2.5等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及性質(zhì)

1、,2.5等比數(shù)列前n,細(xì)節(jié)決定成敗 態(tài)度決定一切,復(fù)習(xí):等比數(shù)列 an,(1) 等比數(shù)列:,(2) 通項(xiàng)公式:,(4) 重要性質(zhì):,注:以上 m, n, p, q 均為自然數(shù),引入：印度國(guó)際象棋發(fā)明者的故事,（西 薩）,引入新課,它是以為首項(xiàng)公比是的等比數(shù)列，,分析：由于每格的麥粒數(shù)都是前一格的倍，共有64格每格所放的麥粒數(shù)依次為：,麥粒的總數(shù)為:,請(qǐng)同學(xué)們考慮如何求出這個(gè)和？,這種求和的方法,就是錯(cuò)位相減法!,18446744073709551615,如果1000粒麥粒重為40克，那么這些麥粒的總質(zhì)量就是7300多億噸。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料顯示，全世界小麥的年產(chǎn)量約為6億噸，就是說全世界都要1000

2、多年才能生產(chǎn)這么多小麥，國(guó)王無論如何是不能實(shí)現(xiàn)發(fā)明者的要求的。,如何求等比數(shù)列的sn:, ，得,錯(cuò)位相減法,1.使用公式求和時(shí)，需注意對(duì) 和 的情況加以討論；,2.推導(dǎo)公式的方法：錯(cuò)位相減法。,注意：,顯然，當(dāng)q=1時(shí)，,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和表述為：,sn = a1 + a2 + a3 + .+ an-1 + an,= a1 + a1q + a1q2 +.+ a1qn-2 + a1qn-1,= a1+ q ( a1 + a1q + .+ a1qn-3 + a1qn-2 ),= a1 + q sn-1 = a1 + q ( sn an ),證法二：,借助sn-an =sn-1,(一) 用等比定理推

3、導(dǎo),當(dāng) q = 1 時(shí) sn = n a1,因?yàn)?所以,用等比定理：,證法三：,已知 a1 、n、 q時(shí),已知 a1 、an、 q時(shí),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,知三求二,(1) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式你了解多少？,(2) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用：,1.在使用公式時(shí).注意q的取值是利用公式的前提；,.在使用公式時(shí)，要根據(jù)題意，適當(dāng)選擇公式。,利用“錯(cuò)位相減法”推導(dǎo),(3) 兩個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中任知其三可以求其二：,例1、求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和,說明：,.,.,例3.某商場(chǎng)今年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今起，大約幾年

4、可使總銷售量達(dá)到30000臺(tái)(結(jié)果保留到個(gè)位)？,分析：第1年產(chǎn)量為 5000臺(tái),第2年產(chǎn)量為,5000(1+10%)=50001.1臺(tái),第3年產(chǎn)量為,5000(1+10%) (1+10%),第n年產(chǎn)量為,則n年內(nèi)的總產(chǎn)量為：,1數(shù)列2n1的前99項(xiàng)和為() a21001b12100 c2991 d1299,答案：c,2在等比數(shù)列an中，已知a13，an96，sn189，則n的值為() a4 b5 c6 d7,答案：c,3已知等比數(shù)列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，則前5項(xiàng)和s5的值為_,答案：31,4在等比數(shù)列an中，已知a1a2an2n1，則a12a22an2等于_,5設(shè)數(shù)列

5、an是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn，且s33a3，求公比q的值,已知等比數(shù)列an中，前10項(xiàng)和s1010，前20項(xiàng)和s2030，求s30.,題后感悟等比數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)： (1)“片斷和”性質(zhì)：等比數(shù)列an中，公比為q，前m項(xiàng)和為sm(sm0)，則sm，s2msm，s3ms2m，skms(k1)m，構(gòu)成公比為qm的等比數(shù)列，即等比數(shù)列的前m項(xiàng)的和與以后依次m項(xiàng)的和構(gòu)成等比數(shù)列,各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若sn2，s3n14，則s4n等于( ) a80b30 c26 d16,解析：sn，s2nsn，s3ns2n，s4ns3n成等比數(shù)列 (s2nsn)2sn(s3ns2n)

6、(s2n2)22(14s2n)，解得s2n6 又(s3ns2n)2(s2nsn)(s4ns3n) (146)2(62)(s4n14) s4n30.故選b.,已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比與項(xiàng)數(shù) 由題目可獲取以下主要信息： 等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別依次構(gòu)成等比數(shù)列； 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，s偶s奇q. 解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出項(xiàng)數(shù)與公比，然后建立方程組求解,，得q2，代入得22n256， 解得2n8，所以這個(gè)數(shù)列共8項(xiàng)，公比為2.,4.等比數(shù)列an共2n項(xiàng)，其和為240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，求該數(shù)列的公比q.,1.已知數(shù)列前n項(xiàng)

7、和sn=2n-1，則此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的前n 項(xiàng)的和是 .,2.設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列， a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分別求出an及bn的前10項(xiàng)的和s10及t10。,3.設(shè)an為等比數(shù)列，tnna1+(n一1)a2+2an-1+an， 已知t11，t24 (1)求數(shù)列an的首項(xiàng)和公比； (2)求數(shù)列tn的通項(xiàng)公式,點(diǎn)評(píng)在求含有參數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，容易忽略對(duì)a1和q1的討論，從而丟掉一種情況,題后感悟錯(cuò)位相減法 一般來說，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d；數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q，則求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和就可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法,在運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和時(shí)，要注意以下四個(gè)問題： (1)注意對(duì)q的討論，在前面的討論中，我們已知q是等比數(shù)列bn的公比，所以q0，但求和sn12x3x2nxn1時(shí)，就應(yīng)分x0、x1和x0且x1三種情況討論 (2)注意相消