D().,的分布列為,規(guī)律方法(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算. (2)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的應(yīng)用.,【訓(xùn)練1】 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間

4、的降水量X(單位：mm)對(duì)工期的影響如下表：,歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求： (1)工程延誤天數(shù)Y的均值與方差； (2)在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率.,解(1)由條件和概率的加法公式有：P(X300)0.3， P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2， P(X900)1P(X900)10.90.1. 所以Y的分布列為：,于是，E(Y)00.320.460.2100.13； D(Y)(03)20

5、.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.,(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X3的概率； (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？,規(guī)律方法二項(xiàng)分布的期望與方差. (1)如果B(n，p)，則用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大減少計(jì)算量. (2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同樣還可求出D(ab).,

6、【訓(xùn)練2】 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.,將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立. (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；,(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X).,因?yàn)閄B(3，0.6)，所以數(shù)學(xué)期望E(X)30.61.8， 方差D(X)30.6(10.6)0.72.,考點(diǎn)三均值與方差在決策中的應(yīng)用 【例3】 (2016全國(guó)卷)某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損

7、零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：,以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù). (1)求X的分布列； (2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值； (3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？,解(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可

8、得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，從而 P(X16)0.20.20.04； P(X17)20.20.40.16； P(X18)20.20.20.40.40.24； P(X19)20.20.220.40.20.24； P(X20)20.20.40.20.20.2； P(X21)20.20.20.08； P(X22)0.20.20.04； 所以X的分布列為,(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元). 當(dāng)n19時(shí)，E(Y)19200

9、0.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040. 當(dāng)n20時(shí)， E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080. 可知當(dāng)n19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n19.,規(guī)律方法隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.,解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元.則X1的分布列為,思想方法 1.掌握下述均值與方差有關(guān)性質(zhì)，會(huì)給解題帶來方便： (1)E(aXb)aE(X)b，E(XY)E(X)E(Y)， D(aXb)a2D(X)； (2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p).,2.基本方法 (1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； (2)已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)YaXb的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用均值、方差的性質(zhì)求解；