傅葉立變換和頻域分析.ppt

1、4.0 引言,第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,時(shí)域分析，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)之和；而 yf(t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。 用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率， 故稱為頻域分析 。,頻域分析,從本章開(kāi)始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。 頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率

2、特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。,發(fā)展歷史,1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。 19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。 進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景。 在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅

3、里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。 “FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),矢量正交與正交分解 信號(hào)正交與正交函數(shù)集 信號(hào)的正交分解,第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,一、矢量正交與正交分解,矢量正交的定義： 矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與Vy = ( vy1, vy2, vy3)的內(nèi)積為0。 即,正交矢量集：由兩兩正交的矢量組成的矢量集合,如三維空間中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。 矢量A =(2，5，8)表示為 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz,矢量

4、空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間。,二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集,1. 信號(hào)正交：,定義在(t1，t2)區(qū)間的 1(t)和 2(t)滿足,(兩函數(shù)的內(nèi)積為0),則稱 1(t)和 2(t) 在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。,2. 正交函數(shù)集：,若n個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足,則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。,3. 完備正交函數(shù)集：,如果在正交函數(shù)集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函數(shù)(t)(0）滿足,則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。,例如： 三角函數(shù)集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 虛指數(shù)函數(shù)

5、集ejnt，n=0，1，2， 是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。,( i =1，2，n),三、信號(hào)的正交分解,設(shè)有n個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為 f(t)C11+ C22+ Cnn,如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。,通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為,為使上式最小,展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫(xiě)為,即,所以系數(shù),代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)教材）,在用正交函數(shù)去

6、近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有,上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的之和。,函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和,小結(jié),函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和,巴塞瓦爾能量公式,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 波形的對(duì)稱性與諧波特性 傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 周期信號(hào)的功率Parseval等式,一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式,1.三角函數(shù)集,在一個(gè)周期內(nèi)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。,由積分可知,cos(nt)，si

7、n(nt)，n=0，1,2,2級(jí)數(shù)形式,設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為T(mén)，角頻率=2/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù) 稱為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù),系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù),可見(jiàn)， an 是n的偶函數(shù)， bn是n的奇函數(shù)。,其他形式,式中，A0 = a0,上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 A0/2為直流分量 A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號(hào)相同 A2cos(2t+2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍 一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。,可見(jiàn)：An是n的偶函數(shù)， n是n的奇函數(shù)。 an = Ancos

8、n， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為,二、波形的對(duì)稱性與諧波特性,1 .f(t)為偶函數(shù)對(duì)稱縱坐標(biāo),bn =0，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。,2 .f(t)為奇函數(shù)對(duì)稱于原點(diǎn),an =0，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。,例,3 .f(t)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時(shí) 其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2=b2=b4=0,4 f(t)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時(shí) 其傅里葉級(jí)數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即 a1=a3=b1=b3=0,三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式,三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常

9、采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。,系數(shù)Fn 稱為復(fù)傅里葉系數(shù),利用 cosx=(ejx + ejx)/2可從三角形式推出：,推導(dǎo),虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，,傅里葉系數(shù)之間關(guān)系,n的偶函數(shù)：an ， An ， |Fn | n的奇函數(shù): bn ，n,四、周期信號(hào)的功率Parseval等式,直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。 n0時(shí)， |Fn| = An/2。,周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為,這是Parseval定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn)。,證明,求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。,周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為,直流,基波,二次諧波,解：,指數(shù)形式付氏

10、級(jí)數(shù)推導(dǎo),上式中第三項(xiàng)的n用n代換，A n=An， n= n， 則上式寫(xiě)為,令A(yù)0=A0ej0ej0t ，0=0,所以,令復(fù)數(shù),n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。 F0 = A0/2為直流分量。,周期信號(hào)功率式證明,對(duì)于三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù),平均功率,對(duì)于指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù),總平均功率=直流、各次諧波的平均功率之和,狄里赫利(Dirichlet)條件,條件3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。,條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。,條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。,例2,例1,例3,例1,不滿

11、足條件1的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為8，它是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的一半。可見(jiàn)在一個(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過(guò)8，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。,例2,不滿足條件2的一個(gè)函數(shù)是,對(duì)此函數(shù)，其周期為1，有,例3,周期信號(hào) ，周期為1，不滿足此條件。,4.3 周期信號(hào)的頻譜,信號(hào)頻譜的概念 周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) 頻帶寬度,一、信號(hào)頻譜的概念,從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫(huà)出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。 周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將An和n的關(guān)系分別畫(huà)在以為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖

12、和相位頻譜圖。因?yàn)閚0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫(huà)|Fn|和n的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫(huà)Fn 。,圖示,頻譜概念演示,頻譜概念演示,既是奇函數(shù)又是奇諧函數(shù),例1,例2,對(duì)于雙邊頻譜，負(fù)頻率，只有數(shù)學(xué)意義，而無(wú)物理意義。為什么引入負(fù)頻率？ f(t)是實(shí)函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對(duì)ejn和e-jn，才能保證f(t)的實(shí)函數(shù)的性質(zhì)不變。,二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn),舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T(mén)，如圖所示。求頻譜。,令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）, n = 0 ,1，2，,(1)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù),(3)離散譜（諧波性）,周期信號(hào)頻譜

13、的特點(diǎn),譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系 T一定，變小，此時(shí)（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。,(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。,三頻帶寬度,1.問(wèn)題提出,第一個(gè)零點(diǎn)集中了信號(hào)絕大部分能量（平均功率） 由頻譜的收斂性可知，信號(hào)的功率集中在低頻段。,周期矩形脈沖信號(hào)的功率,而總功率,二者比值,2頻

14、帶寬度,在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)來(lái)表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。,對(duì)于一般周期信號(hào)，將幅度下降為0.1|Fn|max 的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。,語(yǔ)音信號(hào) 頻率大約為 3003400Hz，,音樂(lè)信號(hào) 5015,000Hz，,擴(kuò)音器與揚(yáng)聲器 有效帶寬約為 1520,000Hz。,3系統(tǒng)的通頻帶信號(hào)的帶寬，才能不失真,頻譜圖示（單邊）,幅度頻譜,相位頻譜,離散譜，譜線,單邊頻譜圖例,例：周期信號(hào) f(t) = 試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率，畫(huà)出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率P。,解 首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)f(t)的表達(dá)式，即,顯然1是該信號(hào)的直流分量。,

15、的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角頻率=2/T = /12,是f(t)的/4/12 =3次諧波分量；,是f(t)的/3/12 =4次諧波分量；,畫(huà)出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖,例2,請(qǐng)畫(huà)出其幅度譜和相位譜。,解：化為余弦形式,單邊頻譜圖,三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的譜系數(shù),雙邊頻譜圖,整理,4.4 非周期信號(hào)的頻譜,傅里葉變換 常用函數(shù)的傅里葉變換,一傅里葉變換,：周期信號(hào),非周期信號(hào),連續(xù)譜，幅度無(wú)限小；,離散譜,1. 引出,0,再用Fn表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無(wú)限小，但相對(duì)大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。令,0,(單位頻率上

16、的頻譜）,稱為頻譜密度函數(shù)。,考慮到：T，無(wú)窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而,同時(shí)， ,于是，,傅里葉變換式“-”,傅里葉反變換式,F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜。 f(t)稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。,由傅里葉級(jí)數(shù),也可簡(jiǎn)記為,f(t) F(j),F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),說(shuō)明 (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)傅里葉變換存在的充分條件:,(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分,或F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j),二、常用函數(shù)的傅

17、里葉變換,1.矩形脈沖 (門(mén)函數(shù)）,記為g(t),頻譜圖,幅度頻譜,相位頻譜,頻寬：,2單邊指數(shù)函數(shù),f(t) = et(t)， 0,頻譜圖,幅度頻譜：,相位頻譜：,3雙邊指數(shù)函數(shù),f(t) = e|t| ， 0,4沖激函數(shù)(t)、(t),5直流信號(hào)1,有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所形成的序列Fn(j)是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F (j)為,這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。,討論：,推導(dǎo) 12(

18、),構(gòu)造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此， 12(),求F 1另一種方法,將(t)1代入反變換定義式，有,將-t，t，有,再根據(jù)傅里葉變換定義式，得,6. 符號(hào)函數(shù),不滿足絕對(duì)可積條件,頻譜圖,7. 階躍函數(shù),歸納記憶：,1. F 變換對(duì),2. 常用函數(shù) F 變換對(duì)：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t|,1,1,2(),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),線性 奇偶性 對(duì)稱性 尺度變換 時(shí)移特性,頻移特性 卷積定理 時(shí)域微分和積分 頻域微分和積分 相關(guān)定理,一線性性質(zhì)(Linear Property),If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)

19、then,a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) ,Proof: F a f1(t) + b f2(t),= a F1(j) + b F2(j) ,Example,二奇偶虛實(shí)性(Parity),If f (t) is real function, and,f (t) F(j)=|F(j)|ej() = R()+jX(),then,R()= R()， X()= X()， |F(j)|= |F(j)|， ()= ()， f (t) F(j) = F*(j) If f (t)= f (t) then X()=0， F(j) = R() If f (t)= f (t)

20、then R()=0， F(j) = jX(),Proof,三、對(duì)稱性(Symmetrical Property),If f (t) F(j) then,Proof:,（1）,in (1) t ，t then,（2）,in (2) - then, F(j t) 2f () end,F( jt ) 2f (),Example,練習(xí),四、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property),If f (t) F(j) then,where “a” is a nonzero real constant.,Proof,Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j

21、),Example-1,意義,五、時(shí)移特性(Timeshifting Property),If f (t) F(j) then,where “t0” is real constant.,Proof: F f (t t0 ) ,Example 1,Example 2,Example 3,六、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property),If f (t) F(j) then,Proof:,where “0” is real constant.,F e j0t f(t),= F j(-0) end,For example 1,f(t) = ej3t F(j) = ?,Ans:

22、1 2() ej3t 1 2(-3),Example 2,七、卷積性質(zhì)(Convolution Property),Convolution in time domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),Convolution in frequency domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j),Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j),Proof,Example,八、時(shí)域的微分和積分(Differentiation and Integration in time dom

23、ain),If f (t) F(j) then,Proof:,f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t) ,Example 1,Example 2,Example 3,九、頻域的微分和積分(Differentiation and Integration in frequency domain),If f (t) F(j) then,(jt)n f (t) F(n)(j),where,Example 1,Example 2,十、相關(guān)定理(Correlation theorem),If f1(t) F1(j) ，f2(t) F2(j) ，

24、f(t) F(j) then F R12() = F1(j) F2* (j) F R21() = F1* (j) F2 (j) F R() = |F (j)|2,Proof,尺度變換意義,(1)0a1 時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。,脈沖持續(xù)時(shí)間增加a倍，變化慢了，信號(hào)在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。,(2) a1 時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。,(3) a=-1 時(shí)域反轉(zhuǎn)，頻域也反轉(zhuǎn)。,持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。,尺度變換證明,Proof:,F f (a t ) =,For a 0 ,F f (a t ) ,for a 0 ,F f (a

25、t ) ,That is ,f (a t ) ,尺度變換例1,For example 1,f(t) = F(j) = ?,Ans:,Using symmetry,so that,對(duì)稱性舉例,For example, F(j) = ?,Ans:,if =1,卷積定理舉例,For example,Ans:,Using symmetry,頻移（調(diào)制）特性例,已知矩形調(diào)幅信號(hào),解：,因?yàn)?頻域微分積分特性例1,For example 1,Determine f (t) = t(t) F (j)=?,Ans:,Notice: t(t) =(t) * (t) ,Its wrong. Because ()(

26、) and (1/j)() is not defined.,Summary:,If f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,頻域微分積分特性例2,For example 2,Determine,Ans:,Summary:,If f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,奇偶虛實(shí)性證明,設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）,顯然,時(shí)移尺度舉例,For example 1,Given that f (t)F( j

27、), find f (at b) ?,Ans: f (t b),e -jb F( j),f (at b) ,or,f (at) ,f (at b) =,時(shí)移特性舉例,For example F(j) = ?,Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5),g6(t - 5) ,g2(t - 5) , F(j) =,+,時(shí)移舉例3,求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的頻譜。,解：,因?yàn)?脈沖個(gè)數(shù)增多，頻譜 包絡(luò)不變，帶寬不變。,時(shí)域卷積定理的證明,Ff1(t)*f2(t),So that,Interchanging the order of integration,U

28、sing time shifting,f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),時(shí)域微分積分特性例2,f(t)= 1/t2 ?,For example 1,Ans:,時(shí)域微分積分特性例3,For example 3,Determine f (t) F (j),Ans:,f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,F (j) =,Notice:,d(t)/dt = (t) 1,(t) 1/(j),Summary:,If f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 then

29、 f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,線性性質(zhì)例,For example F(j) = ?,Ans: f (t) = f1(t) g2(t),f1(t) = 1 2(),g2(t) 2Sa(), F(j) = 2() - 2Sa(),=,-,時(shí)域微分特性例1,f(t)= 1/t2 ?,For example 1,Ans:,相關(guān)定理證明,利用相關(guān)函數(shù)與卷積積分的關(guān)系 R12() = f1()* f2(),F R12() = F f1()* f2()= F f1() F f2(),由于F f2() = F2 (j)= F2*(j) 故 F R12() = F1(j) F2*(j),

30、4.6 能量譜和功率譜,帕斯瓦爾關(guān)系Parsevals Relation 能量譜 功率譜 能量譜和功率譜分析,一帕塞瓦爾關(guān)系Parsevals Relation,Example,Proof,二能量譜密度（能量譜）,定義,能量譜指單位頻率的信號(hào)能量，記為E(),在頻帶df內(nèi)信號(hào)的能量為E() df，因而信號(hào)在整個(gè)頻率范圍的總能量,由帕塞瓦爾關(guān)系可得,E()=|F(j)|2,R() E(),能量譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。,三、 功率譜,是功率有限信號(hào),定義,功率譜指單位頻率的信號(hào)功率，記為P(),在頻帶df內(nèi)信號(hào)的功率為P() df，因而信號(hào)在整個(gè)頻率范圍的總功率,P()=,因此,R(

31、) P(),功率有限信號(hào)的功率譜與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換。,維納-欣欽關(guān)系式,例1,例2,四、能量譜和功率譜分析,時(shí)域,頻域,因此,顯然,物理意義：響應(yīng)的能譜等于激勵(lì)的能譜與|H(j)|2的乘積。,同樣，對(duì)功率信號(hào)有,Py()= |H(j)|2 Pf(),例,功率譜例1,求余弦信號(hào),的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。,解：對(duì)此功率有限信號(hào)，由自相關(guān)函數(shù)的定義，有,求功率譜,因?yàn)楣β视邢扌盘?hào)的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換,所以功率譜為:,P(),功率譜例2,白噪聲，其功率譜密度為PN()=N(常量)，-,解：利用維納-欣欽關(guān)系式，得自相關(guān)函數(shù),由于白噪聲的功率譜密度為常數(shù)，所以白噪聲的自相關(guān)函

32、數(shù)為沖激函數(shù)，表明白噪聲在各時(shí)刻的取值雜亂無(wú)章，沒(méi)有任何相關(guān)性。,求自相關(guān)函數(shù)。,求功率譜,因?yàn)楣β视邢扌盘?hào)的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換,所以功率譜為:,P(),帕塞瓦爾能量關(guān)系例,For example,Determine the energy of,Ans:,證明方法二,由相關(guān)定理知,所以,又能量有限信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是,因此，得,帕塞瓦爾能量關(guān)系證明,證法一：,證法二,證明方法二,由相關(guān)定理知,所以,又能量有限信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是,因此，得,功率譜分析例,解：,系統(tǒng)函數(shù)為,輸出功率譜：,自相關(guān)函數(shù),考慮到,由,得,平均功率,周期信號(hào)傅氏變換例2,例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換

33、。,解：周期信號(hào)f(t)也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)f0(t)的周期拓展。即,f(t) = T(t)* f0(t),F(j) = () F0(j),F(j),本題 f0(t) = g2(t),自相關(guān)函數(shù),考慮到,由,得,平均功率,頻域分析例1,例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和()如圖， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。,解法一：用傅里葉變換,F(j) = 4() + 4(5) + (+5) + 4(10) + (+10),Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5) + 4(10) H(j10)

34、 + (+10) H(-j10) ,H(j)=H(j) ej(),= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) ,y(t) = F-1Y(j) = 2 + sin(5t),自相關(guān)函數(shù),考慮到,由,得,平均功率,無(wú)失真例,例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(j)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)時(shí)，不產(chǎn)生失真的是,(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t),頻率響應(yīng)例2,例：如圖電路，R=1，C=1F，以u(píng)C(t

35、)為輸出，求其h(t)。 若uS(t)=2cos(t)，求uC(t)=？,解：畫(huà)電路頻域模型,h(t)= e-t (t),由于,解法二：用三角傅里葉級(jí)數(shù),f(t)的基波角頻率=5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t),H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t),頻率響應(yīng)例1,例1：某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-t(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。,解：微分方程兩邊取傅里葉變換,jY(j) + 2Y(j) = F(j

36、),f(t) = e-t(t),Y(j) = H(j)F(j),y(t) = (e-t e-2t )(t),解法二：用三角傅里葉級(jí)數(shù),f(t)的基波角頻率=5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t),H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t),4.9 取樣定理,信號(hào)的取樣 取樣定理,取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)。可以說(shuō)，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架

37、起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。,一信號(hào)的取樣,所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。 這樣得到的離散信號(hào)稱為取樣信號(hào)fs(t) 。 它是對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理的第一個(gè)環(huán)節(jié)。,脈沖序列,取樣原理圖：,需要解決的問(wèn)題：,Fs(j)與F(j)的關(guān)系,由fs(t)能否恢復(fù)f(t)?,1理想取樣（周期單位沖激取樣）,f(t)F(j) (m m),s(t)S(j),fs(t)Fs (j),2沖激取樣信號(hào)的頻譜,=,*,=,TS 取樣間隔 S 取樣角頻率,畫(huà)fS(t)的頻譜時(shí)， 設(shè)定S 2m ,這時(shí)其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)

38、，從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號(hào)f(t); 否則將發(fā)生混疊。,二、時(shí)域取樣定理,一個(gè)頻譜在區(qū)間（-m，m)以外為0的帶限信號(hào)f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts Ts1/(2fm) 上的樣點(diǎn)值f(nTs)確定。,恢復(fù),奈奎斯特(Nyquist) 頻率和間隔,注意：為恢復(fù)原信號(hào)，必須滿足兩個(gè)條件： （1）f(t)必須是帶限信號(hào)； （2）取樣頻率不能太低，必須fs2fm， 或者說(shuō)，取樣間隔不能太大，必須Ts1/(2fm); 否則將發(fā)生混疊。,通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率； 把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。,

39、頻域取樣定理,根據(jù)時(shí)域與頻域的對(duì)偶性，可推出頻域取樣定理: 一個(gè)在時(shí)域區(qū)間（-tm，tm)以外為0的時(shí)限信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs fs1/(2tm)上的樣值點(diǎn)F(jns)確定。,由取樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào),理想低通濾波器,濾除高頻成分，即可恢復(fù)原信號(hào),從時(shí)域運(yùn)算解釋,時(shí)域運(yùn)算,以理想抽樣為例,理想低通濾波器：,說(shuō)明,連續(xù)信號(hào)f(t)可以展開(kāi)成Sa函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的系數(shù)等于取樣值f(nTs)。 也可以說(shuō)在取樣信號(hào)fs(t)的每個(gè)取樣值上畫(huà)一個(gè)峰值為f(nTs) 的Sa函數(shù)波形，由此合成的信號(hào)就是fs(t) 。,4.10 序列的傅里葉分析,周期序列的離散傅里葉級(jí)

40、數(shù)(DFS) 非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT) 四種傅里葉變換的特點(diǎn)和關(guān)系,將傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的分析方法應(yīng)用于離散時(shí)間信號(hào)稱為序列的傅里葉分析 。,一周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS),周期序列記為fN(k)，N為周期，數(shù)字角頻率為,由于 也是周期為N的序列，即,由于 也是周期為N的序列，即,則fN(k)可展開(kāi)為,推導(dǎo),注意：ejk是周期為2的周期函數(shù)。,DFS定義,令,則,FN(n)稱為離散傅里葉系數(shù)。,稱為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(Discrete Fourier Series, DFS) 。,令 則,離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì),注意：fN(k)只有N個(gè)諧波分量。,例,二、非周期

41、序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT),周期序列fN(k),非周期序列f(k),連續(xù)譜；,離散譜,1. 引出,0,定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)為,逆變換的導(dǎo)出,fN(k) f(k),由于n的取值周期為N，2n/N的周期為2。,非周期序列的離散時(shí)間傅里葉逆變換,表示,說(shuō)明： F(ej)是的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2。 DTFT存在的充分條件是f(k)滿足絕對(duì)可和，即,例,三、四種傅里葉變換的特點(diǎn)和關(guān)系,，,，,一般說(shuō)來(lái)，在一個(gè)域中為連續(xù)的表示，在另一個(gè)域中就是非周期性的表示；與此對(duì)比，在一個(gè)域中為離散的表示，在

42、另一個(gè)域中就是周期性的表示。,關(guān)系,fT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)(CFS)與f(t)的傅里葉變換(CTFT)的關(guān)系,f(t)為剪裁fT(t)主周期得到的非周期信號(hào)。,fN(k)的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)與f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)的關(guān)系,FN(n)= F(ej) ，F(xiàn)(e j) = FN(n),f(k)為剪裁fN(k)主周期得到的非周期序列。,離散傅里葉級(jí)數(shù)例,例 求圖所示周期脈沖序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。,解 周期N =4，=2/N=/2，求和范圍取為0，3,fN(k) =2 + (1 j1)ej0.5k +( 1+ j1) ej1.5k/4 =0.51+cos(0.5k)+sin

43、(0.5k),離散傅里葉系數(shù)推導(dǎo),兩端同乘e-jmk，并在一個(gè)周期求和，有,上式右端對(duì)k求和時(shí)，僅當(dāng)n=m時(shí)為非零且等于N，故上式可寫(xiě)為,DTFT舉例,例：求下列序列的離散時(shí)間傅里葉變換。,解 F1(ej) = DTFTf1(k) =,4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì),離散傅里葉變換DFT DFT與DTFT、DFS的關(guān)系 DFT的性質(zhì),離散信號(hào)分析和處理主要手段是利用計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)，然而序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換F(ej)是的連續(xù)函數(shù)。為便于計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)，引入離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT),一離散傅里葉變換(DFT),借助周期序列DFS的概念導(dǎo)出有限長(zhǎng)序列的DFT。,將有限長(zhǎng)序列f(k)延拓成周期為N的周期序列fN(k),若將f(k)，F(xiàn)(n)分別理解為fN(k)，F(xiàn)N(n)的主值序列，那么，DFT變換對(duì)與DFS變換對(duì)的表達(dá)式完